Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, но не принадлежит прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. Говорят, что прямые Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтопересекаются в точке М.
Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Это можно записать так: Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что— знак принадлежности точки прямой, «Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтопараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоперпендикулярны (рис. 12), то пишут Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоb.
  2. Если Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = 90°, то а Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоАВ и b Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоb.
  3. Если Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОFА = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2). Из равенства этих треугольников следует, что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоЗ = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что4 и Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что5 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что6.
  6. Так как Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что5 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что6 следует, что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что6 = 90°. Получаем, что а Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоFF1 и b Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоFF1, а аОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что
2) Заметим, что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 и Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 следует, что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоAOF = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 + Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 + Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоl + Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = 180° и Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 + Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = 180° следует, что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоF и Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3. Кроме того, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 и Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 следует, что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что4 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоBAF. Действительно, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что4 и Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоFAC равны как соответственные углы, a Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоFAC = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 + Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = 180° (рис. 97, а).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 + Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3= 180°.

4) Из равенств Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что= Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 и Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 + Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 = 180° следует, что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 + Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоBAF + Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Так как Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = 90°, то и Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = 90°, а, значит, сОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтопараллельны, то есть Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, лучи АВ и КМ.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, то Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что(рис. 161).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, перпендикулярную прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои строят другую перпендикулярную прямую Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, затем — третью прямую Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои т. д. Поскольку прямые Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоперпендикулярны одной прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, то из указанной теоремы следует, что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, параллельной прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, то Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтотретьей прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 иОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что5,Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что4 иОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 иОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что8,Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 иОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 иОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что6,Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 иОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что7,Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 иОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что5,Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что4 иОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что8 — соответственные углы;
  • Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 иОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что6,Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что4 иОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что5 — внутренние односторонние углы;
  • Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 иОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что7,Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 иОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что— данные прямые, АВ — секущая, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 (рис. 166).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Доказать: Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои продлим его до пересечения с прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтов точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 по условию, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоBMK =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоANM =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоBKM = 90°. Тогда прямые Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 (рис. 167).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Доказать: Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои секущей Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоl +Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = 180° (рис. 168).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Доказать: Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои секущей Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоAOB = Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоBAO=Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоBAK = 26°, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоBAC = 2 •Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоADK +Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1=Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2. Так как Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что||Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что.

Реальная геометрия

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтопроходит через точку М и параллельна прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтов некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что||Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что(рис. 187).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Доказать: Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что||Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что.

Доказательство:

Предположим, что прямые Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, параллельные третьей прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что||Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2,Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что4. Доказать, что Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтопо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. Так как Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, то Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтопо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, которая параллельна прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтопо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, которые параллельны прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтопересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, АВ — секущая,Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 иОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Доказать: Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2.

Доказательство:

Предположим, чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтопо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, параллельные прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что— секущая,Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 иОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 — соответственные (рис. 196).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Доказать:Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что— секущая,Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 иОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Доказать:Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоl +Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 +Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 = 180°. По свойству параллельных прямыхОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоl =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3 как накрест лежащие. Следовательно,Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоl +Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, т. е.Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 = 90°. Согласно следствию Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, т. е.Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 = 90°.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоАОВ =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоABD =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоADB =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтопараллельны, то пишут: Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что(рис. 211).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2 =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что3. Значит,Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что1 =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что2.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои АВОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, то расстояние между прямыми Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чторавно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, А Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, С Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, АВОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, CDОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоCAD =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чторавны (см. рис. 285). Прямая Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, проходящая через точку А параллельно прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, которая параллельна прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтобудет перпендикуляром и к прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоBAD +Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Тогда Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, параллельную прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Тогда Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что|| Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чторавноудалены от прямых Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтона расстояние Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, то есть расстояние от точки М до прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чторавно Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. Но через точку К проходит единственная прямая Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, параллельная Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. Значит, точка М принадлежит прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что.

Таким образом, все точки прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чторавноудалены от прямых Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что. Прямая Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоОдна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что— параллельны.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтои Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите чтоесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Параллельность прямых и плоскостей

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Параллельность прямых и плоскостей. Параллельные прямые в пространстве.

Просмотр содержимого документа
«Параллельность прямых и плоскостей»

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Три случая взаимного расположения прямых в пространстве

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Две прямые в пространстве называются параллельными, если

1) они лежат в одной плоскости и

2) не пересекаются

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Прямые а и с не параллельны

После демонстрации этого слайда покажите пространственную модель (плоскость – картон, прямые – спицы)

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Две параллельные прямые определяют плоскость.

(определение параллельных прямых)

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок FL параллелен

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Точки М, N, P и Q – середины отрезков BD, CD, AB и АС.

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 17.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Повторим. ПЛАНИМЕТРИЯ. Аксиома параллельности.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Аксиома параллельности поможет доказать теорему о параллельных прямых

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Прямая и не лежащая

на ней точка определяют плоскость

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Повторим. Следствие из аксиомы параллельности.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

a II b , c b c a

Это следствие из аксиомы параллельности поможет доказать лемму о параллельных прямых

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Если одна из двух параллельных прямых

пересекает данную плоскость, то и другая

прямая пересекает данную плоскость.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Плоскости и имеют общую точку М, значит они пересекаются по прямой (А 3 )

Прямая р лежит в плоскости

и пересекает прямую а в т. М.

Поэтому она пересекает и

параллельную ей прямую b

в некоторой точке N .

Прямая р лежит также в плоскости , поэтому N – точка плоскости .

Значит, N – общая точка прямой b и плоскости .

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Прямые, содержащие стороны АВ и ВС параллелограмма A ВС D пересекают плоскость . Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость .

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 1 9 .

Каково взаимное расположение точек О, Р, М, N ?

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Повторим. Следствие из аксиомы параллельности.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

a II с , b II с a II b

Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Докажем, что a II b

  • Лежат в одной плоскости
  • не пересекаются

1) Точка К и прямая а определяют плоскость.

Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости.

Допустим, что прямая b пересекает плоскость . Тогда по лемме с также пересекает . По лемме и а также пересекает . Это невозможно, т.к. а лежит в плоскости

2) Используя метод от противного объясните почему прямые а и b не пересекаются.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Дано: АА 1 II СС 1 , АА 1 II ВВ 1 , ВВ 1 = СС 1

Доказать, что В 1 С 1 = ВС

«Дидактические материалы по геометрии для 10 класса». Зив Б.Г.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Дано: А 1 С 1 = АС, А 1 С 1 II АС, А 1 В 1 = АВ,

Доказать, что C С 1 = В B 1

«Дидактические материалы по геометрии для 10 класса». Зив Б.Г.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Треугольник АВС и квадрат А EFC не лежат в одной

плоскости. Точки К и М – середины отрезков АВ и ВС соответственно. Докажите, что КМ II EF .

Найдите КМ, если АЕ=8см.

«Математика. Самостоятельные м контрольные работы по геометрии для 11 класса». Ершова А.П., Голобородько В.В.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Квадрат АВС D и трапеция KMNL не лежат в одной

плоскости. Точки A и D – середины отрезков KM и NL соответственно. Докажите, что К L II BC .

Найдите BC , если KL = 10 см , MN = 6 см.

«Математика. Самостоятельные м контрольные работы по геометрии для 11 класса». Ершова А.П., Голобородько В.В.

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Отрезок АВ не пересекается с плоскостью . Через концы отрезка АВ и его середину (точку М) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А 1 , В 1 и М 1 . а) Докажите, что точки А 1 , В 1 и М 1 лежат на одной прямой. б) Найдите АА 1 , если ВВ 1 = 12см, ММ 1 =8см.

«Математика. Самостоятельные м контрольные работы по геометрии для 11 класса». Ершова А.П., Голобородько В.В.

Видео:№57. Прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что прямаяСкачать

№57. Прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что прямая

Прямая линия. Признаки параллельности прямых линий.

Если две произвольные прямые AB и СD пересечены третьей прямой MN, то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

внешние накрест лежащие углы: 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7.

Описанные углы видны на рисунке:

Одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую l докажите что

Теорема.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сформировавшиеся:

1. внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

2. внешние накрест лежащие углы одинаковы;

3. соответственные углы одинаковы;

4. сумма внутренних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

5. сумма внешних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

Данную теорему иллюстрирует рисунок:

Имеются две параллельные прямые AB и СD, их пересекает третья прямая MN.

1. ∠ 4 = ∠ 6 и ∠ 3 = ∠ 5;

2. ∠ 2 = ∠ 8 и ∠ 1 = ∠ 7;

3. ∠ 2 =∠ 6, ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 8;

4. ∠ 3 + ∠ 6 = 2d и ∠ 4 + ∠ 5 = 2d;

5. ∠ 2 + ∠ 7 = 2d и ∠ 1 + ∠ 8 = 2d.

1. Из середины E того отрезка прямой MN, который размещается между параллельными прямыми, прочертим на СD перпендикуляр EK и продолжим его до пересечения с AB в точке L. Так как перпендикуляр к одной из параллельных есть также и перпендикуляр к другой параллельной, то образовавшиеся при этом треугольники (заштрихованные на чертеже) — оба прямоугольные. Они одинаковы, потому что в них по равной гипотенузе и по одинаковому острому углу при точке E. Из равенства треугольников получаем, что внутренние накрест лежащие углы 4 и 6 одинаковы. Два прочих внутренних накрест лежащих угла 3 и 5 одинаковы, как дополнения до 2d к одинаковым углам 4 и 6 (как смежные с 4 и 6).

2. Внешние накрест лежащие углы равны соответственно внутренним накрест лежащим углам, как углы вертикальные.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.

3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.

4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.

5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам, как углы вертикальные.

Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.

Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:

1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;

или 3. Соответственные углы одинаковые;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;

или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,

📹 Видео

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

№186. На рисунке 106 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что a||b, если: a)∠1=37°Скачать

№186. На рисунке 106 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что a||b, если: a)∠1=37°

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскости

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

№132. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямойСкачать

№132. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,Скачать

№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,

№55. Докажите, что если прямая а пересекает плоскость α, то она пересекает также любуюСкачать

№55. Докажите, что если прямая а пересекает плоскость α, то она пересекает также любую

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямыхСкачать

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямых

№25. Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаютсяСкачать

№25. Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов
Поделиться или сохранить к себе: