Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Сумма углов четырехугольника
Содержание
  1. Свойства
  2. Углы А, В и С четырехугольника АВСД относятся как 1 : 3 : 9соответственно?
  3. Углы A, B и C четырёхугольника ABCD относятся как 2 : 3 : 7 соответственно?
  4. Один из внешних углов четырехугольника равен 75 углы четырехугольника не смежные с данным внешним углом относятся как 3 : 4 : 8?
  5. Градусные меры углов четырехугольника относятся как 1 : 2 : 4 : 8?
  6. Помогите с геометрией?
  7. Точка О — центр окружности, описанной около четырехугольника ABCD?
  8. Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся 2 : 3 : 4?
  9. Градусные меры углов четырехугольника относятся как 3 : 4 : 5 : 6?
  10. Каждая из градусных мер трех углов первого четырехугольника на 20 процентов меньше чем градусная мера каждого из трех углов второго четырехугольника а градусная мера четвертого угла второго четырехуго?
  11. Углы А, В и С четырехугольника АВСД вписан в окружность, относятся как 3 : 4 : 12 соответственно?
  12. Углы a b и c четырехугольника abcd вписанного в окружность относятся как 3 : 4 : 7 соответственно?
  13. Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов
  14. §3. Свойства касательных, хорд, секущих. Вписанные и описанные четырёхугольники
  15. 📽️ Видео

Свойства

  1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
    ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
    Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов
  2. Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
    и этот четырехугольник является квадратом.
    ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
    ABCD — квадрат.
    Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов
  3. Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
    если около четырехугольника описана окружность.
    ∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
    Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Такие четырехугольники называют вписанными.

Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.

Видео:Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

Углы А, В и С четырехугольника АВСД относятся как 1 : 3 : 9соответственно?

Геометрия | 10 — 11 классы

Углы А, В и С четырехугольника АВСД относятся как 1 : 3 : 9соответственно.

Найдите градусную меру угла Д если около данного четырехугольника можно описать окружность.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Если около четырёхугольника можно описать окружность, значит сумма двух его противоположных углов равна180 градусов.

То есть углы А + С = 180 и В + Д = 180.

Соотношение углов А и С равно 1 : 9.

Пусть единица пропорции = Х, тогда 1 * Х + 9 * Х = 180.

Отсюда Х = 18, тогда угол А = 1 * 18 = 18, угол С = 9 * 18 = 162, угол В = 3 * 18 = 54, угол Д = 180 — В = 180 — 54 = 126.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Углы A, B и C четырёхугольника ABCD относятся как 2 : 3 : 7 соответственно?

Углы A, B и C четырёхугольника ABCD относятся как 2 : 3 : 7 соответственно.

Найдите градусную меру угла D, если около данного четырёхугольника можно описать окружность.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Один из внешних углов четырехугольника равен 75 углы четырехугольника не смежные с данным внешним углом относятся как 3 : 4 : 8?

Один из внешних углов четырехугольника равен 75 углы четырехугольника не смежные с данным внешним углом относятся как 3 : 4 : 8.

Найдите градусную меру большего из этих углов.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Градусные меры углов четырехугольника относятся как 1 : 2 : 4 : 8?

Градусные меры углов четырехугольника относятся как 1 : 2 : 4 : 8.

Найдите градусную меру меньшего из углов четырехугольника.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Помогите с геометрией?

Помогите с геометрией.

Два угла четырехугольника, вписанного в окружность, равны 59 и 81 градус.

Найдите градусную меру большего из оставшихся углов этого четырехугольника.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Точка О — центр окружности, описанной около четырехугольника ABCD?

Точка О — центр окружности, описанной около четырехугольника ABCD.

Найти величины углов четырехугольника, если мера угла AOB = 80 мера угла AOD = 120 мера угла BCO = 55.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Видео:8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся 2 : 3 : 4?

Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся 2 : 3 : 4.

Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Градусные меры углов четырехугольника относятся как 3 : 4 : 5 : 6?

Градусные меры углов четырехугольника относятся как 3 : 4 : 5 : 6.

Найдите градусную меру меньшего из углов четырехугольника.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Каждая из градусных мер трех углов первого четырехугольника на 20 процентов меньше чем градусная мера каждого из трех углов второго четырехугольника а градусная мера четвертого угла второго четырехуго?

Каждая из градусных мер трех углов первого четырехугольника на 20 процентов меньше чем градусная мера каждого из трех углов второго четырехугольника а градусная мера четвертого угла второго четырехугольника.

Найдите градусную меру 4 — ого угла первого четырехугольника.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Углы А, В и С четырехугольника АВСД вписан в окружность, относятся как 3 : 4 : 12 соответственно?

Углы А, В и С четырехугольника АВСД вписан в окружность, относятся как 3 : 4 : 12 соответственно.

Найдите градусную меру угла Д этого четырехугольника.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Видео:Свойство и признак вписанного четырехугольникаСкачать

Свойство и признак вписанного четырехугольника

Углы a b и c четырехугольника abcd вписанного в окружность относятся как 3 : 4 : 7 соответственно?

Углы a b и c четырехугольника abcd вписанного в окружность относятся как 3 : 4 : 7 соответственно.

Найдите градусную меру угла d этого четырехугольника.

На этой странице находится вопрос Углы А, В и С четырехугольника АВСД относятся как 1 : 3 : 9соответственно?. Здесь же – ответы на него, и похожие вопросы в категории Геометрия, которые можно найти с помощью простой в использовании поисковой системы. Уровень сложности вопроса соответствует уровню подготовки учащихся 10 — 11 классов. В комментариях, оставленных ниже, ознакомьтесь с вариантами ответов посетителей страницы. С ними можно обсудить тему вопроса в режиме on-line. Если ни один из предложенных ответов не устраивает, сформулируйте новый вопрос в поисковой строке, расположенной вверху, и нажмите кнопку.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Билет №1 1. А) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм б) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм в) Если в четырехугольнике ди..

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Билет 2 b) 1) треугольники подобны по трём углам (см. Доказательство по равенству) 2) Найдём коэффициент подобия AB : CD = 8 / 15. Тогда AO : OD = BO : OC = 8 / 15 АО : 9 = 8 / 15 АО = 72 / 15 = 4, 8 ВО : 12 = 8 / 15 ВО = 96 / 15 = 6 6 / 15.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС, где АС = 7 см, ВС = 25 см, угол А = 90 градусов. АН — высота, проведенная к гипотенузе. Найдем АВ по теореме Пифагора : АВ = √(ВС ^ 2 — AC ^ 2) = 24 cм. Найдем АН через площадь треугольника. S = 1 2 * АВ..

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружностью пересекаются в двух точках. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу , то прямая и окружность имеют одну точку . Если расстояние от центра ок..

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

A)5 / 9 б)12 / 21 в)7 / 16 д)21 / 5.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Компланарные векторы лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях. Если точки A, B и С различны, то векторы можно представить как боковые рёбра треугольной пирамиды OABC. Такие векторы не компланарны. Если из трёх точек A, B и С д..

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

1. Треугольники АОК и COL равны т. К. углы AOK и COL равны как вертикальные, AO = OC по свойству параллелограмма (диагонали точкой пересечения делятся пополам), а углы AСD и ACB равны как накрест лежащие при секущей АС. Т. е. Равны по стороне и пр..

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Ответ : 1176 см²Объяснение : CК — биссектриса. Свойство биссектрисы : биссектриса делит противолежащую сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам : АВ = 30 + 40 = 70 смПо теореме Пифагора : AB² = a² + b² см см[img = 10] см..

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Ну тут легко. Обозначим меньшую сторону параллелограмма за Х, а Большую за Х + 5. Теперь , площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к ней, тогда (Х + 5) * 6 = 90 Х + 5 = 15 Х = 10дм — длинна меньшей стороны тогда бо..

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

1) т. К треугольник равнобедренный, то у = 180 — 88 / 2, y = 46 2) 47 и 47 как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей ab, 133 и 133 по тому же свойству (180 — 47 как развернутые) 3)149 и 149 как накрест лежащие при параллельных прямых и с..

Видео:Урок1. Описанная окружность около четырехугольника| Теория + практикаСкачать

Урок1. Описанная окружность около четырехугольника| Теория + практика

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

  • Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов

§3. Свойства касательных, хорд, секущих. Вписанные и описанные четырёхугольники

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов
Рис. 17

Если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам (рис. 17).

Используя это свойство, легко решить следующую задачу.

На основании $$ AC$$ равнобедренного треугольника $$ ABC$$ расположена точка $$ D$$ так, что $$ AD=a,CD=b$$. Окружности, вписанные в треугольники $$ ABD$$ и $$ DBC$$, касаются прямой $$ BD$$ в точках $$ M$$ и $$ N$$ соответственно. Найти отрезок $$ MN$$.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры угловОколо четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов
Рис. 18Рис. 18a

$$ DE=y$$, $$ QD=x+y$$, $$ AQ=AP=a-(x+y)$$, $$ EC=CF=b-y$$, $$ PB=BM=z, BF=BN=z+x$$ (рис. 18а). Выразим боковые стороны:

$$ AB=z+a-x-y$$, $$ BC=z+x+b-y$$. По условию $$ AB=BC$$; получим

Четырёхугольник называется описанным около окружности, если окружность касается всех его сторон.

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противолежащих сторон равны.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов
Рис. 19

Пусть четырёхугольник $$ ABCD$$ описан около окружности (рис. 19).

По свойству касательных: $$ AM=AN$$, $$ NB=BP$$, $$ PC=CQ$$ и $$ QD=DM$$, поэтому

$$ AM+MD+BP+PC=AN+NB+CQ+QD$$, что означает

Докажем обратное утверждение. Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ ABCD$$ стороны удовлетворяют условию $$ AB+CD=BC+AD.$$ Положим $$ AD=a, AB=b, BC=c, CD=d.$$

По условию $$ a+c=b+d,$$ что равносильно $$ c-b=d-a.$$

Пусть $$ d>a.$$ Отложим на большей стороне $$ CD$$ меньшую сторону `DM=a` (рис. 20). Так как в этом случае $$ c>b$$, то также отложим $$ BN=b$$, получим три равнобедренных треугольника `ABN`, `ADM` и `MCN`.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов
Рис. 20

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, отсюда следует, что если провести биссектрисы углов `B`, `C` и `D`, то они разделят пополам соответственно отрезки `AN`, `MN` и `AM` и будут им перпендикулярны. Это означает, что биссектрисы будут серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника $$ ANM$$, а они по теореме пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку $$ O$$. Эта точка одинаково удалена от отрезков `AB` и `BC` (лежит на $$ OB$$), `BC` и `CD` (лежит на $$ OC$$) и `CD` и `AD` (лежит на $$ OD$$), следовательно, точка $$ O$$ одинакова удалена от всех четырёх сторон четырёхугольника $$ ABCD$$ и является центром вписанной окружности. Случай $$ d=a$$, как более простой, рассмотрите самостоятельно.

Равнобокая трапеция описана около окружности. Найти радиус окружности, если длины оснований равны $$ a$$ и $$ b$$.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов
Рис. 21

Пусть в равнобокой трапеции $$ ABCD$$ `BC=b`, `AD=a` (рис. 21). Эта трапеция равнобокая $$ (AB=CD)$$, она описана около окружности, следовательно, $$ AB+CD=AD+BC$$ Отсюда получаем:

Проведём $$ BM$$ и $$ CN$$ перпендикулярно $$ AD$$. Трапеция равнобокая, углы при основании равны, следовательно, равны и треугольники $$ ABM$$ и $$ DCN$$ и $$ AM=ND$$. По построению $$ MBCN$$ — прямоугольник, $$ MN=BC=b$$ поэтому $$ AM=<displaystyle frac>(AD-BC)-<displaystyle frac>(a-b)$$. Из прямоугольного треугольника $$ ABM$$ находим высоту трапеции $$ ABCD$$:

Очевидно, что высота трапеции равна диаметру окружности, поэтому

радиус вписанной окружности равен $$ overline<)r=<displaystyle frac>sqrt>$$.

Очень полезная задача. Заметим, что из решения также следует, что в равнобокой описанной трапеции $$ overline<)mathrmalpha =<displaystyle frac>>$$.

Градусная мера угла, образованного хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами (рис. 22).

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов
Рис. 22

Рассматриваем угол $$ NAB$$ между касательной $$ NA$$ и хордой $$ AB$$. Если $$ O$$ — центр окружности, то $$ OAperp AN$$, `/_OAB=/_OBA=90^@alpha`. Сумма углов треугольника равна `180^@`, следовательно, $$ angle AOB=2alpha $$. Итак, $$ alpha =angle NAB=<displaystyle frac>angle AOB.$$

Обратим внимание, что угол $$ NAB$$ равен любому вписанному углу $$ AKB$$, опирающемуся на ту же дугу $$ AB$$.

Случай `/_alpha>=90^@` рассматривается аналогично.

Из этого свойства следует важная теорема «о касательной и секущей», которая часто используется при решении задач.

Пусть к окружности проведены из одной точки касательная $$ MA$$ и секущая $$ MB$$, пересекающая окружность в точке $$ C$$ (рис. 23). Тогда справедливо равенство

т. е. если из точки `M` к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки `M` до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки `M` до точек её пересечения с окружностью.

Угол $$ MAC$$ образован хордой и касательной, $$ angle MAC=angle ABC$$. Так как в треугольниках $$ MAC$$ и $$ MBA$$ угол $$ M$$ общий, то по двум углам они подобны. Из подобия следует:

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов
Рис. 23

Если из точки $$ M$$ к окружности проведены две секущие: $$ MB$$, пересекающая окружность в точке $$ C$$ и $$ MK$$, пересекающая окружность в точке $$ L$$ (рис. 23), то справедливо равенство $$ MB·MC=MK·ML$$.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов
Рис. 24

Окружность проходит через вершины $$ C u D$$ трапеции $$ ABCD,$$ касается боковой стороны $$ AB$$ в точке $$ B$$ и пересекает большее основание $$ AD$$ в точке $$ K$$ (рис. 24). Известно, что $$ AB=5sqrt$$, $$ BC=5$$ и $$ KD=10$$.

Найти радиус окружности.

1. Пусть $$ AK=x$$ тогда $$ AD=10+x$$ю

По теореме о касательной и секущей:

$$ A^=AK·KD$$ т. е. $$ 75=x(x+10)$$, откуда $$ x=5$$. Итак $$ AD=15$$.

2. Заметим теперь, что угол $$ ABD$$ между касательной $$ AB$$ и хордой $$ BD$$ равен вписанному углу $$ BCD$$, а из параллельности прямых $$ AD$$ и $$ BC$$ следует равенство углов `1` и `2`. По первому признаку подобия $$ △ABDsim △DCB$$. Из подобия имеем $$ <displaystyle frac>=<displaystyle frac><displaystyle frac>$$. Из последнего равенства находим, что $$ B^=AD·BC$$, т. е. $$ BD=sqrt=5sqrt$$, а из первого равенства находим $$ CD=<displaystyle frac>=5$$.

3. Так как $$ KB=CD$$ ($$ KBCD$$ — вписанная трапеция, она равнобокая), и $$ K^+B^=K^,$$ то `/_ KBD=90^@` и $$ KD$$ — диаметр окружности.

Значит, её радиус равен `5`.

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна `180^@`.

Из этой теоремы следует:

a) из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;

б) около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобокая.

Около четырехугольника описана окружность найти градусные меры углов
Рис. 25

В треугольнике $$ ABC$$ биссектрисы $$ AD$$ и $$ BF$$ пересекаются в точке $$ O$$ (рис. 25). Известно, что точки $$ F, O, D$$, и `C` лежат на одной окружности и что $$ DF=sqrt.$$ Найти площадь треугольника $$ ODF$$.

Четырёхугольник $$ DOFC$$ вписан в окружность, по теореме 9:

$$ angle DOF=pi -angle C$$, т. е. $$ pi -<displaystyle frac>(angle A+angle B)=pi -angle C$$, откуда, учитывая, что $$ angle A+angle B+angle C=pi $$, находим $$ angle С=<displaystyle frac>$$.

Теперь заметим, что $$ O$$ — точка точка пересечения биссектрис, $$ CO$$ — биссектриса угла $$ C,$$ следовательно, углы $$ OCD$$ и $$ OCF$$ равны друг другу. Это вписанные углы, поэтому вписанные углы $$ ODF$$ и $$ OFD$$ равны им и равны друг другу. Таким образом,

Треугольник $$ DOF$$ равнобедренный с основанием $$ DF=sqrt$$ и углом при основании `30^@`. Находим его высоту, опущенную из вершины $$ O$$ и площадь треугольника $$ ODF: S=<displaystyle frac>h·DF=<displaystyle frac<sqrt>>$$.

📽️ Видео

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | УмскулСкачать

Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | Умскул

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 25.Найдите уголСкачать

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 25.Найдите угол

Четырехугольник, описанный около окружности | Геометрия 8-9 классыСкачать

Четырехугольник, описанный около окружности | Геометрия 8-9 классы
Поделиться или сохранить к себе: