α векторы a(2,3,4) и b(3, α,-1) перпендикулярны?
Используя (1.2.7), имеем ab=6+3α -4=0 или 3α =-2 , α =-2/3
Пример1.2.5.При каких значениях α и β векторы а(2,4,α) и b(4,β,1)коллинеарны?
Используя условие коллинеарности векторов (1.2.8), имеем: 2/4=4/β=α/1. Откуда 4/β =1/2 или α/1=1/2, β = 8, а α =1/2
Пример 1.2. 6. Найти вектор b, коллинеарный вектору a(l,-2,-2) образующий с ортом j острый угол и имеющий длину |b| =15.
Пусть вектор b имеет координаты bx , by, bz, Из условия коллинеарности (1.2.8) имеем b = λа или bx = λаx = λ , by = λаy =-2λ , bz= λаz=-2λ.
По формуле (1.2.6) вычисляем
Откуда |λ|=5 или λ5. Получаем два вектора b; b1 (5,-10,-10) и b2 (-5,10,10). Так угол между вектором b и ортом j острый, то cos(b,j)>0 и координата by>0. Поэтому в качестве вектора b выбираем вектор b2 т.е. b =-5 i+10 j+10k .
4. Векторное произведение векторов.
Необходимо обратить внимание студентов на определение правой и левой троек векторов (рис.1.2.6 и 1.2.7).
Тройка некомпланарных векторов a,b,c называется правой (рис.1.2.6) или левой (рис.1.2.7), если будучи приведены к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки.
Векторным произведением векторов а и b называется вектор с, который обозначается символом с=аb и удовлетворяет следующим трем условиям:
1) вектор с перпендикулярен плоскости векторов а и b;
2)образует с векторами а и b правую тройку;
3)длина вектора с численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и b, т.е.
Из свойств векторного произведения следует обратить внимание на антикоммутативность, т.е. ab=-ba
Пример 1. 2.7. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах а=2т+п и b = т- п , если |т|=2, |n|=1, (m,n)= π/6
Вычислим векторное произведение векторов a, и b и воспользуемся формулой (1.2.9)
ab =(2т+ п)-(т- n)= 2mт- 2mn+nm-пп =0-3mn-0=-3mn
В декартовом базисе векторное произведение векторов а(аx,аy,аz ) и
b(bx, by ,bz) вычисляется по формуле
Пример1.2.8. Найти координаты вектора b=(bx,by,bz), если он перпендикулярен векторам a1 (2,-3,1) и a2 (1,-2,3) и удовлетворяет условию;
Вектор b перпендикулярен векторам a1 и a2. Поэтому его можнo искать в виде:
Удовлетворим условию b(i + 2j-7k)=10; -7λ -10λ + 7λ =10; -10λ=10, λ=-1.
Таким образом вектор имеет вид: b= 7i+5j+k.
Пример 1.2.9.Вычислить площадь треугольника, вершины которого расположены в точках A(1,2,3), B(2,1,-1), С(3,-1,1).
SΔABC =1/2 |ABxAC|.Вычислим координаты векторов АВ и АС и векторное произведение АВАС .
5.Смешанное произведение трех векторов.
Смешанным произведением трех векторов а,b,с называется число, которое обозначается символом ахb-с (смешанное произведение иногда называют векторно-скалярным).
Если векторы а,b,с некомпланарны, то смешанное произведение аb-с равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а,b,с, взятому со знаком «+», если упорядоченная тройка векторов а,b,с-правая, и со знаком «-«, если эта тройка — левая.
Из свойств смешанного произведения трех векторов следует отметить следующие:
1)при круговой перестановке векторов смешанное произведение не меняется, т.е. (aх b) с = (сха) b = (bхс) а;
2)если в смешанном произведении поменять местами два соседних сомножителя, то произведение изменит знак, т.е. (aх b) с = -(ахс) b ;
3) смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны, т.е. условием компланарности векторов является равенство нулю смешанного произведения этих векторов.
Смешанное произведение векторов в декартовом базисе
.Если а(ax, ay, az), b(bx, by, bz,) и с(сx, cy, cz), то
Условие компланарности векторов (1.2.12)
Наиболее распространенные задачи, решаемые при помощи смешанного произведения:
1)найти объем параллелепипеда, построенного на векторах а,b,с:
2) найти объем тетраэдра, построенного на векторах а,b,с:
3) проверить компланарны ли векторы а,b,с, если а х b с=0, то векторы компланарны, если а х b с 0, то векторы некомпланарны;
4)проверить правую или левую тройку образуют векторы а,b,с,
>0 -тройка векторов — правая ,
Тогда sinα >0 и cosα >0, cos2α >0. По формулам (1.4.9) вычисляем
Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать
Как найти вектор коллинеарный вектору
Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать
Формула
Видео:Коллинеарные векторы.Скачать
Примеры нахождения коллинеарного вектора
Подставим координаты заданных векторов в это равенство и найдем значение $m$:
По пропорции имеем:
$$2 cdot m=(-1) cdot(-3) Rightarrow 2 cdot m=3 Rightarrow m=frac=1,5$$
А тогда значения неизвестных параметров $m$ и $n$ находим из равенств
$$frac=2 Rightarrow m=6$$ $$frac=2 Rightarrow n=frac=0,5$$
Видео:№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координатыСкачать
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Поможем выполнить
любую работу
Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать
Все еще сложно?
Наши эксперты помогут разобраться
Не получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Ищещь ответ на вопрос с которым нужна помощь?
Видео:Коллинеарность векторовСкачать
§ 31. Скалярное произведение векторов
§ 31. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов а, b обозначается символом аb (порядок записи сомножителей безразличен, т. е. аb = bа).
Если угол между векторами а, b обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой
. (1)
Скалярное произведение векторов а, b можно выразить также формулой
, или
Из формулы (1) следует, что ab > 0, если — острый угол, ab
💡 Видео
Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором? | TutorOnlineСкачать
18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Орт вектора. Нормировать вектор. Найти единичный векторСкачать
Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
#вектор Разложение вектора по ортам. Направляющие косинусыСкачать
Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать
Образуют ли данные векторы базисСкачать
Как находить угол между векторамиСкачать
Косинус угла между векторами. Коллинеарность векторовСкачать
9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать
Координаты вектора. 9 класс.Скачать
1 НА 1 НА НОВОЙ КАРТЕ | COUNTER STRIKE 2Скачать
Единичный векторСкачать
ВТОРАЯ ГЛАВНАЯ ЗАДАЧА НА ТРАПЕЦИЮ! По двум основаниям и двум диагоналям.Скачать