Найти векторы обратной решетки для ромбоэдрического кристалла кальцита
Обновлено
Поделиться
Обратная решетка и ее свойства
Обратная решетка. Понятия «обратная решетка» и «обратное пространство» занимают особое место в физике дифракции, в кристаллографин и вообще в физике конденсированного состояния. Эти понятия в физике были введены американским физиком и математиком Джо- зайей Уиллардом Гиббсом*. Рассмотрим вначале определение обратной решетки.
Выберем три базисных вектора а, Ь, с, определяющие элементарную ячейку решетки в обычном пространстве кристалла (в прямом пространстве). Тогда вектор трансляции будет иметь вид (1.2)
Здесь т, п, р — целые числа.
Введем новое пространство, в котором определим также три базисных вектора а*, Ь*, с* и вектор трансляции, размножающий решетку:
Здесь h, к, I пока просто целые числа.
Если введенные в (1.4) векторы удовлетворяют тождествам
то векторы а, Ь, с называются векторами прямой решетки, а векторы а*, Ь*, с* — векторами обратной решетки в обратном пространстве. Тогда целые числа h, k, I являются индексами Миллера плоскостей в прямой решетке.
Свойства обратной решетки. Векторы обратной решетки имеют два важных свойства (рис. 1.8).
1. Вектор обратной решетки Ншвсегда перпендикулярен плоскости прямой решетки с индексами (hkl).
2. Модуль вектора обратной решетки Нш всегда равен обратной величине межплоскостного расстояния для плоскостей в прямой решетке с индексами (hkl), т. е.
Первое свойство обратной решетки доказывается так. Если две любые прямые линии, лежащие в плоскости, перпендикулярны какому- либо вектору, не лежащему в этой плоскости, то этот вектор обязательно перпендикулярен выбранной плоскости.
Выберем три вектора АВ, СВ, СА, лежащих в плоскости АВС, и определим их величины:
Рис. 1.8. Два свойства обратной решетки:
а — вектор обратной решетки с индексами hkl перпендикулярен плоскостям прямой решетки с индексами Миллера (hkl); б — расстояния между плоскостями прямой решетки с индексами Миллера (.hkl) равны модулю вектора обратной
Из векторной алгебры известно, что два вектора перпендикулярны друг другу, если их скалярное произведение равно нулю. Воспользовавшись определением векторов обратной решетки, можно записать
Отсюда следует, что вектор Н перпендикулярен плоскости прямой решетки с индексами (hkl). Рассмотренные свойства векторов обратной решетки делают понятным построение стереографической проекции, когда плоскости заменяются нормалями к плоскостям, т. е. векторами обратной решетки.
Второе свойство обратной решетки также легко доказывается. Выберем в пространстве кристалла любую плоскость АВС с индексами Миллера (hkl) (см. рис. 1.9) Пусть вектор п — единичный вектор нормали к этой плоскости, а вектор R — текущий радиус-вектор точки, лежащей на плоскости АВС. Пусть также а — кратчайшее расстояние от начала координат до плоскости ЛВС.
Тогда уравнение такой плоскости можно записать в виде
Здесь n — единичный вектор нормали к плоскости;
о — кратчайшее расстояние от начала координат до плоскости;
где 5 — целое число (например, для плоскости, проходящей через начало координат, 5 = 0); d — межплоскостное расстояние для этой системы плоскостей.
Рис. 1.9.К выводу второго свойства вектора обратной решетки Н:
А, В, С — точки пересечения плоскости с осями координат; R — текущий радиус-вектор любой точки на плоскости; а — расстояние от начала координат
С учетом сделанных пояснений уравнение плоскости (1.6) представимо как
Запишем текущий радиус-вектор любой точки плоскости АВС:
Тогда уравнение плоскости (1.7) можно переписать в виде
В уравнении плоскости (1.8) выражение есть уравнение плоскости АВС. Следовательно,
что и требовалось доказать.
Для кубической сингонии величина межплоскостного расстояния определяется соотношением
где а — параметр решетки.
Для других сингоний формулы для межплоскостных расстояний приведены в прил. 9 (табл. П.9.10).
Обратное пространство является более общим понятием (в физике конденсированного состояния используются эквивалентные термины: «векторное пространство», «/с-пространство», «пространство дисперсии»). В обратном пространстве разыгрываются все дифракционные явления. Математическим аппаратом, описывающим связь прямого и обратного пространства, является преобразование Фурье (рис. 1.10) — гармонический ряд или интегралы Фурье (более подробно об этом см. в главе 3):
Puc. 1.10. Схематическое изображение связи прямого и обратного пространства
Понятие обратной решетки, введенное выше, — это частный случай обратного пространства. При первом знакомстве эта модель кажется очень абстрактной и сильно усложненным понятием. Однако это не просто удобный способ описания дифракционных явлений: именно в узлах обратной решетки располагаются дифракционные максимумы. Без такого понятия многие дифракционные явления довольно сложно описать. Понятия «обратная решетка», «обратное пространство» проходят красной нитью через всю физику твердого тела (зонная структура вещества, зоны Бриллюэна, Фурье-образ, ^-пространство, дисперсионные зависимости и др.).
Учебно-методические указания для выполнения практических, домашних, самостоятельных и контрольных работ студентами специальностей:
200102 «Приборы и методы контроля качества и диагностики»
200503 «Стандартизация и сертификация»
210100 «Электроника и наноэлектроника»
Екатеринбург УрФУ Оглавление Введение
1. Пространственная решетка и ее свойства
1.1. Элементарные ячейки и структура кристаллов
Задачи для самостоятельных и домашних работ
1.2. Плоскости в кристалической решетке. Индексы Миллера
Задачи для самостоятельных и домашних работ
1.3. Обратная решетка и ее свойства.
Задачи для самостоятельных и домашних работ
2. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах. Формула Вульфа-Брэгга. Задачи для самостоятельных и домашних работ
3. Межатомные взаимодействия и типы связей в твердых телах
Задачи для самостоятельных и домашних работ
4. Дефекты в кристаллах, диффузия.
Задачи для самостоятельных и домашних работ
5. Динамика кристаллической решетки.
Задачи для самостоятельных и домашних работ
6. Физические свойства полупроводников.
Задачи для самостоятельных и домашних работ
Введение В данном пособии содержатся задачи по основным разделам физики твердого тела, которые были взяты из периодической литературы, монографий и учебников. Рассматриваются различные физические и физикохимические свойства твердых тел, в том числе механические, упругие, тепловые. Значительное внимание уделено основам кристаллографии и энергии кристаллической решетки.
Содержание пособия составлено так, чтобы по возможности охватить все наиболее важные вопросы физики твердого тела, однако при этом затронуты не все разделы курса. Это отчасти можно объяснить как ограниченным объемом пособия, так отсутствием в использованной литературе задачь по всем всем без исключения разделам.
В пособии приводятся примеры решения задач, что должно способствовать развитию навыков решения задач в этой области физики. В задачах использовалась преимущественно Международная система единиц СИ, хотя в отдельных случаях допускались и другие системы. В пособии приводятся различные математические методы и приемы, прочно вошедшие в физику твердого тела. Внимательное ознакомление с решениями задач должно облегчить студентам и аспирантам, изучение специальной литературы и оригинальных журнальных статей по тематике физика твердого тела.
В пособии встречаются задачи различной степени трудности.
Большинство задач могут решаться со студентами на практических занятиях по общему курсу физики. Отдельные задачи, требующие сравнительно больших вычислений, могут быть использованы при изучении специальных курсов физики твердого тела. Математическая подготовка, необходимая для решения задач, не выходит за пределы обычного курса высшей математики, читаемого во втузах. В связи с этим в пособии ограничено число задач по квантовой теории твердого тела.
Настоящее пособие рассчитано на лиц, изучающих курс физики твердого тела или же знакомых с этим курсом. Оно будет полезно студентам университетов и втузов, а также аспирантам, специализирующимся по физике твердого тела.
1. Пространственная решетка и ее свойства 1.1. Элементарные ячейки и структура кристаллов Задача 1. Плотность кристалла NaC1 равна 2180 кг/м3. Атомный вес натрия 23, хлора 35,46. Определить постоянную решетки.
Решение. Масса элементарной ячейки кристалла NaCl равна M = a3r где a – постоянная решетки, r – плотность кристалла. Но, с другой стороны, M = mH (NNaANa + NClACl) где mH – масса атома водорода (1,6610-27 кг); NNa – число атомов натрия в элементарной ячейке; NCl – число атомов хлора в элементарной ячейке; ANa – атомный вес натрия; ACl –атомный вес хлора.
Приравнивая правые части двух выражений и учитывая, что на одну элементарную ячейку NaC1 приходится половина атома натрия и половина атома хлора, получаем Задача 2. Найти число атомов алюминия в единице объема. Плотность алюминия r =2700 кг/м3.
Решение. В килограмм-молекуле алюминия содержится 6,021026 атомов.
Одна килограмм-молекула занимает объем:
где A – атомный вес, r – плотность. Тогда число атомов в единице объема:
решетке существует ось пятого порядка L (рис. 13). Возьмем один из ближайших к оси узлов решетки, например a1. После последовательно точки a2, a3, a4 и a5.
прямую a1a4, параллельную стороне a2a3 пятиугольника. Так как на параллельных рядах атомы в решетке расположены на одинаковых расстояниях, то на прямой a1a4 должен находиться также узел решетки k.
Этот узел ближе к оси симметрии, чем любой из узлов a1, a2, a3 и т. д.
Приходим к заключению, противоречащему принятому условию, согласно которому узел a1 – ближайший к оси симметрии пятого порядка. Отсюда вытекает, что в кристаллической решетке ось симметрии пятого порядка отсутствует.
Задача 4 (6). Определить объемы элементарной ячейки через радиусы равновеликих шаров, образующих плотные упаковки для 1) объемноцентрированной, 2) гранецентрированной и 3) гексагональной решеток.
Решение. 1) Параметр элементарной ячейки через радиус шара выражается следующим образом (рис. 2):
Тогда 2) Параметр элементарной ячейки можно выразить через радиусы шаров, образующих плотнейшую упаковку (рис. 3a):
Тогда Рис. 3. Кристаллическая решетка: а – ГЦК, б – гексагональная.
3) Величина параметра решетки a = 2r. Тогда площадь основания элементарной ячейки (рис. 3б) Задача 5 (7). Чему равно число атомов в элементарной ячейке в случае 1) простой, 2) объемноцентрированной и 3) гранецентрированной кубических решеток?
Решение. 1) В простой кубической решетке атомы находятся только в параллелепипедам кристаллической решетки. Поэтому на каждую вершину одной ячейки приходится одна восьмая часть атома, находящегося в вершине (рис. 4а).
Ячейка имеет восемь углов, следовательно, на нее приходится один атом.
2) В объемноцентрированной кубической решетке, кроме атомов, расположенных в углах, элементарной ячейке принадлежит полностью внутренний центральный атом (рис. 4б). Таким образом, в объемноцентрированной решетке на каждую ячейку приходится два атома.
3) В гранецентрированной кубической решетке атомы, расположенные в центре граней, принадлежат двум ячейкам (рис. 4в). Поэтому число атомов в элементарной ячейке равно четырем.
Задача 6 (8). Чему равно число атомов в элементарной ячейке гексагональной плотноупакованной решетки?
гексагональной плотноупакованной решетке приходится шесть атомов. Три внутренних атома, которые расположены в центрах трех (из полностью принадлежат одной элементарной ячейке. Два атома, расположенные в центрах базисных граней, принадлежат элементарной ячейке наполовину и в сумме дают один атом.
Каждый атом, который находится в вершине гексагональной призмы, принадлежит шести элементарным ячейкам.
В целом все эти двенадцать атомов вносят вклад в одну элементарную ячейку на два атома. Итак, на элементарную ячейку гексагональной решетки приходится шесть атомов.
Задача 7 (9). Показать, что c/a для идеальной гексагональной структуры с плотной упаковкой равно (8/3)0,5 = 1,633.
Решение. Решетка с гексагональной плотной упаковкой возникает при расположении атомов в слоях по схеме АВА. В этой решетке три атома первого слоя и один атом второго слоя образуют четырехгранную пирамиду, высота которой равна (рис. 6) Так как а период решетки a = 2r, то Тогда Задача 8 (12). Пусть гранецентрированная кубическая и гексагональная решетки построены из одинаковых атомов, представляющих собой жесткие сферы с радиусом r. Показать, что часть объема, занятая атомами при таком расположении, равна Решение. Для гранецентрированной кубической решетки N=4, объем элементарной ячейки равен 16 2r 3.
Тогда Поскольку в элементарной ячейке гексагональной решетки содержится шесть атомов, то коэффициент заполнения пространства определяется выражением гранецентрированной кубической, атомами заполнено всего лишь 74% пространства от общего объема решетки.
Из приведенных вычислений следует, что даже в решетках с самой плотной упаковкой атомов остаются незаполненными 26% пространства от общего объема решетки.
Задача 9 (22). Вычислить объем элементарной ячейки триаминхлорида четырехвалентной платины, если параметры ячейки и углы триклинности имеют следующие значения: a=11,13, b=9,83, c=8,17, a = 94o9,5, b = 95o 40, g = 96o58.
Решение. Объем элементарной ячейки численно равен смешанному произведению векторов a, b и c :
где ax, a y, a z и т.д. – проекции трех векторов a, b и c на три взаимно перпендикулярные координатные оси. Возведем правую и левую части (*) в квадрат:
Заменяя суммы в определителе скалярным произведением, можно записать:
Раскрывая определитель, получим Задача 10 (23). Воспользовавшись формулой объема элементарной ячейки триклинной системы, получить формулы для объема ячеек 1) моноклинной, 2) гексагональной и 3) ромбоэдрической систем.
Решение. 1) В моноклинной системе a = g = 90o. Тогда 2) В гексагональной системе a = b = 90o, g = 120o. В этом случае 3) В ромбоэдрической системе a = b = c,a = b = g 90o.
Тогда Задачи для самостоятельных и домашних работ Задача 11 (3). Определить число атомов в элементарной ячейке железа, кристаллизующегося в кубической системе. Ребро куба а=2,87 ; атомный вес железа 55,84; плотность его 7800 кг/м3.
Задача 12 (5). Показать, что в гранецентрированной кубической решетке среди соседних узлов всегда имеется группа из трех узлов, являющихся вершинами равностороннего треугольника.
Задача 13 (10). Пусть элементарная ячейка простой кубической решетки построена из одинаковых атомов, представляющих собой жесткие сферы с радиусом r. Ребро элементарной ячейки а = 2r (атомы касаются друг друга).
Показать, что часть объема, занятая атомами при таком расположении, равна p/6 = 0,523.
Задача 14 (11). Объемноцентрированная кубическая решетка состоит из атомов одного вида, имеющих радиусы r. Пусть атомы, расположенные по диагонали, которая проходит через центр куба, касаются друг друга.
Показать, что часть объема, занятая атомами при таком расположении равна = 0,68.
Задача 15 (13). Определить радиусы атомов, которые могут быть размещены в октаэдрических (рис. 7) и тетраэдрических (рис. 8) пустотах при плотных упаковках равновеликих шаров.
Рис. 7 Октаэдрическая структура Рис. 8 Тетраэдрическая структура Задача 16 (14). Пусть атомы а и b образуют кристалл, имеющий структуру CsCl, и представляют собой жесткие сферы с радиусами ra и rb. Показать, что атомы, расположенные по диагонали, которая проходит через центр куба, не могут касаться друг друга, если или b больше чем 1,37.
Задача 17 (15). Два элемента а и b образуют кристалл ab, у которого решетка типа NaCl. Считать, что атомы имеют вид жестких сфер с радиусами ra и rb. Показать, что атомы, расположенные по диагонали грани куба, не могут касаться друг друга, если больше чем 2,44.
Задача 18 (16). Ионная кристаллическая решетка образуется ионами с зарядами z1 = 4 и z2 = 1. Показать, что в этом случае наиболее вероятно возникновение кристаллической решетки с координационным числом 6.
Задача 19 (24). Найти число элементарных ячеек в 1 см 3 кристалла магния с параметрами решетки a=3,20 и c=5,20.
1.2. Плоскости в кристалической решетке. Индексы Миллера.
Задача 20 (17). Определить отрезки, которые отсекает на осях решетки плоскость (125).
Задача 21 (18). Найти индексы плоскостей, проходящих через узловые точки кристаллической решетки с координатами 9 10 30, если параметры решетки a=3, b=5 и c=6.
Решение. Из теории кристаллической решетки следует, что где h, k, l – индексы Миллера. Тогда Таким образом, искомые индексы нашей плоскости (10 15 6).
Задача 22 (19). Даны грани (320) и (110). Найти символ ребра их пересечения.
Решение. Как известно, если символы граней равны (h1k1l1) и (h2k2l2), то символы общего ребра выражаются следующим образом:
Решение получается также из схемы Для нашего случая Отсюда h=0-0=0, k=0-0=0, l=3-2=1. Искомый символ ребра [001].
Задача 23 (31). В триклинной решетке кианита (Al2O3 SiO2) параметры а, b, с и углы a, b, g элементарной ячейки соответственно равны 7,09; 7,72;
5,56 ; 90о55 ; 101о 2 ; 105о 44. Определить расстояние между плоскостями (102).
Решение. Межплоскостное расстояние между плоскостями с индексами (hkl) находят путем определения длины вектора rhkl в обратном пространстве, соединяющего начало координат с точкой (hkl). При этом Так как где a *, b *, c * — единичные векторы обратной решетки, то (см. задачу 30) можно записать:
Векторы обратной решетки выражаются через векторы основной решетки следующим образом:
где V – объем элементарной ячейки, построенной на векторах a, b и с. Тогда Введем обозначения:
По формулам векторного и смешанного произведений:
Получим окончательно где В нашем случае k=0. Поэтому формула упрощается:
откуда Вычислим следующие значения:
S13= ab 2 c(cos g cosa — cos b ) = 7,09 2 7,72 2 5,56(sin 15 o 44′ sin 0 o 55’+ sin 11o2 2′) » 459,77 A 4.
Объем элементарной ячейки Тогда Задача 24 (32). Получить формулы для вычисления межплоскостных расстояний кристаллов 1) ромбической, 2) гексагональной, 3) тетрагональной и 4) кубической систем из формулы для межплоскостных расстояний кристаллов триклинной системы.
Решение. Для вычисления межплоскостных расстояний кристаллов различных систем воспользуемся формулой для триклиновой системы, полученной в предыдущей задаче.
S11= b 2 c 2, S22= a 2 c 2, S33= a 2 b 2, S12=S23=S13=0. Объем элементарной ячейки ромбической системы равен abc. Следовательно, или 2) В гексагональной системе a = b c, a = b = 90 o, g = 120 o. Тогда S11= a 2 c 2, S22= a 2 c 2, S33= a 4, S 12 =, S23=S13=0. Так как объем примитивной ячейки или 3) Для тетрагональной системы межплоскостное расстояние можно найти из формулы для ромбической системы при условии a=b. Тогда 4) В кубической системе a=b=c. Поэтому межплоскостных расстояний моноклинной и ромбоэдрической систем.
Задачи для самостоятельных и домашних работ Задача 25 (20). Даны два ребра [130] и [201]. Найти символ грани, в которой они лежат одновременно.
Задача 26 (21). Положение плоскостей в гексагональной системе определяется с помощью четырех индексов. Найти индекс i в плоскостях (100), (010), (110) и (211) гексагональной системы.
Задача 27 (33). Чему равны расстояния между плоскостями (100), (110) и (111) в кубической решетке с параметром а?
Задача 28 (34). Определить угол между плоскостями (201) и (310) в ромбической сере с параметрами решетки a=10,437, b=12,845, c=24, Задача 29 (35). Вычислить угол между плоскостями (111) и (102) тетрагонального кристалла галлия с параметрами решетки a=4,50, c=7,64.
Задача 30 (36). Найти угол, образуемый гранями (100) и (010) кубического кристалла.
Задача 31 (37). Определить условие перпендикулярности двух плоскостей (h 1 k 1 l 1 ) и (h 2 k 2 l 2 ) в ромбоэдрической системе.
Задача 32 (38). Определить величину отрезка вдоль направления [322] от начала координат до первого атома в триклинной решетке с параметрами a=11,13, b=9,83, c=8,17, a = 94o9, b = 95o 40, g = 96o58.
Задача 33 (39). Написать формулы для периода идентичности 1) моноклинного, 2) ромбического, 3) тетрагонального и 4) гексагонального кристаллов.
Задача 34 (40). Моноклинная решетка b — селена имеет следующие параметры: a=12,85, b=8,07, c=9,31, b = 93o8. Определить угол между прямой, проходящей через начало координат и точку с координатами 1 0 0, и плоскостью (102).
Задача 35 (41). Доказать, что в кубическом кристалле любое направление [hkl] перпендикулярно к плоскости (hkl) с теми же значениями индексов Миллера.
Задача 36 (42). Вычислить угол между двумя прямыми [101] и [012] в ромбической решетке медного купороса с параметрами решетки a=4,88, b=6,66, c=8,32.
Задача 37 (43). Определить угол между двумя направлениями [102] и [210] в кристалле триглицинсульфата ((NH2CH2C00H)3 H2S04) с параметрами элементарной ячейки a=9,42, b=12,64, c=5,73 и углом моноклинности b = 110o 23.
Задача 38 (44). Определить угол между телесной диагональю и ребром куба.
1.3. Обратная решетка и ее свойства.
гексагональной системе и имеет параметры a=3,20 и c=5,20.
Определить векторы обратной решетки.
Решение. Векторы обратной решетки определяются следующим образом:
элементарной ячейки гексагональной решетки Задача 40 (26). Показать, что если две решетки являются обратными одна по отношению к другой, то произведение объемов их элементарных ячеек равно единице.
Решение. Объем элементарной ячейки обратной решетки где a *, b *, c * — векторы основных трансляций обратной кристаллической решетки. Так как Раскроем двойное векторное произведение:
Учитывая, что ( a [a b ])=0, получаем т.е. V *V = 1.
Задача 41 (27). Выразить углы между векторами обратной решетки через углы прямой решетки.
Решение. Углы между векторами обратной решетки находятся по общему правилу определения углов между двумя векторами. Для косинуса одного из углов обратной решетки можно записать Так как Известно, что Кроме того, Аналогичным образом можно показать, что Задача 42 (28). Показать, что решетка, обратная кубической объемноцентрированной, будет кубической гранецентрированной.
Решение. Покажем сначала, что решетка, обратная кубической решетке, будет также кубической. Для этого найдем углы.
Запишем известные формулы:
Так как в кубической решетке a = b = g = 90 0, то, согласно приведенным формулам, a * = b * = g * = 90 0.
В объемно-центрированной решетке расстояния между плоскостями вдоль ребер куба равны a. Следовательно, атомы, расположенные в вершинах куба прямой решетки, находятся в обратной решетке на расстояниях друг от друга Рис. 9 Плоскость (110) Рис. 10 Положение узла в обратной решетке В вершинах куба. Кроме того, в объемно-центрированной кубической решетке имеются три системы плоскостей (110), (011) и (101), которые расположены на расстояниях друг от друга. Например, семейству плоскостей (110) (рис. 31) в обратной решетке отвечает точка в направлении (110) на расстоянии от начала координат (рис. 32). Эта точка является центром грани (001) обратной решетки.
Задача 43 (30). Доказать, что расстояние между плоскостями (hkl) решетки кристалла равно обратной величине длины вектора rhkl из начала координат в точку h k l обратной решетки.
Решение. Если через n обозначить единичный вектор нормали к плоскости (hkl ), то межплоскостное расстояние Тогда Поскольку Задачи для самостоятельных и домашних работ гранецентрированной, будет кубической объемно-центрированной.
Задача 45. Показать, что ромбической решетка в обратном пространстве тоже будет ромбической.
Задача 46. Построить гексагональную решетку в обратном пространстве.
Задача 47. Вычислить объем элементарной ячейки триаминхлорида четырехвалентной платины в обратном пространстве, если параметры ячейки и углы триклинности имеют следующие значения: a=11,13, b=9,83, c=8,17, a = 94o9,5, b = 95o 40, g = 96o58.
Задача 48 (29). Найти векторы обратной решетки для ромбоэдрического кристалла кальцита (СаСОз), если a=6,36, a = 46о 6.
2. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах.
Задача 49 (45). Определить постоянную решетки кристалла LiJ, если известно, что зеркальное отражение первого порядка рентгеновских лучей с длиной волны 2,10 от естественной грани этого кристалла происходит при угле скольжения 10°5′.
Решение. Постоянную решетки LiJ найдем из формулы Вульфа-Брэгга Задача 50 (46). Известно, что длина волны характеристического рентгеновского излучения, полученного с медного анода, составляет 1,537. Эти лучи, попадая на кристалл алюминия, вызывают дифракцию от плоскостей гранецентрированного куба (г. ц. к.), плотность его 2699 кг/м 3, атомный вес 26,98. Рассчитать число Авогадро по этим экспериментальным данным.
Решение. По формуле Вульфа-Брегга найдем межплоскостное расстояние при k = Так как для кубической решетки откуда В элементарной ячейке гранецентрированной решетки содержится четыре атома. Поэтому число атомов в единице объема металла С другой стороны, число атомов в единице объема где N — число Авогадро; A — атомный вес; r — плотность.
Тогда откуда Задача 51 (49). Показать для случая простой кубической решетки, что формула Вульфа—Брэгга является следствием условий Лауэ.
Решение. Для простой кубической решетки условия Лауэ имеют вид:
Возведем, правые и левые их части в квадрат и сложим, имея в виду соотношения:
Получим Обозначим угол между падающим и дифрагированным пучком лучей через 2J. Тогда В этом случае или Если k1, k 2 и k 3 имеют общий сомножитель, т.е. k1 = nh, k 2 = nk, k 3 = nl, то где h, k, l — индексы Миллера. Так как то окончательно получим Задача 52 (51). Рассчитать теоретически углы q, под которыми появятся линии [101] и [110] от кристалла сегнетовой соли в несегнетоэлектрической фазе при рентгеносъемке в медном Ka — излучении. Решетка кристалла ромбическая с параметрами a=11,878, b=14,246, c=6,218.
Решение. Воспользуемся условием Вульфа—Брэгга Поскольку для ромбической системы Длина волны, соответствующая линии СuК, равна 1,84A.
Тогда откуда Задача 53 (52). Какое максимальное число линий может появиться на рентгенограмме от простой кубической решетки с постоянной а = 2,8610- см, если исследование ведется на кобальтовом излучении с длиной волны 1,78910-8 см?
Решение. По формуле Вульфа-Брэгга для кубической решетки имеем Так как максимальное значение синуса J равно единице, то Следовательно, на рентгенограмме появятся линии от плоскостей, у которых сумма квадратов индексов Миллера не превышает 10, а именно:
hkl (100) (110) (111) (200) (210) (211) (220) (300) (310) Задачи для самостоятельных и домашних работ Задача 54 (47). Кристаллы меди имеют гранецентрированную кубическую решетку. При комнатной температуре ребро элементарного куба равно 3,608. Монокристалл меди вырезан параллельно одной из граней монохроматический пучок рентгеновских лучей с длиной волны 1,658.
Показать, что плоскости, параллельные поверхности, будут отражать рентгеновские лучи, если угол между пучком и поверхностью кристалла приближенно равен 27 или 67°.
Задача 55 (48). Показать, что интерференционные максимумы от простой кубической решетки при заданном направлении падающих лучей возможны не для любых длин волн, а только для вполне определенных.
Задача 56 (50). Определить разделение дублета меди – при углах отражения лучей 20 и 80°, если изменению угла q на 0,75° на пленке соответствует 1 мм.
Задача 57 (53). Появятся ли на рентгенограмме линии, возникшие в результате отражения от плоскостей (200) и (101) гранецентрированной кубической решетки?
Задача 58 (54). Показать, что при рассеянии рентгеновских лучей атомами кристалла с пространственной объемноцентрированной решеткой в отражении на рентгенограмме не возникают линии от плоскостей, у которых значение суммы индексов h + k + l — число нечетное.
Задача 59 (55). При съемке дебаеграммы серебра при температурах 18 и 630°С интересующая нас линия появилась при углах 80°9′ и76°54′.
Вычислить коэффициент термического расширения серебра.
термического расширения рентгеновским методом более точные результаты получаются при измерениях на линиях с большими брэгговскими углами.
Задача 61 (57). При прецизионном определении параметров решетки b олова методом асимметричной рентгеновской съемки на Cu-излучении были получены значенияJ для линий [503] a1 и [271] a1 : J(503 ) = 79,017°, J( 271) =82,564°. Найти параметры решетки.
Задача 62 (58). Определить среднеквадратичные динамические смещения атомов серебра к кристаллической решетке при температуре 100о С.
Характеристическая температура серебра 210о К.
интенсивностей линий [211] и [510] при температуре 22°С равно 2,66, а при температуре -185°С – 2,09.
1) Определить характеристическую температуру железа. 2) Найти средне квадратичные динамические смещения атомов в кристалле железа при указанных температурах.
кальция 230° К. У какого элемента силы связи в решетке больше – у серебра или у кальция?
Задача 65 (61). При рентгеновском изучении деформированной стали установлено, что относительное изменение параметров решетки составляет 0,2%. Чему равны внутренние напряжения в стали, если модуль Юнга кГ/мм2, коэффициент Пуассона 0,28?
Задача 66 (62). Электронная плотность r (r ) в кристалле может быть представлена в виде ряда Фурье:
Показать, что если волновой вектор к при помощи векторов основных трансляций в обратной решетке можно выразить соотношением то требование инвариантности r (r) по отношению ко всем трансляциям решетки на вектор удовлетворяется, когда k1, k 2, k 3 равны произведениям 2p на целые числа.
и волновой вектор где h, k, l – целые числа, то Величины k, фигурирующие в Фурье-разложении электронной плотности, равны умноженным на 2p векторам, проведенным из начала координат в точки обратной решетки.
3. Межатомные взаимодействия и типы связей в твердых телах.
Задача 67. Рассчитать значение постоянной Аn в законе Грюнайзена – Ми считая n=10.
Решение. Постоянная Аn по определению выражается следующим соотношением:
В решетке NaCl около каждого иона, выбранного заранее за исходный, на расстоянии r находится 6 ионов, для которых P=1, на расстоянии r 2 — ионов (Р = расстоянии 2r (Р = 2) и т. д.
Тогда для постоянной Ап можно записать:
Если в первом приближении пренебречь остальными слагаемыми, то Ап =6,413. С учетом слагаемых более высоких порядков для Ап получается значение 6,42.
Задача 68. Определить значение постоянной Маделунга для одномерной положительных и отрицательных ионов.
Рис. 11. Линейная цепочка атомов с переменным зарядом Решение. Постоянная Маделунга определяется формулой где qik— безразмерный множитель, измеряющий расстояние между i-м и k-м ионами в единицах расстояний между ионами. Знак штрих у суммы показывает, что член с k = i опускается. Тогда Сумму знакопеременного ряда легко определить, если воспользоваться разложением ln(l+x) в ряд Тейлора:
Этот ряд совпадает с рядом, определяющим значение постоянной Маделунга при х=1. Поэтому Задача 69. Используя метод, предложенный Эвьеном, вычислить значение постоянной Маделунга для кристалла типа NaCl.
Решение. По методу Эвьена в решетке выделяют группу атомов так, чтобы сумма зарядов в группе была электрически нейтральной. Считают, что заряды, расположенные на гранях, принадлежат двум элементарным ячейкам, заряды на ребрах — четырем ячейкам и заряды в углах — восьми ячейкам.
Рассмотрим атом А (рис. 12). Выделим нейтральные системы зарядов, расположенных на гранях, ребрах и вершинах кубов, которые окружают данный заряд А. Тогда на расстоянии постоянной решетки от атома А находится 6 положительных зарядов, расположенных на гранях, на расстоянии а 2 – 12 отрицательных зарядов на ребрах куба и на расстоянии а 3 – 8 положительных зарядов в вершинах куба.
Вклад первого куба в постоянную Маделунга кристалла NaCl равен Рассмотрим далее второй куб. Ему принадлежит часть зарядов, расположенных на первом кубе, и часть зарядов на втором кубе. С помощью аналогичного расчета, как и для первого куба, легко вычислить вклад в постоянную Маделунга от второго куба:
Тогда Если расчет вести дальше, то можно получить более точное значение, которое равно 1,747558.
Задача 70 (73). Вычислить значение энергии кристаллической решет энергия решетки NaCl, если постоянная n, характеризующая потенциал сил отталкивания, равна 9,4, а постоянная Маделунга 1,75.
Решение. Энергия кристаллической решетки, рассчитанная на одну грамм-молекулу, где N — число Авогадро; — постоянная Маделунга; rо постоянная решетки, откуда Задача 71 (74). Определить энергию кристаллической решетки NaCl по формуле Капустинского, считая радиус иона натрия 0,98, а иона хлора 1,. Сравнить со значением энергии, полученным в предыдущей задаче.
Решение. Энергия кристаллической решетки соединений типа АтВп с координационным числом 6 по формуле А. Ф. Капус- тинского имеет вид где h A и h B — число катионов и анионов в молекуле; h A и h B — валентность аниона и катиона; rА и rВ — радиус аниона и катиона.
Тогда Задача 72 (75). Экспериментальное значение энергии сцепления KCl на молекулу равно 6,62 эв. Вычислить n, считая r0 = 3,1.
Решение. Энергия сцепления или в расчете на одну молекулу Тогда или Задача 73 (76). Вычислить энергию сил отталкивания для KCl, если энергия диссоциации равна -4,40 эв. Принять r0 = 2,79.
где Uпр – энергия кулоновского притяжения ионов; Uот – энергия кулоновского отталкивания; U1 – энергия ионизации атома калия, равная 4, эВ; U2 – энергия сродства атома хлора к электрону, равная 3,82 эВ. Следует отрицательны.
Энергия притяжения ионов Тогда откуда Задачи для самостоятельных и домашних работ Задача 74 (63). Согласно квантовой механике, распределение заряда экспоненциальной функцией вида где А и r1 – постоянные; r – расстояние от электрона до ядра. Известно, что общий заряд электрона должен быть равен –е. Показать, что Задача 75 (64). Пусть энергия частицы в поле другой частицы зависит расстояния между центрами этих частиц следующим образом:
где и – постоянные. Показать, что:
1) эти две частицы образуют стабильное соединение при 2) в случае образования стабильной конфигурации энергия притяжения в 8 раз больше энергии отталкивания;
конфигурации если разделять частицы, то молекула разорвется, как только будет достигнуто Задача 76 (65). Показать, что показатели степени в выражении для потенциальной энергии атомов, находящихся на расстоянии r, должны удовлетворять неравенству mn.
Задача 77 (66). Энергия взаимодействия между двумя атомами в молекуле зависит от расстояния следующим образом:
Межатомное расстояние в положении равновесия 3, энергия диссоциации молекулы 4 эв. Вычислить значения коэффициентов и, если n=2, m=10.
Найти силы, стремящиеся вернуть атомы в положение равновесия при изменении межатомного расстояния на 10%.
Задача 78 (70). Считая, что постоянные и n в законе Грюнайзена-Ми не изменяются при агрегатных превращениях, показать, что для молекулы щелочно-галоидной соли где Uг и Uтв — энергия молекулы соответственно в газообразном и твердом состояниях; rг и rтв – межатомные расстояния в газообразном и твердом состояниях; — постоянная Маделунга.
Задача 79 (71). Рассчитать значение в формуле для хлористого натрия, приняв n=10, А10=6,43°, r0=2,81.
Задача 80 (72). Пусть в ионном кристалле пространство между ионами заполнено однородной жидкостью с диэлектрической проницаемостью, причем потенциал отталкивания остался неизменным, а кулоновское взаимодействие уменьшилось в 1/e раз. Рассчитать постоянную решетки хлористого натрия в описанных условиях, полагая = 81 и n = 10. Во сколько раз вследствие этого изменится энергия решетки?
Задача 81 (77). Показать, что модуль всестороннего сжатия кубической кристаллической решетки где r0 – расстояние между атомами в состоянии равновесия; V – объем кристалла.
Задача 82 (78). Рассмотреть кристалл с молярным объемом V0 и общей взаимодействия между атомами может быть описана выражением показать, что модуль всестороннего сжатия кристалла равен Задача 83 (79). Найти сжимаемость кристалла NaCl при 00 К, считая, что показатель экспоненты в соотношении Грюнайзера-Ми, определяющий величину сил отталкивания, равен 9,4.
Задача 84 (80). Рассмотреть, к каким возможным последствиям для постоянной решетки, сжимаемости и энергии решетки приведет удвоение заряда ионов хлористого натрия, если считать, что потенциал отталкивания остается постоянным.
потенциалом вида Ae r. Определить для этого случая для кристалла NaCl.
Задача 86 (82). Используя формулу Борна для энергии решетки ионных кристаллов, вычислить теоретическую прочность на разрыв кристалла NaCl.
Задача 87 (184). Показать, что число дефектов Френкеля в твердом теле при температуре Т определяется следующим соотношением:
где Е – энергия, необходимая для того, чтобы переместить атом из нормального положения в узле в междоузлие; N – число узлов в кристалле;
N’ – число возможных междоузлий в состоянии равновесия.
Решение. Если предположить, что при тепловом равновесии n атомов покинули свои положения равновесия, то атомы могут разместиться в междоузлиях p способами, причем а дырки, или вакантные узлы, могут разместиться p способами, причем (здесь N ‘ — общее число возможных междоузлий; N – общее число атомов в решетке).
Увеличение энтропии, вызванное перемещением атомов, Применяя формулу Стирлинга, получаем Увеличение внутренней энергии, обусловленное переходом атомов в междоузлия, Тогда свободная энергия этого процесса В состоянии теплового равновесия После дифференцирования получим Если n мало по сравнению с N и N ‘, то Задача 88 (185). Для образования вакансии в алюминии требуется энергия примерно 0,75 эВ. Сколько существует вакансий на один атом кристалла в состоянии термодинамического равновесия при комнатной температуре? При 600°С?
Решение. Число вакансий в кристалле, содержащем N атомов, или число вакансий на один атом При температуре 300С при температуре 600С Задача 89 (186). Рассчитать отношение числа дефектов по Шоттки к числу дефектов по Френкелю при комнатной температуре, если энергия для образования вакансии 0,75 эВ, а для образования дефекта внедрения 3 эВ.
Решение. Число дефектов по Френкелю по Шоттки откуда Задача (90) 187. Пусть энергия, требуемая для перемещения атома натрия из внутренней части кристалла на поверхность, равна 1 эВ. Вычислить обусловленную наличием в нем дефектов Шоттки.
Решение. Число дефектов по Шоттки в твердом теле Тогда общая энергия дефектов Отсюда находим теплоемкость Задача 91 (188). Вычислить, насколько должен раздвинуть атом своих соседей при помещении его в междоузлие гранецентрированной кубической решетки.
Решение. Если длина ребра куба гранецентрированной кубической решетки равна a, то расстояние от центра междоузлия до ближайших сферических частиц, занимающих узлы решетки и расположенных в центре граней куба, составит одного атома с радиусом равно Таким образом, при помещении атома в междоузлие он должен раздвинуть ближайших соседей на 93% своего объема.
Задача 92 (192). Диффузионные константы лития в кремнии равны D0 = 2.310-7 м2/с и Q = 0,65 эВ. Рассчитать температуру, при которой атом лития, растворенный в кремнии, будет совершать один прыжок за одну секунду.
Решение. Частота перемещения атома f связана с коэффициентом диффузии следующим соотношением:
Тогда После решения полученного уравнения относительно Т радиоактивного натрия в обычном натрии при комнатной температуре, если высота потенциального барьера, который надо преодолеть атому, чтобы перейти в новое положение равновесия, равна 0,5 эВ. Частота колебаний атома 1012 Гц.
Решение. Коэффициент диффузии атомов натрия можно принять приближенно равным где – частота колебаний атомов; a – параметр решетки натрия, a = 4,282.
После вычислений получим Задачи для самостоятельных и домашних работ.
Задача 94 (189). В твердом теле с поперечным сечением, равным единице, происходит одномерная диффузия атомов примеси вдоль оси х. Показать, что скорость изменения концентрации с в элементарном слое толщиной dx определяется уравнением Задача 95 (190). Показать, что при реактивной диффузии закон роста реактивного слоя описывается уравнением где у — толщина слоя; р — параметр параболы.
Задача 96 (191). Уравнение диффузии цинка в германии имеет вид Найти коэффициент диффузии при комнатной температуре и при 500°С.
Задача 97 (194). Для повышения износоустойчивости поверхности стальных деталей производится цементация. Коэффициент диффузии углерода в сталь определяется формулой Сколько нужно времени для образования цементированного слоя толщиной 0,5 мм на стальной пластине при температуре диффузионного отжига 927°С?
Задача 98 (195). Число частиц, проходящих через единицу площади, которая перпендикулярна к градиенту концентрации где D – коэффициент диффузии; с – концентрация частиц. Допустим, что электрическое поле Е х и концентрация равна с(х), и предположим, что достигнуто устойчивое состояние. При этом число электронов, движущихся слева направо и в противоположном направлении, одинаково. Согласно статистике Больцмана, Показать, исходя из этого, что соотношением Эйнштейна.
5. Динамика кристаллической решетки.
Задача 99 (97). Удельные теплоемкости свинца и алюминия при постоянном объеме и температуре 200С составляют соответственно 126 и 896 Дж/(кгград). Вычислить теплоемкости килограмм-моля (Сv) для каждого из этих металлов и сравнить со значениями, полученными по закону Дюлонга и Пти. Выполняется ли закон Дюлонга и Пти для них?
Решение. Молярная теплоемкость тела равна удельной теплоёмкости, умноженной на удельный вес:
Тогда молярная теплоемкость свинца алюминия Теплоемкость твердого тела по закону Дюлонга-Пти равна.
Таким образом, молярная теплоемкость свинца превышает значение теплоемкости, рассчитанное по закону Дюлонга и Пти, а теплоемкость алюминия близка к значению, полученному по этому закону.
Задача 100 (99). По квантовой теории энергия каждого осциллятора может быть представлена в виде где n – квантовое число. Исходя из того, что распределение осцилляторов по энергиям подчиняется закону Больцмана, вычислить среднюю энергию осциллятора при данной температуре T.
Решение. По определению средней величины Но числитель в этом выражении можно представить как производную знаменателя. Тогда Нетрудно заметить, что под логарифмом стоит сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Возьмем производную от логарифма последнего выражения; тогда получим Задача 101 (100). Показать, что при высоких температурах квантовое выражение для средней энергии осциллятора переходит в классическое.
в ряд по степеням и ограничиться первыми двумя членами ряда:
Задача 102 (106). Рассчитать значение теплоемкости твердого тела по теории Эйнштейна.
Решение. В теории Эйнштейна твердое тело рассматривается как совокупность N независимых атомов, колеблющихся с постоянной частотой n. Так как энергия такого колеблющегося осциллятора то энергия грамм-атома Если обозначить через q, то Задача 103 (109). Показать, что теплоемкость Cv по теории Дебая достигает значения 3R при высоких температурах, когда Решение. Теплоемкость твердого тела по теории Дебая При высоких температурах e x = 1 + x +. Тогда Задача 104 (110). Показать, что при низких температурах теплоемкость твердого тела по теории Дебая пропорциональна кубу абсолютной температуры.
Решение. Теплоемкость твердого тела по теории Дебая определяется следующей формулой:
где q – характеристическая температура тела. При низких температурах, бесконечностью. В этом случае Тогда При низких температурах вторым слагаемым можно пренебречь, так как оно стремится к нулю. Окончательно получим Задача 105 (112). Теплоемкость серебра при 10 К равна 199 Дж/(кгград).
Определить характеристическую температуру.
Решение. При низких температурах теплоемкость твердого тела откуда Задача 106 (114). Определить приближенно скорость звука в алмазе, зная, что дебаевская температура алмаза равна 1860 К и d=1,54.
Решение. Определить скорость звука в алмазе можно из следующего соотношения Дебая:
Величину vmax можно оценить, если считать, что половина длины волны кристаллической решетки. Тогда откуда Задача 107 (118). Характеристическая температура ртути 96 К. Найти энтропию одной килограмм-молекулы ртути при комнатной температуре (300 К).
приближенной формуле Задача 108 (126). Вычислить электронную теплоемкость Сve для меди при 2 и 1000 К и сравнить ее с теплоемкостью решетки при тех же температурах.
Характеристическая температура меди 316 К.
Решение. Определим сначала электронную теплоемкость меди. Как известно, электронная теплоемкость металла g — коэффициент пропорциональности. Для меди Тогда электронная теплоемкость при 2 K При 1000 K Решеточную составляющую теплоемкости при 2K можно найти по формуле При 1000 K для решеточной теплоемкости с достаточно хорошим приближением можно принять значение, определяемое законом ДюлонгаПти:
Таким образом, при высоких температурах решеточная составляющая теплоемкости значительно преобладает над электронной, при низких же температурах электронная теплоемкость может превышать решеточную составляющую теплоемкости.
Задача 109 (127). Постоянная кристаллической решетки NaCl равна 5,, а ее сжимаемость – 3,3 10-11 м 2 /H. Вычислить коэффициент термического расширения кристалла в приближении Я.И. Френкеля.
Решение. В приближении Я.И.Френкеля где k – постоянная Больцмана, a – постоянная решетки, Е – модуль упругости, x – сжимаемость.
После вычислений Задачи для самостоятельных и домашних работ.
Задача 110 (98). Определить по классической теории среднюю энергию гармонического осциллятора.
Задача 111 (101). Показать, что выражение для средней энергии классической системы может быть записано в виде где z – интеграл состояния, который равен где p –импульс, q –координата.
Задача 112 (102). Найти выражение теплоемкости при постоянном объеме через интеграл состояний.
Задача 113 (103). Найти выражение энтропии и термодинамического потенциала Гиббса через интеграл состояний.
ангармонического осциллятора, если потенциал его имеет вид Задача 115 (105). Рассмотреть систему, состоящую их N гармонических осцилляторов постоянной частоты u. Найти выражение для свободной энергии системы.
Задача 116 (107). Имеется система N молекул, которые могут находиться в двух различных энергетических состояниях, отличающихся друг от друга значениями энергии DЕ. Определить теплоемкость такой системы.
Задача 117 (108). Зависимость частоты колебаний цепочки, состоящей из одинаковых атомов, от волнового числа выражается формулой где – силовая постоянная; M – масса атома. Показать, что групповая практически равна нулю?
Задача 119 (113). Характеристическая температура золота 1700К.
Определить постоянную квазиупругой силы.
Задача 120 (115). Найти характеристическую температуру меди по формуле Линдемана. Температура плавления меди 1356 К. Сравнить это значение характеристической температуры со значением, полученным из выражения теплоемкости.
Задача 121 (116). В молекуле KCl радиус иона калия равен 1,33, а иона хлора 1,81. Определить характеристическую температуру указанного соединения по формуле Н.Н. Сироты и сравнить полученный результат с экспериментальным значением.
Задача 122 (117). Коэффициент объемного расширения и сжимаемость кобальта соответственно равны 37 10-6 град -1 и 0,54 10 -11 м 2 /H. Определить температурный коэффициент максимальной частоты колебаний атомов.
Задача 123 (119). Объяснить, почему для твердых тел, имеющих нитевидную и слоистую структуру, теплоемкость при постоянном объеме при низких температурах пропорциональна не Т3, а Т2 для слоистых решеток и Т для цепочечных решеток.
Задача 124 (120). В одномерной линейной цепочке N атомов расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Показать, что в приближении Дебая теплоемкость такой цепочки при низких температурах пропорциональна Т.
Задача 125 (121). С помощью общих термодинамических соотношений установить связь между коэффициентом объемного расширения, объемной сжимаемостью и термической упругостью твердого тела.
Задача 126 (122). Найти в общем случае разность теплоемкостей тела при постоянном давлении и постоянном объеме.
Задача 127 (123). Найти значение Cp – Cv для висмута при 300 К.
Задача 128 (124). Вывести соотношение, устанавливающее связь между теплоемкостью, коэффициентом термического расширения и модулем сжатия, которое известно в физике под названием «второй закон Грюнайзера».
Задача 129 (125). Вычислить теплоемкость электронов проводимости единицы объема меди при температуре 100 К, считая, что концентрация электронов равна числу атомов в единице объема. Значение уровня Ферми для меди принять равным 7 эВ.
Задача 130 (128). Считая, что потенциальную энергию между атомами в твердом теле можно выразить как: V ( x ) = cx 2 — qx3 — fx 4, определить коэффициент термического расширения твердого тела.
Задача 131 (129). В кристалле кальцита два коэффициента термического положителен: b 33 = 25 10-6 град -1. Определить направления, в которых коэффициент термического расширения равен нулю.
Задача 132 (130). Найти коэффициенты термического расширения одноосного кристалла, если известны объемный коэффициент расширения и изменение отношения осей при нагревании.
Задача 133 (131). Определить главные коэффициенты термического расширения кристалла триглинсульфата при температуре 400С, если известно, что коэффициенты линейного расширения в кристаллографических направлениях [100], [010], [001] и [101] соответственно равны — 4,2 10-5, — 4,0 10-5, 22 10 -5 и — 2,8 10-5 град–1.
кристаллов определяется по формуле Шмарца следующим образом:
где n –показатель степени в выражении, характеризующем величину сил отталкивания; С –теплоемкость ионного кристалла; Uкул – энергия грамммолекулы кристалла при 0 К.
Задача 135 (133). Энергия грамм-атома Na вблизи абсолютного нуля равна 599 кДж/моль, а теплоемкость натрия составляет 28,49 Дж/(моль град).
Определить коэффициент термического расширения по формуле В.Л.
Задача 136 (134). Показать, что при низких температурах коэффициенты термического расширения кристаллов стремятся к нулю.
Задача 137 (135). Определить изменение энтропии тела при его расширении при постоянном давлении.
6. Физические свойства полупроводников.
Задача 138 (206). Кремний и германий имеют структуру алмаза. Чему равно среднее число атомов Si и Ge в объеме (а — ребро элементарного куба)?
Решение. В решетке кремния и германия каждый атом окружен атомами, расположенными в вершинах правильного тетраэдра. На рис. атомы, которые расположены в вершинах тетраэдра, зачернены. Решетка кремния и германия представляет гранецентрированный куб, внутри которого находятся еще 4 атома (внутренние атомы на рисунке обозначены цифрами 1,2,3,4). Так как в гранецентрированной решетке на элементарную ячейку приходится 4 атома, то число атомов кремния и германия в объеме a равно 8.
Задача 139 (208). Вычислить удельное сопротивление германиевого полупроводника р-типа при плотности дырок 3 1020 м3. Сравнить с сопротивлением полупроводника n-типа при той же концентрации электронов.
Решение. Электропроводность полупроводника р-типа где n p и m p — концентрация и подвижность дырок. Отсюда Подвижность дырок в германии 0,18 м2/(В·с), электронов 0,38 м2/(В·с).
Тогда Аналогично при той же концентрации электронов Задача 140 (209). Удельное сопротивление собственного германия при 27°С составляет 0,47 Ом·м. Полагая, что подвижности электронов и дырок соответственно равны 0,38 и 0,18 м2/(В·с), вычислить плотности носителей тока при 27°С.
Решение. Электропроводность собственного полупроводника откуда Задача 210. Определить электропроводность германия, который содержит индий в концентрации 2 1022 м -3 и сурьму в концентрации 1021 м-3.
Решение. Известно, что для германия и кремния сурьма является донором, а индий – акцептором. При наличии доноров и акцепторов где m e и m p — подвижности электронов и дырок в германии. Так как m e = 0, м2/(В·сек), а m e = 0,18 м2/(В·сек), то Задача 141 (211). Вычислить скорость дрейфа электронов и дырок в германии при комнатной температуре в поле напряженностью 1000 В/м.
Решение. Скорость дрейфа определяется всецело подвижностью заряда и напряженностью электрического поля:
Тогда Задача 142 (212). Образец из полупроводника прямоугольной формы размерами 0,2 0,2 0,05 см имеет 10 21 свободных зарядов в 1 м 3 при 20°С. К двум противоположным узким граням приложено напряжение 20 В.
Решение. Плотность тока Тогда где h – толщина образца;
Задача 143 (213). Образец германия n-типа толщиной 1 мм с концентрацией электронов 1020 м -3 помещен в магнитное поле с индукцией 0,1 Вб/м2. Определить величину ЭДС Холла при токе 1 мА, протекающем через образец.
Решение. ЭДС Холла можно определить по формуле где R = – постоянная Холла; I – величина тока; В – индукция магнитного поля; h – толщина пластинки. Тогда Задача 144 (214). Удельная проводимость и коэффициент Холла арсенида индия соответственно равны 4 102 Ом-1 м -1 и 10-2 м 3 / К. Считая, что проводимость осуществляется зарядами одного знака, определить их концентрацию и подвижность.
Решение. Зная коэффициент Холла, найдем Подвижность носителей зарядов можно определить как произведение коэффициента Холла на удельную проводимость:
Задача 145 (216). Коэффициент Холла и удельное сопротивление полупроводника соответственно равны — 3,66 10-4 м 3 /к и 8,93 10-3 Ом м.
Для определения эффекта Холла к образцу приложено магнитное поле с магнитной индукцией 0,5 Вб/м2. Найти угол Холла.
Решение. Как известно, угол Холла определяется индукцией магнитного поля и подвижностью зарядов:
Задача 146 (218). Вывести общее выражение для постоянной Холла полупроводника?
Решение. Рассмотрим проводник, по которому в направлении оси x течет электрический ток плотностью j. Магнитное поле направлено вдоль оси z (рис. 15). В этом случае должна возникнуть составляющая электрического поля вдоль оси y, чтобы уравновесить силу Лоренца. Эта составляющая электрического поля где — угол Холла. Для электронов а для дырок Тогда плотность поперечного холловского тока Поле, необходимое для полной компенсации поперечной составляющей Подставляя значение, находим Так как то из сравнения двух последних формул следует, что Для собственного полупроводника n=p= ni. Тогда Задача 147 (220). В образце германия подвижность электронов 0, м2/(Вс), а дырок 0,16 м2/(Вс). В этом образце эффект Холла не наблюдается.
Какая часть тока переносится дырками?
Решение. Коэффициент диффузии связан с подвижностью носителей заряда соотношением Эйнштейна Тогда коэффициент диффузии электронов а дырок Задача 148 (226). Найти положение уровня Ферми в германии при 500 К и следующих концентрациях примесей: 1023 атомов In на 1 м 3 и 1022 атомов Sb на 1 м 3.
Решение. В области высоких температур, где kT » Е п ( Е п — энергия активации примесей), и при не слишком малом содержании примесей положение уровня Ферми определяется следующими соотношениями: для донорных полупроводников где Nd – концентрация донорных атомов; для акцепторных полупроводников Тогда Задача 149 (229). Вычислить концентрации собственных и примесных носителей тока в германии, содержащем 5 1023 м-3 атомов мышьяка, при комнатной температуре.
Решение. Концентрация собственных носителей где Е — ширина запрещенной зоны, равная для германия 0,75 эВ. Тогда Энергия ионизации атомов мышьяка в германии Ed = 0,015 эВ. Так как при Т = 300°С kT = 0,025 Эв, т. е. kT Еd, то концентрация примесных носителей равна концентрации примеси 51023 м -3.
Задача 150 (230). Сколько электронов и дырок образуется в кристалле при поглощении им 10-4 Дж световой энергии с длиной волны 2000 ? Какой заряд (в кулонах) потечет по внешней цепи кристалла, если приложенное к нему электрическое поле достаточно сильно, чтобы доставить все свободные носители заряда к электродам? Квантовый выход равен 1.
Решение. Считаем, что на образование электрона и дырки затрачивается квант энергии:
Тогда число образовавшихся электронов При сильном электрическом поле общий заряд, протекший во внешней цепи, Задачи для самостоятельных и домашних работ.
Задача 151 (207). В настоящее время изготавливаются мощные германиевые выпрямители с искусственно созданной дырочной или электронной проводимость?
Задача 152 (215). Удельное сопротивление монокристалла кремния р-типа при комнатной температуре (300°К) составляет 9 10-4 Ом м. Чему должен равняться коэффициент Холла, если подвижность дырок 0,04 м 2 /(В сек)?
Задача 153 (217). Показать, что при измерении четырехзондовым методом (рис. 16) удельное сопротивление полупроводника выражается следующей формулой:
где r – удельное сопротивление; U BC – падение напряжения между зондами В и С; 1 – ток через зонды А и D; l1, l 2, l 3 – расстояния между зондами.
Задача 154 (219). Вычислить коэффициент Холла для кристаллов германия с концентрацией индия и сурьмы соответственно 1023 и 1024 м -3.
Задача 155 (221). Вычислить относительное изменение сопротивления кристалла германия, содержащего 1023 атомов мышьяка и 5 1022 атомов галлия, при помещении в магнитное поле с магнитной индукцией 0,5 Вб/м2.
Задача 156 (222). Подвижности электронов и дырок в монокристалле кремния при комнатной температуре (300 К) соответственно равны 0,16 и 0,04 м 2 /(В с). Найти коэффициенты диффузии электронов и дырок при этой температуре.
Задача 157 (223). Время жизни носителей тока в полупроводнике резко зависит от поверхностных условий. При исследовании образца германиевого кристалла n-типа с заземленной поверхностью было найдено, что время жизни носителей тока 78 мкс, а у образца, поверхность которого протравлена кислотой, 340 мкс. Пологая, что подвижность электронов 0,36 м 2 /(В с), найти диффузионную длину электрона при комнатной температуре в обоих образцах.
Задача 158 (224). Определить значение уровня Ферми при температуре 27°С для полупроводникового соединения In Sb, если его ширина запрещенной зоны равна 0,2 эВ, а отношение эффективной массы дырки к эффективной массе электрона составляет 20.
Задача 159 (225). В образце германия содержится 1023 м -3 атомов сурьмы.
Полагая, что при комнатной температуре все атомы сурьмы ионизированы, определить плотности электронов ne и дырок n p. Считать, что плотность электронов определяется только донорными центрами. По этим данным вычислить удельное сопротивление образца при комнатной температуре, если подвижности электронов и дырок соответственно равны 0,38 и 0, м 2 /(В сек).
Задача 160 (227). Концентрация акцепторов в полупроводнике 1018 см -3.
Энергетический уровень этих акцепторов на 0,5 эВ выше, чем потолок валентной зоны. Вычислить электропроводность материала при комнатной температуре (300 К) и при температуре жидкого кислорода (90 К), если подвижность дырок в валентной зоне кристалла Собственной проводимостью полупроводника пренебречь.
Задача 161 (228). Образец полупроводника n-типа при 100 К имеет коэффициент Холла 0,28 10-2 м 3 /к. Определить плотности электронов и доноров, пренебрегая вкладом валентной зоны, если материал – кремний.
Задача 162 (231). Вычислить плотность тока эмиссии с катода из окиси бария и стронция, которая характеризуется следующими параметрами:
ej0 = 2,475 эВ; ej1 = 0,05 эВ; N d = 2,39 1017 см -3 ; Т = 2000 К; с = 120, А/(м2 град)
«Министерство образования Российской Федерации Восточно-Сибирский государственный технологический университет Методические указания и контрольные задания по физической и коллоидной химии для студентов заочного обучения технологических специальностей Составители: Цыренова С.Б. Балдынова Ф.П. Улан-Удэ, 2000 г ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Физическая и коллоидная химия являются базовой дисциплиной, которая определяет становление высококвалифицированного специалиста в сфере производства. »
«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра физики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Основы материаловедения Основной образовательной программы по специальности: 010701.65 Физика Специализация Медицинская физика, информационные технологии в образовании и научной деятельности Благовещенск 2012 г. 1 УМКД разработан старшим. »
«ГОУ ВПО Кемеровский государственный университет Кафедра экспериментальной физики Программа для создания презентаций Power Point XP Методические указания к лабораторной работе Кемерово 2006 Программа для создания презентаций Power Point XP: методические указания к лаб. работе / ГОУ ВПО Кемеровский государственный университет; сост. А. Л. Юдин. – Кемерово, 2006. -63 с. В методических указаниях рассмотрены основные принципы работы с программой для создания презентаций Power Point XP. Главная. »
«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной физики и биофизики В.И. Крюк С.В. Нескоромный Ю.В. Шалаумова И.О. Заплатина А.С. Попов КОНЦЕПЦИИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ Методические указания и контрольные задания для студентов заочного факультета специальностей 080000 Экономика и управление, 100103 Социально-культурный сервис и туризм, 220501 Управление качеством по дисциплине Концепции современного естествознания. »
«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра Физики Кафедра Химии и естествознания УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ КОНЦЕПЦИИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ Основной образовательной программы по специальности 032301.65 — Регионоведение Благовещенск 2012 2 3 СОДЕРЖАНИЕ 1. Рабочая программа учебной дисциплины 4 2. Краткое изложение. »
«Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ В.А. ЛИОПО, В.В. ВОЙНА РЕНТГЕНОВСКАЯ ДИФРАКТОМЕТРИЯ Учебное пособие по курсам Методы исследования структуры веществ, Молекулярная физика, Физика диэлектриков и полупроводников, Материаловедение для студентов специальностей Н 02.01.00 – Физика, Н 02.02.00 – Радиофизика, Т 03.02.00 – Технология и оборудование высокоэффективных процессов обработки материалов, Т 06.01.00 –. »
«Федеральное агентство по образованию ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра электронных приборов (ЭП) Орликов Л.Н. ТЕХНОЛОГИЯ МАТЕРИАЛОВ И ИЗДЕЛИЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ Учебное пособие 2006 Учебное пособие рассмотрено и рекомендовано к изданию методическим советом кафедры электронные приборы ТУСУР _2006 г. Развитие научно-технического прогресса поставило задачу резкого усложнения техники и технологии на базе применения ЭВМ. Большинство явлений. »
«Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев Геометрия в двух частях Допущено Министерством образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов Часть 2 КНОРУС • МОСКВА • 2013 УДК 514.1(075.8) ББК 22.151.1я73 А92 Рецензенты: Л.Е. Евтушик, д-р физ.-мат. наук, В.И. Близникас, проф. Атанасян Л.С. А92 Геометрия : в 2 ч. — Ч. 2 : учебное пособие / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. — 2-е изд., стер. — М. : КНОРУС, 2013. — 424 с. »
«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна Кафедра наноструктурных, волокнистых и композиционных материалов им. А.И. Меоса ХИМИЯ И ФИЗИКА ПОЛИМЕРОВ Методические указания к самостоятельному изучению курса и выполнения контрольной работы для студентов квалификации Бакалавр направлений Технология изделий легкой. »
«№ 2499 Методические указания для изучения курса ЭКОЛОГИЯ к выполнению контрольной работы для студентов всех специальностей заочной формы обучения Иваново 2006 В методических указаниях приведены содержание дисциплины, варианты заданий, список вопросов контрольной работы, варианты и условия задач с примерами их решения, содержание лабораторных работ по курсу, а также список рекомендуемой литературы. Составитель: Валентина Ивановна Яницкая Научный редактор А. М. Осипов 1. Цели изучения дисциплины. »
«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет вычислительной математики и кибернетики Р.З. ДАУТОВ МЕТОД ГАЛЕРКИНА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ ДЛЯ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ Учебное пособие Казань 2010 2 УДК 517.5 P.З. Даутов. Метод галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. 94 с. В пособии излагается метод Галеркина с возмущениями для самосопряженных задач на собственные значения в вещественном гильбертовом пространстве. Рассмотрено применение этого метода для решения задачи о. »
«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Уральский Государственный Экономический университет ФИЗИЧЕСКАЯ и КОЛЛОИДНАЯ ХИМИЯ и ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА Задания для самостоятельной работы студентов специальностей ТНТ и ТЭТД Екатеринбург 2006 Составитель: Г.М.Белышева Рецензент: Л.Г.Протасова 2 Введение Контрольные задания для самостоятельной работы по курсу Физическая, коллоидная химия и физико-химические методы контроля качества составлены в соответствии с программой курса. »
«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра физики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Технология конструкционных материалов Основной образовательной программы по специальностям: 260704.65 – Технология текстильных изделий 260901.65 – Технология швейных изделий 260902.65 – Конструирование швейных изделий Благовещенск 2012 г. 1 УМКД. »
«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Руководитель ООП подготовки магистров Ю.Г. Пастушенков 30 апреля 2012 г. Учебно-методический комплекс по дисциплине Специальный физический практикум — 2 для студентов 1 и 2 курса очной формы обучения Направление подготовки магистров 011200.68 – Физика Специализированная программа подготовки магистров Физика. »
«Ю. А. Зингеренко ОПТИЧЕСКИЕ ЦИФРОВЫЕ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И СЕТИ СИНХРОННОЙ ЦИФРОВОЙ ИЕРАРХИИ Учебное пособие Санкт-Петербург 2013 Ю.А. Зингеренко. Оптические цифровые телекоммуникационные системы и сети синхронной цифровой иерархии. — Учебное пособие. – СПб: НИУ ИТМО, 2013. – 393 с. Учебное пособие посвящено принципам построения оптических цифровых телекоммуникационных систем и сетей, использующих технологию синхронной цифровой иерархии (SDH). Основное внимание уделено непосредственно. »
«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Д. И. Вайсбурд А. В. Макиенко ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО АТОМНОЙ ФИЗИКЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ АЛЬФА-ЧАСТИЦ ПО ПРОБЕГУ В ВОЗДУХЕ Методические указания к выполнению лабораторной работы А-09 по курсу Общая физика для студентов всех специальностей, Атомная физика для студентов физико-технических специальностей Издательство Томского политехнического. »
«Министерство образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет Кафедра Технология кожи, меха и товароведение непродовольственных товаров МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению лабораторных работ по дисциплине Товароведение пластических масс и химических товаров Составил к.т.н.,доцент Элиасов Б.Л. Улан-Удэ 2002 2 3 Содержание Введение 1 Введение 2 Лабораторная работа 1. Идентификация пластиче- Целью лабораторных занятий по товароведению ских масс по внешнему виду. 5. »
«А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, А. С. Семёнов АЛГ ОР ИТ МЫ МЕ Т О Д О В ВЗВЕ Ш Е ННЫ Х НЕВЯЗОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В СИСТЕМЕ MATHCAD Учебное пособие Ульяновск 2006 УДК 519.6 (075) ББК 22.311 я7 A 67 Рецензенты: Кафедра прикладной математики Ульяновского государственного университета (зав. кафедрой доктор физико-математических наук, профессор А. А. Бутов); Доктор физико-математических наук, проф. УлГУ В. Л. Леонтьев. Утверждено. »
«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный университет им. А.М. Горького ИОНЦ Экология и природопользование Химический_факультет Кафедра аналитической химии МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ СОВРЕМЕННЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ОБЪЕКТОВ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ ЕКАТЕРИНБУРГ 2008 Первичная цель, которой необходимо руководствоваться при исследовании веществ — тех, что окружают человека, и тех. »
«Электронный учебно-методический комплекс Физика Автор: Ст. преподаватель кафедры Физики им. В.А. Фабриканта Тарасов А.Е. Направление 210601 Радиоэлектронные системы и комплексы, подготовки: специализации подготовки: Радиолокационные системы и комплексы, Радиоэлектронные системы передачи информации, Радионавигационные системы и комплексы, Антенные системы и устройства Дисциплина: Физика (1, 2, 3 семестр) Адрес ресурса: Контактная Почтовые электронные адреса авторов ресурса, по которому можно. »
Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам. Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.
1. Шаскольская М.П. Кристаллография. Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1976.- 391 с.
2. Зенгуил Э. Физика поверхности.- М.: Мир, 1990.- 536 с.
3. Bechstedt F., Enderlein R. Semiconductor Surfaces and Interfaces. Physical Research, vol. 5.- Akademie-Verlag Berlin , 1988.- 441 p.
4. Luth H. Surfaces and Interfaces of Solids. Springer-Verlag Berlin Heidelberg , 1993.- 487 p.
5. Спектроскопия и дифракция электронов при исследовании поверхности твердых тел / В.Ф. Кулешов, Ю.А. Кухаренко, С.А. Фридрихов и др.- М.: Наука, 1985.- 290 с.
6. Андронов А.Н., Пронина Н.А. Изучение структуры поверхности методом дифракции медленных электронов (ДМЭ): Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997.- 45 с .
7. Herman M., Sitter H. Molecular Beam Epitaxy: Fundamentals and current status, Springer Verlag, Berlin Heidelberg, 1989. — 382 p.
есть уравнение плоскости АВС. Следовательно,
«Министерство образования Российской Федерации Восточно-Сибирский государственный технологический университет Методические указания и контрольные задания по физической и коллоидной химии для студентов заочного обучения технологических специальностей Составители: Цыренова С.Б. Балдынова Ф.П. Улан-Удэ, 2000 г ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Физическая и коллоидная химия являются базовой дисциплиной, которая определяет становление высококвалифицированного специалиста в сфере производства. »
