Необходимое достаточное условие ортогональности векторов (4 видео)

Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов.

Способ задания вектора его координатами. Разложение вектора по базису.

Вектор может быть задан:

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Теорема. Любой вектор n-мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Необходимое достаточное условие ортогональности векторов

Базисом пространстваназывают такую систему векторов в которой все остальные векторы пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов, входящих в базис.
На практике это все реализуется достаточно просто. Базис, как правило, проверяют на плоскости или в пространстве, а для этого нужно найти определитель матрицы второго, третьего порядка составленный из координат векторов. Ниже схематически записаны условия, при которых векторы образуют базис
Чтобы разложить вектор b по базисным векторам
e[1],e[2]. e[n] необходимо найти коэффициенты x[1], . x[n] при которых линейная комбинация векторов e[1],e[2]. e[n] равна вектору b:
x1*e[1]+ . + x[n]*e[n] = b.
Для этого векторное уравнение следует преобразовать к системе линейных уравнений и найти решения. Это также достаточно просто реализовать.
Найденные коэффициенты x[1], . x[n] называются координатами вектора b в базисе e[1],e[2]. e[n].
Перейдем к практической стороне темы.

Скалярное произведение двух векторов заданных их модулями и направлениями.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей векторов и на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначают или

Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из векторов на проекцию второго вектора на направление первого.

Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны

Скалярное произведение двух векторов заданных их координатами.

Координатный вид скалярного произведения векторов

Свойства скалярного произведения и его приложения.

4. Условие ортогональности 2-ух векторов а⊥b ⇔ a*b=0

5. Условие коллинеарности двух векторов в координатной форме а ∥ b⇔ a_x/b_x=a_y/b_y=a_z/b_z

Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов.

Ортогональность двух векторов-это ничто иное как их перпендикулярность
Условие ортогональности двух векторов:
Т. о. , для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.

Содержание

Ортогональные векторы и условие ортогональности
Ортогональные векторы: определение и условие
Примеры решения задач на ортогональность векторов
Плоские задачи на ортогональность векторов
Примеры пространственных задач на ортогональность векторов
Ортогональность векторов. Перпендикулярность векторов.
Примеры задач на ортогональность векторов
Примеры плоских задач на ортогональность векторов
Примеры пространственных задач на ортогональность векторов
💥 Видео

Видео:Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Ортогональные векторы и условие ортогональности

В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

Видео:Коллинеарность векторовСкачать

Ортогональные векторы: определение и условие

Ортогональные векторы — это векторы a ¯ и b ¯ , угол между которыми равен 90 0 .

Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Видео:2 42 Ортогональность векторовСкачать

Примеры решения задач на ортогональность векторов

Плоские задачи на ортогональность векторов

Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = и b ¯ = записывают следующим образом:

a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0

Задача 1. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

Задача 2. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 3 × 7 + ( — 1 ) × 5 = 21 — 5 = 16

Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

Задача 3. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = и b ¯ = будут ортогональными.

Как решить?

Найдем скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = — 4 n = — 2

Ответ: векторы являются ортогональными при значении n = 2 .

Видео:Линейная зависимость и линейная независимость векторов.Скачать

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a ¯ = и b ¯ = условие записывается следующим образом: a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y + a z × b z = 0 .

Задача 4. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) + 0 × 10 = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Задача 5. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = и b ¯ = будут являться ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 + 1 × ( — 8 ) = 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4 2 n — 4 = 0 2 n = 4 n = 2

Ответ: векторы a ¯ и b ¯ будут ортогональными при значении n = 2 .

Видео:Следствие, необходимые и достаточные условия (версия 2)Скачать

Ортогональность векторов. Перпендикулярность векторов.

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).

рис. 1

Видео:Условие перпендикулярности векторов. 11 класс.Скачать

Примеры задач на ортогональность векторов

Примеры плоских задач на ортогональность векторов

Так в случае плоской задачи для векторов a = < a_x ; a_y > и b = < b_x ; b_y > , условие ортогональности запишется следующим образом: