Нормальный вектор к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М₀ называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М₀.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 0 , y₀ = 1 , тогда z₀ = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_x = 3•x 2
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_y = 5
В точке М₀(0,1) значения частных производных:
f’_x(0;1) = 0
f’_y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М₀(1,0,1) значения частных производных:
f’_x(1;0;1) = -3 /₁₆
f’_y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 1 = -3 /₁₆(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /₁₆•x+z- 19 /₁₆ = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М₀(x₀, y₀, z₀), принадлежащей ей, если x₀ = –1, y₀ = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
f_x’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f_y’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_y = 1/x + x.
Точка М₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z₀, подставив заданные x₀ = –1 и y₀ = 2 в уравнение поверхности:

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х₀, y₀) и В(х₁,y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x₀,y₀,z₀).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 1, y₀ = 2, тогда z₀ = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_x = 2•x+3•y 3
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_y = 9•x•y 2
В точке М₀(1,2) значения частных производных:
f’_x(1;2) = 26
f’_y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости

Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.

Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.

Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.

Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n → , расположенном в плоскости γ , вектор t · n → , имея ненулевое значение параметра t , также нормальный вектор плоскости γ . Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.

Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.

Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.

Задана прямоугольная система координат О х у z в трехмерном пространстве. Координатные векторы i → , j → , k → считаются нормальными векторами плоскостей O y z , O x z и O x y . Это суждение верно, так как i → , j → , k → ненулевые и расположены на координатных прямых O x , O y и O z . Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям O y z , O x z и O x y .

Видео:Вектор нормали к поверхности поля в точкеСкачать

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат О х у z . Для определения нормального вектора n → = ( A , B , C ) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 . То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.

Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2 x — 3 y + 7 z — 11 = 0 .

По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n → = ( 2 , — 3 , 7 ) — это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t · n → = 2 · t , — 3 · t , 7 · t , t является любым действительным числом не равным нулю.

Ответ: n → = ( 2 , — 3 , 7 ) .

Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x + 2 z — 7 = 0 .

По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x + 2 z — 7 = 0 к виду 1 · x + 0 · y + 2 z — 7 = 0 . Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны ( 1 , 0 , 2 ) . Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Ответ: ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид x a + y b + z c = 1 , и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1 a , 1 b , 1 c .

Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.

Видео:Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностиСкачать

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Видео:Направляющий и нормальный вектор прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Поверхности. Касательная плоскость и нормаль

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Краткие теоретические сведения

Способы задания поверхностей

Рассматриваем вектор–функцию двух скалярных аргументов: $$vec=vec(u,v).$$ Годографом такой функции является поверхность.

Запишем четыре способа задания поверхности: 1. Векторное уравнение: $$vec=vec(u,v).$$ 2. Параметрическое уравнение: $$x=x(u,v),,, y=y(u,v),,, z=z(u,v).$$ 3. Неявное уравнение: $$varPhi(x,y,z)=0.$$ 4. Явное уравнение: $$z=z(x,y).$$

Поверхность называется регулярной ($k$ раз дифференцируемой), если у каждой точки этой поверхности есть окрестность, допускающая регулярную параметризацию (то есть функции $x(u,v), y(u,v),z=z(u,v)$ $k$ раз непрерывно дифференцируемы). При $k=1$ поверхность называется гладкой.

Регулярная поверхность в окрестности каждой своей точки допускает бесчисленное множество параметризаций.

Кривая, лежащая на поверхности $vec=vec(u,v)$, задается уравнениями $$ u=u(t),,, v=v(t).$$ Линии $u=mbox$, $v=mbox$ являются координатными линиями данной параметризации поверхности.

Видео:Математический анализ, 33 урок, Касательная плоскость и нормаль к поверхностиСкачать

Решение задач

Задача 1 (Феденко №544)

Дана поверхность begin x=u+v, ,, y=u-v,,, z=uv. end Проверить, принадлежат ли ей точки $A(4,2,3)$ и $B(1,4,-2)$.

Ответ. Точка $A$ принадлежит, так как ее координаты удовлетворяют системе уравнений, задающих поверхность. Точка $B$ не принадлежит поверхности.

Задача 2 (Феденко № 546)

Найдите неявное уравнение поверхности, заданной параметрическими уравнениями: begin begin x & = x_0 + a,mbox,u,mbox,v, \ y & = y_0 + b,mbox,u,mbox,v, \ z & = z_0 + c,mbox,u. end end

Ответ. Эллипсоид с полуосями $a$, $b$, $c$ и центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$: begin frac+frac+frac=1. end

Задача 3 (Феденко №528)

В плоскости $xOz$ задана кривая $x=f(u)$, $z=g(u)$, не пересекающая ось $Oz$. Найдите параметризацию поверхности, полученной при вращении этой кривой вокруг оси $Oz$.

Решение задачи 3

Произвольная точка $M$, принадлежащая кривой и имеющая координаты $x_0=f(u_0)$, $y_0=0$, $z_0=g(u_0)$, движется по окружности с центром на оси $Oz$ и радиусом $R=f(u_0)$ в плоскости, параллельной плоскости $xOy$: $z=g(u_0)$. Поэтому изменение ее координат можно записать следующими уравнениями: begin left< begin x_0 & = & f(u_0),mbox,v, \ y_0 & = & f(u_0),mbox,v, \ z_0 & = & g(u_0). \ end right. end

Поскольку точка $M$ произвольная, уравнение искомой поверхности: begin left< begin x & = & f(u),mbox,v, \ y & = & f(u),mbox,v, \ z & = & g(u). \ end right. end

Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

Касательная плоскость. Нормаль

Видео:Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точкеСкачать

Краткие теоретические сведения

Пусть $vec=vec(u,v)in C^1$ — поверхность, проходящая через точку $P(u_0, v_0)$. Пусть $u=u(t)$, $v=v(t)$ — уравнения гладкой кривой, проходящей через точку $P(u_0, v_0)$ и лежащей на заданной поверхности.

Пусть точка $P$ не является особой, то есть ранг матрицы begin left( begin x_u & y_u & z_u \ x_v & y_v & z_v \ end right) end в точке $P$ равен $2$ (для особой точки ранг меньше $2$). Если поверхность задана неявно $varPhi(x,y,z)=0$, то в не особой точке $P$ выполняется условие: $varPhi_x^2+varPhi_y^2+varPhi_z^2neq0.$

Касательная к кривой $u=u(t)$, $v=v(t)$ на поверхности $vec=vec(u,v)$ определяется вектором: begin displaystylefrac<dvec>

$ лежат в одной плоскости, определяемой векторами $vec_u$, $vec_v$. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке $P$. Запишем уравнение касательной плоскости.

Обозначения:
— $vec=$ — радиус-вектор произвольной точки касательной плоскости.
— $vec=$ — радиус вектор точки $P(u_0, v_0)$.
— Частные производные $x_u$, $y_u$, $z_u$, $x_v$, $y_v$, $z_v$ вычисляются в точке $P(u_0, v_0)$.

Уравнение касательной плоскости:

1. Если поверхность задана векторно, то уравнение касательной плоскости можно записать через смешанное произведение трех линейно зависимых векторов: $$ left(vec-vec, , vec_u, , vec_v right)=0. $$ 2. Если поверхность задана параметрически, запишем определитель: begin left| begin X-x & Y-y & Z-z \ x_u & y_u & z_u\ x_v & y_v & z_v\ end right|=0 end 3. Если поверхность задана неявным уравнением: begin varPhi_x(X-x)+varPhi_y(Y-y)+varPhi_z(Z-z)=0. end 4. В случая явного задания поверхности, уравнение касательной плоскости примет вид: begin (Z-z)=z_x(X-x)+z_y(Y-y). end

Нормалью поверхности в точке $P$ называется прямая, проходящая через $P$ перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.

Уравнение нормали:

1.$$ vec=vec + lambdavec, ,, vec=vec_utimesvec_v. $$ 2. begin displaystylefrac< left| begin y_u & z_u\ y_v & z_v\ end right|>= displaystylefrac< left| begin z_u & x_u\ z_v & x_v\ end right|>= displaystylefrac< left| begin x_u & y_u\ x_v & y_v\ end right|>. end 3. begin displaystylefrac=displaystylefrac=displaystylefrac. end 4. begin displaystylefrac=displaystylefrac=displaystylefrac. end

Видео:Геометрия. 9 класс. Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой /22.10.2020/Скачать

Решение задач

Задача 1 (Феденко №574)

Дана поверхность begin x=u,mbox,v,,, y=u,mbox,v,,, z=u. end Написать:
а) уравнение касательной плоскости к поверхности;
б] уравнение нормали к поверхности;
в) касательной к линии $u=2$
в точке $Mleft(u=2, v=displaystylefracright)$ поверхности.

Задача 2

Через точки $A(0,1,0)$ и $B(1,0,0)$ провести плоскость, касательную к поверхности $vec=$.

Ответ. $z=0, -2X-2Y+Z+2=0$.

Задача 3

Построить касательную плоскость к поверхности $y=x^2+z^2$, перпендикулярную вектору $vec$.

Задача 4

Через точку $M(1,2,1)$ провести плоскость, касательную к поверхности $x^2+y^2-z^2=0$.

Ответ. $X-Z=0$, $3X-4Y+5Z=0$.

Задача 5 (Феденко №594)

Докажите, что поверхности begin z=mbox(xy), ,, x^2-y^2=a end ортогональны в точках их пересечения.

Решение задачи 5

Запишем направляющие векторы нормалей к поверхностям, проведенным в точках их пересечения: begin begin vec_1&=left<frac<mbox^2(x_0y_0)>,frac<mbox^2(x_0y_0)>,-1right>,\ vec_2&=left. end end Скалярные произведения векторов $n_1$ и $n_2$ равны нулю, следовательно векторы ортогональны. begin n_1cdot n_2=0. end

📸 Видео

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать

Репетитор по математике ищет нормаль к плоскостиСкачать

Поток векторного поля через замкнутую поверхностьСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Видеоурок "Нормальное уравнение прямой"Скачать

Функции нескольких переменных. Теория. Касательная плоскость и нормаль к поверхностиСкачать

Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).Скачать

Поверхности и линии уровняСкачать