Найти вектор в параллелепипеде

Правило параллелепипеда. Разложение вектора

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Правило параллелепипеда для векторовСкачать

Правило параллелепипеда для векторов

Правило параллелепипеда

Для правила сложения трех векторов рассмотрим следующую задачу.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$

Найти вектор в параллелепипеде

Доказательство.

Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

Так как $overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow$

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения сложения трех векторов. Чтобы найти сумму трех векторов $overrightarrow,overrightarrow и overrightarrow$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $overrightarrow=overrightarrow$, $overrightarrow=overrightarrow$ и $overrightarrow=overrightarrow$ и построим параллелепипед на этих векторах. Тогда вектор диагонали $overrightarrow$ и будет суммой этих трех векторов. Это правило называется правилом параллелепипеда для сложения трех векторов.

Видео:44. Правило параллелепипедаСкачать

44. Правило параллелепипеда

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Вспомним сначала, какие векторы называются компланарными.

Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.

Произвольный вектор $overrightarrow

$ можно разложить по трем некомпланарным векторам $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$ с единственными коэффициентами разложения.

Математически это можно записать следующим образом

Доказательство.

Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$. Выберем произвольную точку $O$ и построим следующие векторы:

[overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow и overrightarrow

=overrightarrow]

Рассмотрим следующий рисунок:

Найти вектор в параллелепипеде

Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку $P$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow$. Пусть эта прямая пересекает плоскость $OAB$ в точке $P_1$. Далее, проведем через точку $P_1$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow$. Пусть эта прямая пересекает прямую $OA$ в точке $P_2$ (смотри рисунок выше).

Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

Так как векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то

Так как векторы $overrightarrow

$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то

Так как векторы $overrightarrow

$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то

Тогда, получаем, что

Существование разложения доказано.

Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора $overrightarrow

$ по векторам $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$:

Вычтем эти разложения друг из друга

Из этого получаем

Теорема доказана.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Найти вектор в параллелепипеде

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Найти вектор в параллелепипеде

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Найти вектор в параллелепипеде
Найти вектор в параллелепипеде

Длина вектора Найти вектор в параллелепипедев пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Найти вектор в параллелепипеде

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Найти вектор в параллелепипеде

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Найти вектор в параллелепипеде

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Найти вектор в параллелепипедеи Найти вектор в параллелепипеде.

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Произведение вектора на число:

Найти вектор в параллелепипеде

Скалярное произведение векторов:

Найти вектор в параллелепипеде

Косинус угла между векторами:

Найти вектор в параллелепипеде

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Найти вектор в параллелепипеде

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Найти вектор в параллелепипедеи Найти вектор в параллелепипеде. Для этого нужны их координаты.

Найти вектор в параллелепипеде

Запишем координаты векторов:

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

и найдем косинус угла между векторами Найти вектор в параллелепипедеи Найти вектор в параллелепипеде:

Найти вектор в параллелепипеде

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Найти вектор в параллелепипеде

Координаты точек A, B и C найти легко:

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Найти вектор в параллелепипеде

Координаты вершины пирамиды: Найти вектор в параллелепипеде

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Найдем координаты векторов Найти вектор в параллелепипедеи Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

и угол между ними:

Найти вектор в параллелепипеде

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Найти вектор в параллелепипеде

Запишем координаты точек:

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найти вектор в параллелепипеде

Найдем координаты векторов Найти вектор в параллелепипедеи Найти вектор в параллелепипеде, а затем угол между ними:

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Найти вектор в параллелепипеде

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Найти вектор в параллелепипеде

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Найти вектор в параллелепипеде

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Найти вектор в параллелепипеде

То есть A + C + D = 0.

Найти вектор в параллелепипедеНайти вектор в параллелепипеде

Аналогично для точки K:

Найти вектор в параллелепипеде

Получили систему из трех уравнений:

Найти вектор в параллелепипеде

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Найти вектор в параллелепипеде

Решив систему, получим:

Найти вектор в параллелепипеде

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Найти вектор в параллелепипеде

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Найти вектор в параллелепипеде

Вектор Найти вектор в параллелепипеде— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Найти вектор в параллелепипедеимеет вид:

Найти вектор в параллелепипеде

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Найти вектор в параллелепипеде

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Найти вектор в параллелепипеде

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Найти вектор в параллелепипеде

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Найти вектор в параллелепипедеперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Найти вектор в параллелепипеде

Напишем уравнение плоскости AEF.

Найти вектор в параллелепипеде

Берем уравнение плоскости Найти вектор в параллелепипедеи по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Найти вектор в параллелепипедеНайти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Найти вектор в параллелепипеде

Нормаль к плоскости AEF: Найти вектор в параллелепипеде

Найдем угол между плоскостями:

Найти вектор в параллелепипеде

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Найти вектор в параллелепипеде

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Найти вектор в параллелепипедеили, еще проще, вектор Найти вектор в параллелепипеде.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Координаты вектора Найти вектор в параллелепипеде— тоже:

Найти вектор в параллелепипеде

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Найти вектор в параллелепипеде

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Найти вектор в параллелепипеде

Получим:
Найти вектор в параллелепипеде

Ответ: Найти вектор в параллелепипеде

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Найти вектор в параллелепипеде— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Найти вектор в параллелепипеде— нормаль к плоскости α.

Найти вектор в параллелепипеде

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Найти вектор в параллелепипеде

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Находим координаты вектора Найти вектор в параллелепипеде.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Найти вектор в параллелепипеде.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Найти вектор в параллелепипеде

Ответ: Найти вектор в параллелепипеде

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Найти вектор в параллелепипеде

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Найти вектор в параллелепипеде, AD = Найти вектор в параллелепипеде. Высота параллелепипеда AA1 = Найти вектор в параллелепипеде. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Найти вектор в параллелепипеде

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Найти вектор в параллелепипедеНайти вектор в параллелепипеде

Решим эту систему. Выберем Найти вектор в параллелепипеде

Тогда Найти вектор в параллелепипеде

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Найти вектор в параллелепипеде

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Найти вектор в параллелепипеде

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Видео:№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинамиСкачать

№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами

Найти вектор в параллелепипеде

4.6. Задачи с решениями

1. В параллелепипеде обозначим . Выразить через векторы a, b, с диагонали параллелепипеда и диагонали граней.

Решение. Сделаем чертёж. Пользуясь правилом сложения векторов, получаем:

AC = AB + AD = b + с, AC1 = AA1 + AC = a + b + с .

Из того же треугольника AA1C получаем: A1C = AC — AA1 = b + с — a.

Чтобы найти B1C, заметим, что B1C = A1D, так как у этих векторов совпадают и длины, и направления. Поэтому B1C = A1D = AD — AA1 = с — a.

Аналогично: DC1 = AB1 = AA1 + AB = a + b .

2. Найти длину и направляющие косинусы вектора AB, если его начало и конец находятся в точках A(7, 6), B(2 — 6).

Решение. Так как каждая точка задана двумя координатами, то рассматривается вектор на плоскости. Находим его координаты, вычитая из координат точки B (конца вектора) координаты точки A (начала вектора): AB = (2 — 7, —6 — 6) = (—5, —12). Находим длину: |AB | = 13, направляющие косинусы: .

3. Найти координату z вектора a = (1, —3, z), если известно, что она отрицательна, а модуль |a| = . Где окажется конец вектора a, если его отложить из точки M(5, —2, 1)?

Решение. По условию, . поэтому ZN = —8.

4. Найти расстояние между точками A(5, —2, 4) и B( —1, 0, 6).

Решение. Расстояние равно длине вектора AB. Найдём:

5. При каких p, q векторы a = (2,p, — 1), b = qi + 9j + 3k будут коллинеарными?

🎦 Видео

§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

§20 Нахождение объёма параллелипипеда

№359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.Скачать

№359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.

Как строить сечения параллелепипедаСкачать

Как строить сечения параллелепипеда

№339. Дан параллелепипед ABCDAСкачать

№339. Дан параллелепипед ABCDA

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

№327. На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, нСкачать

№327. На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, н

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.

Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Площадь параллелограмма, построенного на данных векторах

№330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1Скачать

№330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1

43. Компланарные векторыСкачать

43. Компланарные векторы

координаты вектора AH, который перпендикуляр из точки A к основанию параллелепипедаСкачать

координаты вектора AH, который перпендикуляр из точки A к основанию параллелепипеда

10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

10 класс, 43 урок, Компланарные векторы

5 класс, 20 урок, Прямоугольный параллелепипедСкачать

5 класс, 20 урок, Прямоугольный параллелепипед

10 класс, 24 урок, Прямоугольный параллелепипедСкачать

10 класс, 24 урок, Прямоугольный параллелепипед
Поделиться или сохранить к себе: