Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаВписанные четырехугольники и их свойства
Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаТеорема Птолемея

Видео:ОКРУЖНОСТЬ (необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника) ЧАСТЬ 6Скачать

ОКРУЖНОСТЬ (необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника) ЧАСТЬ 6

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаНеобходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаНеобходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииНеобходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаНеобходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникНеобходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Окружность, описанная около параллелограмма
Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника
Окружность, описанная около параллелограмма
Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаНеобходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииНеобходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаНеобходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникНеобходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Видео:свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTSСкачать

свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTS

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Докажем, что справедливо равенство:

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

откуда вытекает равенство:

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Четырехугольник называется вписанным , если все его вершины лежат на окружности.

Четырехугольник называется описанным , если все его стороны касаются некоторой окружности.

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Для того, чтобы четырехугольник был вписанным, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов равнялась .

Необходимость. Пусть четырехугольник вписан в окружность с центром в точке .

По теореме 6.1 Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаАналогично Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Достаточность. Пусть – данный четырехугольник и Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаСуществует окружность, проходящая одновременно через три точки , и (теорема 6.5). Пусть точка лежит внутри окружности. Прямая пересекает окружность в точке Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаТогда четырехугольник Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника– вписанный в окружность и в соответствии с необходимым условием Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаНо Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникакак внешний к углу Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаТогда Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникачто противоречит условию. Следовательно, лежит на окружности, и данный четырехугольник вписанный. Аналогично рассматривается случай, если предположить, что точка лежит вне окружности. Теорема доказана.

Рисунок 7.5.1.

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Для того, чтобы выпуклый четырехугольник был описанным, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны.

Необходимость. Пусть четырехугольник описанный, и – точки касания его сторон. Имеем (отрезки касательных, проведенных из одной точки равны). Отсюда .

Достаточность. Пусть в четырехугольнике выполнено равенство . Биссектрисы углов и пересекаются в точке . Точка одинаково удалена от прямых , и . Пусть – окружность, касающаяся сторон , и , а сторона пересекает окружность . Проведем касательную к окружности из точки , и пусть она пересекает прямую в точке . Тогда из необходимого условия – . Вычитая из данного равенства равенство в условиях теоремы получаем или , . Мы пришли к противоречию, так как . В случае, если прямая не пересекает окружность , доказательство аналогично. Теорема доказана.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Около четырехугольника можно описать окружность

Теорема (свойство вписанного четырёхугольника)

Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаДано: ABCD вписан в окр. (O; R)

∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD.

∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу DAB.

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника

Что и требовалось доказать.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°.

Дано: ABCD — четырёхугольник,

Доказать: ABCD можно вписать в окружность

Опишем окружность около треугольника ABC и докажем, что точка D лежит на этой окружности.

Доказательство будем вести методом от противного.

Предположим, что точка D не лежит на описанной около треугольника ABD окружности. Тогда D лежит либо внутри этой окружности, либо вне её.

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаПусть точка D лежит внутри окружности и луч AD пересекает окружность в точке E.

В этом случае четырёхугольник ABCE — вписанный, и сумма его противолежащих углов равна 180°: ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Отсюда следует, что ∠D=∠E.

Но угол D — внешний угол треугольника DCE при вершине D.

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов, то

∠ADC=∠DEC+∠DCE, то есть угол D не может быть равным углу E. Пришли к противоречию. А значит, точка D не может лежать внутри окружности, описанной около треугольника ABC.

Необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольникаПредположим, что точка D лежит вне описанной около треугольника ABC окружности.

Луч AD пересекает окружность в точке E.

Тогда ABCE — вписанный четырёхугольник и ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Получаем, что ∠D=∠E.

Но угол E — внешний угол треугольника ECD при вершине E. А значит,

∠AEC=∠EDC+∠DCE, то есть углы D и E не могут быть равными. Противоречие получили потому, что предположили, что точка D лежит вне окружности.

Так как точка D не может лежать внутри либо вне описанной около треугольника ABC окружности, то D лежит на этой окружности. Это значит, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Что и требовалось доказать.

На основании свойства и признака вписанного четырёхугольника сформулируем необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника.

Теорема (Необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма уго противолежащих углов равна 180°.

🎬 Видео

Свойство и признак вписанного четырехугольникаСкачать

Свойство и признак вписанного четырехугольника

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Следствие, необходимые и достаточные условия (версия 2)Скачать

Следствие, необходимые и достаточные условия (версия 2)

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Необходимые и достаточные условия | Курс молодого бойца | Занятие 1Скачать

Необходимые и достаточные условия | Курс молодого бойца | Занятие 1

#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать

#58. Олимпиадная задача о четырехугольнике

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольник

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика
Поделиться или сохранить к себе: