- Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.
- Условия коллинеарности векторов
- Примеры задач на коллинеарность векторов
- Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
- Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
- найти вектор a, коллинеарный вектору b=(3,6,6) и удовлетворяющий условию a*b=27
- Как найти вектор коллинеарный вектору
- Формула
- Примеры нахождения коллинеарного вектора
- Остались вопросы?
- Все еще сложно?
Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.
Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).
 |
| рис. 1 |
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = < ax ; ay ; az > и b = < nax ; nay ; naz >. Найдем их векторное произведение
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | . |
| bx | by |
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | . |
| bx | by |
| 3 | = | 2 | . |
| 9 | n |
Решим это уравнение:
| n = | 2 · 9 | = 6 |
| 3 |
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
| 3 | = | 2 | = | m |
| 9 | n | 12 |
Из этого соотношения получим два уравнения:
| 3 | = | 2 |
| 9 | n |
| 3 | = | m |
| 9 | 12 |
Решим эти уравнения:
| n = | 2 · 9 | = 6 |
| 3 |
| m = | 3 · 12 | = 4 |
| 9 |
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
найти вектор a, коллинеарный вектору b=(3,6,6) и удовлетворяющий условию a*b=27
Ответ:
два варианта:
а (1; 2; 2),
а (-1; -2; -2)
———————————————————————————
Скалярное произведение векторов а и в определяется как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними!
Поскольку векторы коллинеарные, то угол = 0 градусов, т. е косинус угла = 1.
Длина вектора в
равна = корню квадратному из 3*2 + 6*2 + 6″2 (везде в квадрате) = корню квадратному из (9 + 36 + 36) = корню квадратному из 81 = 9.
Условие a*b=27
дает 9а = 27,
откуда длина вектор а = 3, а его квадрат а*2 = 9.
Поскольку а и в коллинеарны, то вектор а имеет координаты а (3х; 6х; 6х) , где х — коэффициент пропорциональности. а*2 = 9х*2 +36х*2 + 36х*2 = 81х*2.
Сравнив а*2 = 9 и а*2 = 81х*2, получим
х равно «+1/3» или «-1/3».
Чтоб получить координаты вектора а —
Подставьте х в а (3х; 6х; 6х) , т. е имеем два варианта:
а (1; 2; 2),
а (-1; -2; -2)
а коллинеарен в, значит, а = (3х, 6х, 6х) . напиши скалярное произведение и получишь уравнение
Как найти вектор коллинеарный вектору
Формула
Примеры нахождения коллинеарного вектора
Подставим координаты заданных векторов в это равенство и найдем значение $m$:
По пропорции имеем:
$$2 cdot m=(-1) cdot(-3) Rightarrow 2 cdot m=3 Rightarrow m=frac=1,5$$
А тогда значения неизвестных параметров $m$ и $n$ находим из равенств
$$frac=2 Rightarrow m=6$$ $$frac=2 Rightarrow n=frac=0,5$$
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Поможем выполнить
любую работу
Все еще сложно?
Наши эксперты помогут разобраться
Не получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Ищещь ответ на вопрос с которым нужна помощь?