Найти вектор х коллинеарный вектору а i 2j 2k образующий

Найти вектор х коллинеарный вектору а i 2j 2k образующий

α векторы a(2,3,4) и b(3, α,-1) перпендикулярны?

Используя (1.2.7), имеем ab=6+3α -4=0 или 3α =-2 , α =-2/3

Пример1.2.5.При каких значениях α и β векторы а(2,4,α) и b(4,β,1)коллинеарны?

Используя условие коллинеарности векторов (1.2.8), имеем: 2/4=4/β=α/1. Откуда 4/β =1/2 или α/1=1/2, β = 8, а α =1/2

Пример 1.2. 6. Найти вектор b, коллинеарный вектору a(l,-2,-2) образующий с ортом j острый угол и имеющий длину |b| =15.

Пусть вектор b имеет координаты bx , by, bz, Из условия коллинеарности (1.2.8) имеем b = λа или bx = λаx = λ , by = λаy =-2λ , bz= λаz=-2λ.

По формуле (1.2.6) вычисляем

Откуда |λ|=5 или λ5. Получаем два вектора b; b1 (5,-10,-10) и b2 (-5,10,10). Так угол между вектором b и ортом j острый, то cos(b,j)>0 и координата by>0. Поэтому в качестве вектора b выбираем вектор b2 т.е. b =-5 i+10 j+10k .

4. Векторное произведение векторов.

Необходимо обратить внимание студентов на определение правой и левой троек векторов (рис.1.2.6 и 1.2.7).

Тройка некомпланарных векторов a,b,c называется правой (рис.1.2.6) или левой (рис.1.2.7), если будучи приведены к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Векторным произведением векторов а и b называется вектор с, который обозначается символом с=аb и удовлетворяет следующим трем условиям:

1) вектор с перпендикулярен плоскости векторов а и b;

2)образует с векторами а и b правую тройку;

3)длина вектора с численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и b, т.е.

Из свойств векторного произведения следует обратить внимание на антикоммутативность, т.е. ab=-ba

Пример 1. 2.7. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах а=2т+п и b = т- п , если |т|=2, |n|=1, (m,n)= π/6

Вычислим векторное произведение векторов a, и b и воспользуемся формулой (1.2.9)

ab =(2т+ п)-(т- n)= 2mт- 2mn+nm-пп =0-3mn-0=-3mn

В декартовом базисе векторное произведение векторов а(аx,аy,аz ) и

b(bx, by ,bz) вычисляется по формуле

Пример1.2.8. Найти координаты вектора b=(bx,by,bz), если он перпендикулярен векторам a1 (2,-3,1) и a2 (1,-2,3) и удовлетворяет условию;

Вектор b перпендикулярен векторам a1 и a2. Поэтому его можнo искать в виде:

Удовлетворим условию b(i + 2j-7k)=10; -7λ -10λ + 7λ =10; -10λ=10, λ=-1.

Таким образом вектор имеет вид: b= 7i+5j+k.

Пример 1.2.9.Вычислить площадь треугольника, вершины которого расположены в точках A(1,2,3), B(2,1,-1), С(3,-1,1).

SΔABC =1/2 |ABxAC|.Вычислим координаты векторов АВ и АС и векторное произведение АВАС .

5.Смешанное произведение трех векторов.

Смешанным произведением трех векторов а,b,с называется число, которое обозначается символом ахb-с (смешанное произведение иногда называют векторно-скалярным).

Если векторы а,b,с некомпланарны, то смешанное произведение аb-с равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а,b,с, взятому со знаком «+», если упорядоченная тройка векторов а,b,с-правая, и со знаком «-«, если эта тройка — левая.

Из свойств смешанного произведения трех векторов следует отметить следующие:

1)при круговой перестановке векторов смешанное произведение не меняется, т.е. (aх b) с = (сха) b = (bхс) а;

2)если в смешанном произведении поменять местами два соседних сомножителя, то произведение изменит знак, т.е. (aх b) с = -(ахс) b ;

3) смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны, т.е. условием компланарности векторов является равенство нулю смешанного произведения этих векторов.

Смешанное произведение векторов в декартовом базисе

.Если а(ax, ay, az), b(bx, by, bz,) и с(сx, cy, cz), то

Условие компланарности векторов (1.2.12)

Наиболее распространенные задачи, решаемые при помощи смешанного произведения:

1)найти объем параллелепипеда, построенного на векторах а,b,с:

2) найти объем тетраэдра, построенного на векторах а,b,с:

3) проверить компланарны ли векторы а,b,с, если а х b с=0, то векторы компланарны, если а х b с 0, то векторы некомпланарны;

4)проверить правую или левую тройку образуют векторы а,b,с,

>0 -тройка векторов — правая ,

Тогда sinα >0 и cosα >0, cos2α >0. По формулам (1.4.9) вычисляем