Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол OAB = 30°.

Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.

Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠MON = 180° − 2·18° = 144°.

Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

Дуга FD, не содержащая точку Е, равна 360° − 150° − 68° = 142°, поэтому ∠DEF = 71°.

Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠AOC равна 96°.

Так как ∠AOC и ∠AOB — смежные, ∠AOB = 180° − ∠AOC = 84°. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, поэтому градусная мера дуги AB равна 84°. Угол ACB — вписанный и равен половине дуги, на которую опирается, поэтому ∠ACB = 42°.

Приведем решение Артура Ахметьянова.

Треугольник AOC равнобедренный, поскольку AO = OC как радиусы окружности, тогда

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Центральные и вписанные углы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

О чем эта статья:

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:8 класс. Решаем задачи на центральные и вписанные углы | Часть 1Скачать

8 класс. Решаем задачи на центральные и вписанные углы |  Часть 1

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Углы, связанные с окружностью

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответыВписанные и центральные углы
Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответыУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответыДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 классСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 класс

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголОкружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы
Вписанный уголОкружность центральные и вписанные углы 8 класс ответыВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголОкружность центральные и вписанные углы 8 класс ответыВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголОкружность центральные и вписанные углы 8 класс ответыДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголОкружность центральные и вписанные углы 8 класс ответыВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаОкружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиОкружность центральные и вписанные углы 8 класс ответыОкружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаОкружность центральные и вписанные углы 8 класс ответыОкружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияОкружность центральные и вписанные углы 8 класс ответыОкружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы
Угол, образованный касательной и секущейОкружность центральные и вписанные углы 8 класс ответыОкружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы
Угол, образованный двумя касательными к окружностиОкружность центральные и вписанные углы 8 класс ответыОкружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы
Формула: Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы
Формула: Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

В этом случае справедливы равенства

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

В этом случае справедливы равенства

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Окружность центральные и вписанные углы 8 класс ответы

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

💥 Видео

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Геометрия 8 класс : Решение задач на центральные и вписанные углыСкачать

Геометрия 8 класс : Решение задач на центральные и вписанные углы

Как понять центральные и вписанные углыСкачать

Как понять центральные и вписанные углы

МЕРЗЛЯК-8 ГЕОМЕТРИЯ. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ. ПАРАГРАФ-9Скачать

МЕРЗЛЯК-8 ГЕОМЕТРИЯ. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ. ПАРАГРАФ-9

Центральные и вписанные углыСкачать

Центральные и вписанные углы

Окружность на ОГЭ. Центральные и вписанные углыСкачать

Окружность на ОГЭ. Центральные и вписанные углы

Центральные и вписанные углы - геометрия 8 классСкачать

Центральные и вписанные углы - геометрия 8 класс

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Центральные и вписанные углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Центральные и вписанные углы

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

8 класс. Решаем задачи на центральные и вписанные углы | Часть 2Скачать

8 класс. Решаем задачи на центральные и вписанные углы | Часть 2

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)
Поделиться или сохранить к себе: