Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

Теорема синусов

Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

Формула теоремы синусов:

Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

  • Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina
    bc sinα = ca sinβ
    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

    Формулы для радиуса окружности #shorts

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

    ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

    Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

    Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

    В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

    Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

    Формулы вычисления радиуса описанной окружности

    Произвольный треугольник

    Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

    Прямоугольный треугольник

    Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Равносторонний треугольник

    Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    где a – сторона треугольника.

    Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

    Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

    Примеры задач

    Задание 1
    Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

    Решение
    Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Задание 2
    Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

    Решение
    Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

    Радиус описанной окружности треугольника формула r a 2sina

    Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

    Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

    Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

    Задача 4 (№ 7915) — Радиус окружности, описанной около треугольника

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Условие

    Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле R = a / (2sinα), где a – сторона, а α – противолежащий её угол треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите a, если R = 15, sinα = 4/5.

    Решение

    1. Выразим a из формулы R = a / (2sinα):

    R = a / (2sinα) → a = R ∙ (2sinα)

    1. Подставим все известные параметры в получившуюся формулу и найдём a:

    a = R ∙ (2sinα) = 15 ∙ 2 ∙ 4/5 = 24

    Ответ: 24

    📹 Видео

    Задача 6 №27923 ЕГЭ по математике. Урок 140Скачать

    Задача 6 №27923 ЕГЭ по математике. Урок 140

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Радиус описанной окружности трапецииСкачать

    Радиус описанной окружности трапеции

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

    Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

    Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

    Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольникаСкачать

    Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника

    Треугольник и окружность #shortsСкачать

    Треугольник и окружность #shorts

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания
    Поделиться или сохранить к себе: