Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

Найти базу системы векторов

Видео:Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Проверить образуют ли вектора базис онлайн калькулятор

Базисом в -мерном пространстве называется упорядоченная система из линейно-независимых векторов.

Введём также некоторые дополнительные понятия, необходимые для дальнейшего изложения.

, где &#x2212 некоторые числа и называется линейной комбинацией векторов .

Если существуют такие числа из которых хотя бы одно не равно нулю (например ) и при этом выполняется равенство:

, то система векторов &#x2212 является линейно-зависимой.

Если же указанное равенство выполняется лишь при условии, что все числа , тогда система векторов &#x2212 является линейно-независимой.

Базис может образовывать только линейно-независимая система векторов. Понятие линейной зависимости/независимости системы векторов, тесно связано с понятием ранга матрицы .

Наш онлайн калькулятор позволяет проверить образует ли система векторов базис. При этом калькулятор выдаёт подробное решение на русском языке.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того чтобы найти базис системы векторов Av А2. А , необходимо:

1) составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

2) привести эту систему к равносильной разрешенной системе вида

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

  • 3) записать базис системы векторов Б = (АрА2, . А ), включив в него векторы, соответствующие разрешенным неизвестным;
  • 4) записать разложения векторов по базису; коэффициентами разложения вектора А. по этому базису являются координаты соответствующего вектора

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

в разрешенной системе уравнений, т.е.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

Система векторов, состоящая из п векторов, ранг которой равен г, может иметь несколько базисов. Число возможных базисов системы векторов определяется как число меньшее или равное числу сочетаний из п по г. Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

Пример 3.3. Найти ранг и базис системы векторов

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

разложения векторов по базису, перейти к новому базису и найти число возможных базисов системы.

Решение. Составим систему уравнений A t ay + А2х2 + . + А„хп = 0, которая в координатной записи имеет вид

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

Приведение данной системы уравнений с помощью преобразований Жордана к равносильной разрешенной приведено в ниже следующей таблице.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

Разрешенная система имеет вид

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

В базис системы векторов включаем 1-й и 2-й векторы Б: = (AVA2), которые соответствуют разрешенным неизвестным х1 и х2. Ранг системы векторов равен числу векторов, вошедших в базис, т.е. г = 2.

Запишем разложения векторов по базису. Коэффициентами разложения вектора А3 являются координаты вектора А’3 = (3, -2), т.е. коэффициенты при х3 в разрешенной системе уравнений (в последних трех строках таблицы), они образуют столбец, расположенный под х3 А3 = ЗЛ1 — 2Аг Аналогично, коэффициентами разложения вектора А4 являются координаты вектора А’4 = (4, 1) А4 = 4Ау + 1 Ат

Для нахождения нового базиса необходимо выбрать новый разрешающий элемент. Пусть этим элементом будет элемент я94 = 1.

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Как найти базис данной системы векторов

Определение базиса.Система векторов образует базис, если:

1) она линейно-независима,

2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.

Пример 1.Базис пространства Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы: Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы.

2. В системе векторов Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы базисом являются векторы: Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы, т.к. Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторылинейно выражается через векторы Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы.

Замечание.Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:

1) записать координаты векторов в матрицу,

2) с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,

3) ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,

4) количество векторов в базисе равно рангу матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронеккера–Капелли дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности произвольной системы Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторылинейных уравнений с Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторынеизвестными

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

Теорема Кронеккера–Капелли. Система линейных алгебраических урав­нений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы, Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы.

Алгоритм отыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекает из теоремы Кронеккера–Капелли и следующих теорем.

Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений:

1. Найдем ранги основной и расширенной матриц системы. Если они не равны Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы( Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы), то система несовместна (не имеет решений). Если ранги равны Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы( Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы, то система совместна.

2. Для совместной системы найдем какой-нибудь минор, порядок Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторыкоторого определяет ранг матрицы (такой минор называют базисным). Составим новую систему из Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторыуравнений, в которых коэффициенты при неизвестных, входят в базисный минор (эти неизвестные называют главными неизвестными), остальные уравнения отбросим. Главные неизвестные с коэффициентами оставим слева, а остальные Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторынеизвестных (их называют свободными неизвестными) перенесем в правую часть уравнений.

3. Найдем выражения главных неизвестных через свободные. Получаем общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образомнаходим частные решения исходной системы уравнений.

Линейное программирование. Основные понятия

Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.

Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.

Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующихсистему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе ограничений, называетсядопустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции F, называется оптимальным планом задачи.

Система ограничений, определяющая множество планов, диктуется условиями производства. Задачей линейного программирования (ЗЛП) является выбор из множества допустимых планов наиболее выгодного (оптимального).

В общей постановке задача линейного программирования выглядит следующим образом:

Имеются какие-то переменные х = (х1 , х2 , … хn ) и функция этих переменных f(x) = f (х1 , х2 , … хn ), которая носит название целевой функции. Ставится задача: найти экстремум (максимум или минимум) целевой функции f(x) при условии, что переменные x принадлежат некоторой области G:

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

В зависимости от вида функции f(x) и области G и различают разделы математического программирования: квадратичное программирование, выпуклое программирование, целочисленное программирование и т.д. Линейное программирование характеризуется тем, что
а) функция f(x) является линейной функцией переменных х1 , х2 , … хn
б) область G определяется системой линейных равенств или неравенств.

Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того чтобы найти базис системы векторов Av А2. А , необходимо:

1) составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

2) привести эту систему к равносильной разрешенной системе вида

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

  • 3) записать базис системы векторов Б = (АрА2, . А ), включив в него векторы, соответствующие разрешенным неизвестным;
  • 4) записать разложения векторов по базису; коэффициентами разложения вектора А. по этому базису являются координаты соответствующего вектора

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

в разрешенной системе уравнений, т.е.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

Система векторов, состоящая из п векторов, ранг которой равен г, может иметь несколько базисов. Число возможных базисов системы векторов определяется как число меньшее или равное числу сочетаний из п по г. Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

Пример 3.3. Найти ранг и базис системы векторов

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

разложения векторов по базису, перейти к новому базису и найти число возможных базисов системы.

Решение. Составим систему уравнений A t ay + А2х2 + . + А„хп = 0, которая в координатной записи имеет вид

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

Приведение данной системы уравнений с помощью преобразований Жордана к равносильной разрешенной приведено в ниже следующей таблице.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

Разрешенная система имеет вид

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

В базис системы векторов включаем 1-й и 2-й векторы Б: = (AVA2), которые соответствуют разрешенным неизвестным х1 и х2. Ранг системы векторов равен числу векторов, вошедших в базис, т.е. г = 2.

Запишем разложения векторов по базису. Коэффициентами разложения вектора А3 являются координаты вектора А’3 = (3, -2), т.е. коэффициенты при х3 в разрешенной системе уравнений (в последних трех строках таблицы), они образуют столбец, расположенный под х3 А3 = ЗЛ1 — 2Аг Аналогично, коэффициентами разложения вектора А4 являются координаты вектора А’4 = (4, 1) А4 = 4Ау + 1 Ат

Для нахождения нового базиса необходимо выбрать новый разрешающий элемент. Пусть этим элементом будет элемент я94 = 1.

Видео:Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

Линейная зависимость. Базис системы векторов

В геометрии вектор понимается как направленный отрезок, причем векторы, полученные один из другого параллельным переносом, считаются равными. Все равные векторы рассматриваются как один и тот же вектор. Начало вектора можно поместить в любую точку пространства или плоскости.

Если в пространстве заданы координаты концов вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы: A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (x2x1, y2y1, z2z1). (1)

Аналогичная формула имеет место на плоскости. Это значит, что вектор можно записать в виде координатной строки. Операции над векторами, – сложение и умножение на число, над строками выполняются покомпонентно. Это дает возможность расширить понятие вектора, понимая под вектором любую строку чисел. Например, решение системы линейных уравнений, а также любой набор значений переменных системы, можно рассматривать как вектор.

Над строками одинаковой длины операция сложения выполняется по правилу

Умножение строки на число выполняется по правилу

Множество векторов-строк заданной длины n с указанными операциями сложения векторов и умножения на число образует алгебраическую структуру, которая называется n-мерным линейным пространством.

Линейной комбинацией векторов Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторыназывается вектор Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы, где λ1, . , λm – произвольные коэффициенты.

Система векторов Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторыназывается линейно зависимой, если существует ее линейная комбинация, равная Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы, в которой есть хотя бы один ненулевой коэффициент.

Система векторов Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторыназывается линейно независимой, если в любой ее линейной комбинации, равной Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы, все коэффициенты нулевые.

Таким образом, решение вопроса о линейной зависимости системы векторов Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторысводится к решению уравнения

x1 Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы+ x2 Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы+ … + xm Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы. (4)

Если у этого уравнения есть ненулевые решения, то система векторов линейно зависима. Если же нулевое решение является единственным, то система векторов линейно независима.

Для решения системы (4) можно для наглядности векторы записать не в виде строк, а в виде столбцов.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

Тогда, выполнив преобразования в левой части, придем к системе линейных уравнений, равносильной уравнению (4). Основная матрица этой системы образована координатами исходных векторов, расположенных по столбцам. Столбец свободных членов здесь не нужен, так как система однородная.

Базисом системы векторов (конечной или бесконечной, в частности, всего линейного пространства) называется ее непустая линейно независимая подсистема, через которую можно выразить любой вектор системы.

Пример 1.5.2.Найти базис системы векторов Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (1, 2, 2, 4), Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (2, 3, 5, 1), Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (3, 4, 8, –2), Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (2, 5, 0, 3) и выразить остальные векторы через базис.

Решение. Строим матрицу, в которой координаты данных векторов располагаем по столбцам. Это матрица системы x1 Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы+ x2 Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы+ x3 Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы+ x4 Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы=. Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы. Приводим матрицу к ступенчатому виду:

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

Базис данной системы векторов образуют векторы Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы, Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы, Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы, которым соответствуют ведущие элементы строк, выделенные кружками. Для выражения вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторырешаем уравнение x1 Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы+ x2 Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы+ x4 Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы. Оно сводится к системе линейных уравнений, матрица которой получается из исходной перестановкой столбца, соответствующего Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы, на место столбца свободных членов. Поэтому при приведении к ступенчатому виду над матрицей будут сделаны те же преобразования, что выше. Значит, можно использовать полученную матрицу в ступенчатом виде, сделав в ней необходимые перестановки столбцов: столбцы с кружками помещаем слева от вертикальной черты, а столбец, соответствующий вектору Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы, помещаем справа от черты.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= – Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы+ 2 Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы.

Замечание. Если требуется выразить через базис несколько векторов, то для каждого из них строится соответствующая система линейных уравнений. Эти системы будут отличаться только столбцами свободных членов. При этом каждая система решается независимо от остальных.

У п р а ж н е н и е 1.4. Найти базис системы векторов и выразить остальные векторы через базис:

а) Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (1, 3, 2, 0), Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (3, 4, 2, 1), Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (1, –2, –2, 1), Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (3, 5, 1, 2);

б) Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (2, 1, 2, 3), Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (1, 2, 2, 3), Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (3, –1, 2, 2), Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (4, –2, 2, 2);

в) Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (1, 2, 3), Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (2, 4, 3), Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (3, 6, 6), Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (4, –2, 1); Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (2, –6, –2).

В заданной системе векторов базис обычно можно выделить разными способами, но во всех базисах будет одинаковое число векторов. Число векторов в базисе линейного пространства называется размерностью пространства. Для n-мерного линейного пространства n – это размерность пространства, так как это пространство имеет стандартный базис Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (1, 0, … , 0), Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (0, 1, … , 0), … , Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (0, 0, … , 1). Через этот базис любой вектор Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (a1, a2, … , an) выражается следующим образом:

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (a1, 0, … , 0) + (0, a2, … , 0) + … + (0, 0, … , an) =

= a1(1, 0, … , 0) + a2(0, 1, … , 0) + … + an(0, 0, … ,1) = a1 Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы+ a2 Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы+… + an Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы.

Таким образом, компоненты в строке вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы= (a1, a2, … , an) – это его коэффициенты в разложении через стандартный базис.

Прямые на плоскости

Задача аналитической геометрии – применение к геометрическим задачам координатного метода. Тем самым задача переводится в алгебраическую форму и решается средствами алгебры.

В прямоугольной декартовой системе координат каждой точке соответствует пара чисел – ее координаты.

Рассмотрим произвольное уравнение от двух переменных F(x, y) = 0. Изобразив на плоскости точки координаты которых (x, y) удовлетворяют уравнению, получим некоторую фигуру. Исходное уравнение является уравнением этой фигуры. Вместо уравнения может фигурировать неравенство или другое условие – каждое такое условие всегда можно записать в виде уравнения.

Пересечение двух фигур задается системой уравнений, определяющих эти фигуры.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы. (1)

Пример 1.4.1.Построить уравнение окружности с центром в точке А(a, b) и радиусом r.

Обозначим произвольную точку окружности через M(x, y), тогда, согласно определению, окружность задается уравнением АМ = r. Воспользовавшись формулой (1), получаем алгебраическое уравнение Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы, или

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы. (2)

🎦 Видео

Примеры Линейная зависимость векторов Базис и ранг системы векторовСкачать

Примеры  Линейная зависимость векторов  Базис и ранг системы векторов

Решение "базисной системы векторов" (2)Скачать

Решение "базисной системы векторов" (2)

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Базис. Разложение вектора по базису.Скачать

Базис. Разложение вектора по базису.

2 42 Ортогональность векторовСкачать

2 42 Ортогональность векторов

Линейная алгебра. Векторы и операции над векторами.Скачать

Линейная алгебра. Векторы и операции над векторами.

Матрица судьбы не работает? Честный разговор со скептикомСкачать

Матрица судьбы не работает? Честный разговор со скептиком

КАК РАЗОБРАТЬСЯ В ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕСкачать

КАК РАЗОБРАТЬСЯ В ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnline

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Линейная зависимость и линейная независимость векторов.Скачать

Линейная зависимость и  линейная независимость  векторов.

Собственные значения и собственные векторыСкачать

Собственные значения и собственные векторы

Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)
Поделиться или сохранить к себе: