Найти уравнение линии центров двух окружностей заданных уравнениями

План урока:

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

Уравнение линии в координатах

Если какое-то уравнение содержит две переменные – х и у, то какие-то пары значений этих чисел будут являться его решением, а какие-то нет. Однако каждой такой паре чисел можно сопоставить точку на координатной плоскости. Все вместе такие точки могут образовать линию, которую можно обозначить буквой L. В таком случае исходное уравнение называют уравнением линии L.

Мы уже рассматривали некоторые уравнения линий на плоскости, когда изучали графики функций. Если некоторую функцию у = у(х) рассматривать как уравнение, то тогда график функции у(х) будет той самой линией, которая задается уравнением. Например, парабола может быть задана уравнением у = х 2 .

Однако уравнение линии не обязательно выглядит как функция. Наиболее простой задачей является определение факта, принадлежит ли та или иная точка той линии, которая задана уравнением.

Задание. Какие из точек А (2;1), В (3; 2), С (– 2; 5) и D(0; 0) принадлежат линии, заданной уравнением:

Решение. Надо просто подставить координаты точек в уравнение и посмотреть, превратится ли оно при этом в верное равенство. Сначала подставляем точку А (2; 1):

Получилось верное равенство, значит, А принадлежит заданной линии. Теперь подставляем координаты В (3; 2):

Равенство неверное, следовательно, В на заданной линии не лежит. Проверяем третью точку С (– 2; 5):

Получили, что и С не является частью линии. Проверяем последнюю точку D (0; 0):

Справедливость равенства означает, что D принадлежит линии.

Использование координат и уравнений линии порождает две обратные друг другу задачи:

1) по заранее заданному уравнению определить геометрический вид линии;

2) для заданной геометрической фигуры, построенной на координатной плоскости, найти уравнение линии.

Геометрия занимается в первую очередь решением второй задачи. Первая же задача рассматривается по большей части в курсе алгебры при изучении графиков функций.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности

Попытаемся составить уравнение окружности, про которую нам известен ее радиус (обозначим его буквой r) и координаты центра окруж-ти(х₀; у₀). Пусть некоторая точка М с координатами (х; у) лежит на окруж-ти. Тогда, по определению окруж-ти, расстояние между С и М равно радиусу r:

Но расстояние между точками М и С может быть вычислено по формуле

Если же точка М НЕ лежит на окруж-ти, то длина отрезка МС не будет равна r, и потому координаты М не будут удовлетворять уравнению (1). Получается, что (1) как раз и является уравнением окруж-ти.

Задание. Составьте уравнение окружности, имеющей радиус 5, если ее центр находится в точке (6; 7), и проверьте, лежат на ней точки H(2; 10)и Р(3; 8).

Решение. Сначала запишем уравнение окруж-ти в общем виде

Это и есть уравнение окруж-ти. При желании можно раскрыть скобки в правой части, но делать это необязательно. Теперь будем подставлять в полученное уравнение координаты точек Н и Р:

Проверка показала, что Н находится на окруж-ти, а Р – нет.

Задание. Начертите окружность, заданную уравнением

Именно эти значения и являются параметрами окруж-ти, которые нужны нам для ее построения. Ее центр находится в точке (х₀; у₀), то есть в (1; – 2), радиус равен r, то есть 2. В итоге выглядеть она будет так:

Особый случай представляет окруж-ть, центр которой находится в начале координат, то есть в точке (0; 0). В этом случае параметры x₀ и y₀ окруж-ти равны нулю, и уравнение

Например, окруж-ть с радиусом 4, если ее центр совпадает с началом координат, описывается уравнением:

Если при подстановке координат точки в уравнение получилось неверное равенство, то возможны два случая: либо точка находится внутри окруж-ти, либо она находится вне нее. Заметим, что в уравнении окруж-ти

левая часть представляет собой квадрат расстояния между точкой (х; у) и центром окруж-ти (х₀; у₀). Если оно больше квадрата радиуса, то точка находится вне окруж-ти, а если меньше – то внутри нее.

Задание. Определите для точек M(3; 4), N(2; 3), F(4; 4), лежат ли они на окруж-ти

внутри нее или за пределами окруж-ти.

Решение.Снова подставляем координаты точек в уравнение окруж-ти:

Это ошибочное равенство, ведь в реальности левая часть больше:

Это значит, что F(4; 4) лежит вне окруж-ти. Убедиться в правильности сделанных выводов можно, построив заданную окруж-ть и отметив точки M, N и F:

Рассмотрим несколько более сложных задач по данной теме.

Задание.Запишите уравнение окружности с центром С(– 4; 2), и окруж-ть проходит через точку А(0; 5).

Решение. В данном случае радиус окруж-ти явно не указан, и его надо найти. Подставим в уравнение окруж-ти известные нам данные:

Задание. Даны точки К (– 2; 6) и М (2; 0). Запишите уравнение окруж-ти, в которой КМ будет являться диаметром.

Решение. Для составления уравнения нужно знать радиус окруж-ти и координаты ее центра. Обозначим центр буквой С. Ясно, что центр окруж-ти делит любой ее диаметр пополам, на два одинаковых радиуса, то есть является серединой диаметра. То есть С – середина КМ, а потому для поиска координат С используем формулы:

Итак, координаты центра теперь известны, это (0; 3). Чтобы найти радиус, поступим также, как и в предыдущей задаче – подставим координаты точек С и, например, К, в уравнение окруж-ти

Обратите внимание, что нам необязательно вычислять радиус, ведь для уравнении окруж-ти нужна его величина, возведенная в квадрат, и мы ее нашли. Теперь можем записать уравнение окончательно

Задание. Дано уравнение окружности

(x — 2) 2 + (y — 4) 2 = 9

Найдите точки этой окруж-ти, абсцисса которых равна 2.

Решение. Напомним, что абсцисса – это координат х точки. Она нам уже известна, х = 2. Остается только найти ординату, то есть координату у. Для этого подставим известное нам значение абсциссы в уравнение и решим его:

Обратите внимание, что у квадратного уравнения нашлось сразу 2 корня, они соответствуют двум точкам, (2; 1) и (2; 7).

Ответ: (2; 1) и (2; 7).

Задание. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки D(3; 8), L(6; 7) и K(7; 0).

Решение. Эта задача сложнее предыдущих и потребует громоздких вычислений. Нам надо найти радиус окруж-ти r и ее центр (х₀; у₀). Запишем для точки D(3; 8) уравнение окруж-ти:

Далее раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности (это необходимо для упрощения дальнейших расчетов):

В итоге нам удалось составить три уравнения, которые содержат три переменные: r, х₀ и у₀.Вместе они образуют систему уравнений, которую можно попробовать решить:

Далее можно, например, вычесть из (2) уравнение (3):

Нам удалось найти одно из интересующих нас чисел, у₀. С помощью (5) легко найдем и х₀:

x₀ = 7y₀ — 18 = 7*3 — 18 = 21 — 18 = 3

Итак, центр окруж-ти находится в точке (3; 3). Осталось найти радиус окруж-ти. Для этого подставим в уравнение окруж-ти вычисленные нами координаты центра, а также координаты одной из точек из условия, например, K(7; 0):

Радиус окруж-ти равен 5. Теперь мы можем окончательно записать уравнение окруж-ти

Чтобы убедиться в правильности найденного решения, можно подставить в полученное уравнение координаты трех точек из условия и посмотреть, обращают ли они его в верное равенство. Вместо этого мы для наглядности просто построим в координатной плоскости получившуюся окруж-ть и отметим на ней точки из условия:

Ответ: (х – 3) 2 + (у – 3) 2 = 25

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

Уравнение прямой

Пусть на координатной плоскости построена произвольная прямая m. Для составления его уравнения отметим две точки А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) так, чтобы прямая m оказалась серединным перпендикуляром для отрезка АВ:

Тогда, согласно свойству серединного перпендикуляра,про любую точку М(х; у), лежащую на m, можно сказать, что она равноудалена от А и В, и наоборот, любая точка, НЕ лежащая на m, НЕ равноудалена от А и В. Это означает, что для точки M, если она лежит на m, должно выполняться равенство:

Квадратные корни равны, если одинаковы их подкоренные выражения, поэтому

Заметим, что так как точки А и В – различные, то хотя бы одна из разностей (2х₂ – 2х₁) и (2у₂ – 2у₁) будет не равна нулю, поэтому в (2) хотя бы один их коэффициентов а и b точно ненулевой. Это означает, что уравнение (2) является уравнением первой степени. Заметим, что (2) называют общим уравнением прямой, так как оно описывает любую прямую на плоскости. При более глубоком изучении геометрии вы познакомитесь с множеством других видов уравнений прямой (нормальным, каноническим, тангенциальным, параметрическим и т. п.).

В последнем примере коэффициент с равен нулю, поэтому его просто не записали.

Заметим важный аспект – одна и та же прямая может описываться различными уравнениями вида (2). Например, пусть уравнение прямой выглядит так:

Это уравнение равносильно предыдущему, хотя у них и различны коэффициенты а, b и c. Это значит, что однозначно определить эти коэффициенты при решении задач в большинстве случаев невозможно. Поэтому удобней рассмотреть два отдельных случая.

1) Если коэффициент b в уравнении прямой (2) не равен нулю, то его можно привести к виду:

Из курса алгебры мы помним, что ее графиком как раз является прямая. В большинстве случаев уравнение прямой удобно записывать именно в таком виде. Напомним, что число k называется угловым коэффициентом прямой.Поэтому (3) так и называют – уравнением прямой с угловым коэффициентом. В качестве примера подобных уравнений можно привести:

Каждое из них описывает вертикальную прямую, параллельную оси Оу.

Задание. Прямая задана уравнением

Постройте ее на координатной плоскости

Решение. Для построения прямой надо всего лишь найти две различные точки, лежащие на ней, и соединить их. Мы будем брать произвольные значения координаты х, подставлять их в уравнение и находить соответствующее им значение координаты у. Подставим х = 1:

Получили другую точку (– 1; – 1). Осталось отметить эти две точки на и соединить их:

Задание. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D(1; 10) и Е(– 1; – 4).

Решение. Задачу можно решить разными способами.

Способ 1 – универсальный и более сложный.

В общем виде уравнение прямой выглядит так:

Нам надо найти коэффициенты а, b и c. Для этого просто подставляем координаты известных точек в уравнение. Начнем с координат D:

Нам удалось выразить коэффициента двумя различными выражениями (1) и (2). Так как в них одинаковы левые части, то можно приравнять и правые части:

Мы можем взять любое значение коэффициента с (кроме нуля), и при этом получатся различные, но равносильные друг другу уравнения. Удобно взять с = 3, тогда в уравнении исчезнут дроби:

Это и есть ответ задания.

Далее рассмотрим более простой способ, который, однако, может потребовать анализа различных вариантов.

Уравнение прямой может иметь либо вид

если прямая является графиком линейной функции, либо вид

если прямая параллельна оси Оу. Во втором случае у всех точек прямой абсцисса должна быть одинакова, однако у точек D(1; 10) и Е(– 1; – 4) она различна, поэтому ее точно можно описать уравнением

Надо найти коэффициенты k и d. Подставим в уравнение координаты D(1; 10):

Итак, уравнение можно записать так:

Задание. Запишите уравнение прямой, если ей принадлежат точки:

Подставим сюда уже известное нам значение d:

В (1) и (2) мы выразили d с помощью разных выражений, которые теперь можно приравнять:

То, что коэффициент k оказался нулевым, означает, что прямая параллельна оси Ох.

в) Попытаемся сделать те же действия, что и в двух предыдущих примерах, подставляя точки в уравнение у = kx + d:

На этот раз мы не смогли найти коэффициент k, а вместо этого получили ошибочное равенство. То есть уравнение просто не имеет решений. Что же это значит? Из этого факта следует, что в этом примере уравнение прямой НЕ может иметь вид

Значит, оно имеет другой вид:

Действительно, у обеих точек (2; 7) и (2; 8) одинаковы абсциссы. Это значит, что прямая, проходящая через них, вертикальная. Коэффициент С как раз равен значению этой абсциссы, так что уравнение выглядит так:

Ответ а) у = 1,5х + 3; б) у = 8; в) х = 2.

Задание. Найдите площадь треугольника MON, изображенного на рисунке, если известно, что M и N лежат на прямой, задаваемой уравнением:

Решение. ∆MON – прямоугольный, и для вычисления его площади нужно найти длины OM и ON. По рисунку видно, что М лежит на оси Ох, то есть у неё ордината нулевая:

Зная это, легко найдем и абсциссу М, ведь координаты М при их подстановке в уравнение прямой должны давать верное равенство:

Далее рассмотрим точку N. Она уже лежит на Оу, а потому у нее нулевой оказывается абсцисса:

Напомним, что площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена по формуле:

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№9 - Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой.)Скачать

Задачи на пересечение двух фигур

Метод координат помогает находить точки, в которых пересекаются те или иные геометрические фигуры. В большинстве случаев надо просто составить систему из уравнений, задающих эти фигуры, и найти их общее решение. В курсе алгебры мы уже рассматривали как решение простых, в основном линейных систем, так и решение более сложных, нелинейных систем. Рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задание. Две прямые заданы уравнениями:

Определите, в какой точке они пересекаются.

Решение. Если точка пересечения прямых существует, то ее координаты являются решением каждого из двух уравнений. Таким, образом, нам надо просто решить систему:

Мы нашли единственное решение системы – это пара чисел (3; – 2). Эта же пара определяет координаты искомой нами точки.

Задание. Найдите точки пересечения окруж-ти и прямой, если они задаются уравнениями

Решаем квадратное уравнение, используя дискриминант:

Мы нашли два различных значения у. Это значит, что прямая пересекается с окруж-тью в двух различных точках, а найденные нами числа – их ординаты. Отметим, что возможны случаи, когда корень только один (и тогда у окруж-ти с прямой одна общая точка, то есть они касаются), и когда корней вовсе нет (тогда окруж-ть и прямая не пересекаются). В нашем же примере осталось найти абсциссы точек. Для этого используем уравнение (3):

Получили в итоге пары точек (3; 8) и (6; 7), в которых заданная окруж-ть и прямая пересекаются.

Ответ: (3; 8) и (6; 7).

Задание. Две окруж-ти заданы уравнениями:

Для ее решения сначала раскроем скобки в обоих уравнениях и приведем подобные слагаемые:

Нам удалось выразить у через х. Теперь снова запишем одно из исходных уравнений окруж-ти, но заменим в нем у с помощью только что найденного выражения:

Мы нашли абсциссы точек пересечения окруж-тей, теперь можно вернуться к (1), чтобы найти и ординаты:

Получили точки (5; 2) и (4; 3).

В конце решим одну задачу чуть более высокого уровня сложности.

Задание. К окруж-ти радиусом 5, чей центр совпадает с началом координат, построена касательная в точке (3; 4). Составьте уравнение этой касательной.

Решение. Сначала составим уравнение окруж-ти. Так как ее центр находится в начале координат, а радиус имеет длину 5, то оно примет вид:

Нам надо найти коэффициенты k и d, а для этого надо составить какие-нибудь уравнения с этими переменными. Нам известно, что касательная проходит через точку (3; 4), а потому эти координаты можно подставить в (2):

Обратите внимание, что мы получили квадратное уравнение относительно переменной х. Если бы нам были известны k и d, то мы смогли бы его решить, и тогда мы определили бы точки пересечения прямой и окруж-ти. В этой задаче k и d нам неизвестны, но мы знаем, что окруж-ть и прямая касаются, то есть имеют ровно одну общую точку. Но тогда и квадратное уравнение (4) должно иметь только одно решение! Это означает, что его дискриминант равен нулю. Сначала выпишем коэффициенты квадратного уравнения, используемые при вычислении дискриминанта:

Теперь у нас есть два уравнения, (3) и (5), которые содержат только переменные k и d. Осталось лишь совместно решить их. Для этого подставим (3) в (5):

В рамках урока мы выяснили, как выглядят уравнения окруж-ти и прямой, а также научились решать несколько типовых заданий, в которых эти уравнения необходимо использовать. Хотя формулы, используемые при этом, могут показаться слишком сложными, главное – просто набить руку в их применении, решая как можно больше задач.

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

Найти уравнение линии центров двух окружностей заданных уравнениями

Глава III. Кривые второго порядка

Задачи к главе III

3.1. Составьте уравнение окружности:

а) радиуса R = 4 с центром в начале координат;

б) радиуса R = 4 /₃ с центром в начале координат;

в) радиуса R = 5 с центром в точке С(—4; 2);

г) радиуса R = 7 /₅ с центром в точке D (— 1; — 3 /₅)

3.2. Найдите центр и радиус окружности:

3.3. Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности. Найдите ее центр и радиус:

3.4. Составьте уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат, если окружность касается прямой х = 3.

3.5. Напишите уравнение окружности, центр которой находится в точке С(3; 7), если известно, что она касается оси Ох.

3.6. Напишите уравнение окружности, центр которой находится в точке пересечения прямых 2х + 3у—13 = 0, х + у— 5 = 0, если она касается оси ординат.

3.7. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку N(6 ; 2) с центром в точке С(2; — 1).

3.8. Напишите уравнение окружности, центр которой лежит на оси абсцисс, если окружность касается прямых х =8 и у = 3.

3.9. Напишите уравнение окружности, если известно, что она касается оси абсцисс и прямых х = — 1 и х = 5.

3.10. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку М (2; 1) и касающейся осей координат.

3.11. Определите, как расположена точка М(—2; 1) относительно каждой из окружностей (внутри, вне или на окружности):

а) х 2 + у 2 = 2; б) х 2 + у 2 — 5 = 0;

3.12. Определите, как расположена прямая относительно окружности (пересекает, касается или проходит вне ее), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями;

а) 2х — у — 3 = 0 и х 2 + у 2 — 3х + 2у — 3 = 0;

б) х — 2у — 1= 0 и (х — 4) 2 + (у + 1) 2 = 5;

в) х + 3у + 10 = 0 и х 2 + у 2 = 1

3.13. Найдите уравнение линии центров двух окружностей
(х — 2) 2 + у 2 = 16 и х 2 + (у — 3) 2 = 9.

3.14. Даны точки M₁(2; 3) и М₂(10; 9). Напишите уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок М₁М₂.

3.15. Окружность касается оси ординат в начале координат и проходит через точку
М₁(— 4; 0). Напишите уравнение окружности и найдите точки пересечения ее с биссектрисами координатных углов.

3.16. Напишите уравнение окружности, проходящей через три точки
М₁(0; 0), М₂(3; 0) и М₃(0; 4).

3.17. Напишите уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого принадлежат прямым
х — 3у + 1 = 0, 9х — 2у — 41 = 0, 7х + 4у + 7 = 0.

3.18. Определите координаты точек пересечения прямой у — 7х — 12 = 0 и окружности (х — 1) 2 + (у — 2) 2 = 25.

3.19. Напишите уравнение диаметра окружности х 2 + у 2 = 25, перпендикулярного прямой 4х + 3у — 25 = 0.

3.20. Вычислите кратчайшее расстояние от точки A (8; —6) до окружности
х 2 + у 2 — 4 = 0.

3.21. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки M(4; 1) и N(0; 5), если известно, что центр ее находится на прямой х + у + 3 = 0.

3.22. Найдите уравнение окружности, симметричной окружности
(х— 1) 2 + (у — 2) 2 = 1 относительно прямой у = х — 3.

3.23. Окружность задана уравнениями: x = √ 2 cos t, y = √ 2 sin t 0 2 + у 2 = 25. Запишите параметрические уравнения этой окружности.

3.25. Окружности заданы уравнениями x = 4 cos t, y = 4 sin t 0 2 + у 2 = 25. Найдите точки пересечения данных окружностей.

3.26. Напишите каноническое уравнение эллипса, если фокальное расстояние равно 8 и эллипс проходит через точку (0; —3).

3.27. Напишите каноническое уравнение эллипса, если его фокус находится в точке
(6; 0) и ось ординат эллипс пересекает в точке (0; —3).

3.28. Докажите, что уравнение 7x 2 + 16у 2 — 112 = 0 является уравнением эллипса. Найдите координаты фокусов и фокальное расстояние.

3.29. Напишите каноническое уравнение эллипса, если:

а) его полуоси равны 7 и 3;

б) его полуоси равны 3 и 4;

в) его большая полуось равна 5, а фокусное расстояние равно 6;

г) его малая полуось равна 4, а фокусное расстояние равно 6.

3.30. Для каждого из следующих эллипсов определите его полуоси, координаты вершин и фокусов:

а) 9x 2 + 16у 2 = 144; б) x 2 + 9у 2 = 4;

в) 4x 2 + 9у 2 =1; г) 0,25x 2 + у 2 = 1.

3.31. Дан эллипс 4x 2 + 25у 2 — 100 = 0. Определите ординаты точек эллипса, абсциссы которых равны — 3.

3.32. Ординаты точек окружности х 2 + у 2 = 36 уменьшены в 3 раза по абсолютной величине. Напишите уравнение полученной новой кривой.

3.33. Дан эллипс Найдите его большую полуось, его малую полуось, фокальное расстояние, координаты фокусов и вершин, эксцентриситет.

3.34. Дан эллипс 25x 2 + 49y 2 = 1225. Определите длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет.

3.35. Напишите каноническое уравнение эллипса, если его. большая полуось а = 5, а эксцентриситет ε = 3 /₅.

3.36. Напишите каноническое уравнение эллипса, у которого расстояния от фокуса до концов большой оси равны 1 и 9.

3.37. Земля движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится Солнце. Вычислите эксцентриситет земной орбиты, если ближайшая к Солнцу точка земной орбиты (перигелий) находится на расстоянии 147 млн. км от Солнца, а наиболее удаленная от Солнца точка орбиты (афелий) находится на расстоянии 152 млн. км от него.

3.38. 9 июля 1980 года в Советском Союзе произведен запуск одной ракетой-носителем восьми искусственных спутников Земли «Космос-1192-1199». Вычислите эксцентриситет орбиты этих искусственных спутников, если все восемь спутников движутся по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится центр Земли. Максимальное расстояние от поверхности Земли — 1522 км; минимальное расстояние от поверхности Земли — 1451 км. Средний радиус Земли приближенно равен 6371 км.

3.39. Напишите каноническое уравнение эллипса, если эллипс проходит через точку
М(2; —2), а его большая полуось равна 4.

3.40. Найдите эксцентриситет эллипса

3.41. Найдите каноническое уравнение эллипса, касающегося в концах своей большой оси окружности х 2 + у 2 = 100, если известно, что а = 2b.

3.42. Вычислите площадь четырехугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса 9х 2 + 25y 2 — 225 = 0, а две другие вершины совпадают с концами его малой оси.

3.43. Сторона ромба равна 10. Через две противоположные его вершины проходит эллипс, фокусы которого совпадают с двумя другими вершинами ромба. Напишите уравнение эллипса, приняв диагонали ромба за оси координат, если координаты фокуса (8; 0)

3.44. Определите длину хорды эллипса , делящей угол между осями пополам.

3.45. Дан эллипс 15х 2 + 25y 2 — 375 = 0. Через фокус проведен перпендикуляр к его большой оси. Определите расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.

3.46. Составьте параметрические уравнения эллипса 4х 2 + 9y 2 — 36 = 0.

3.47. Даны параметрические уравнения эллипса

Запишите его каноническое уравнение.

3 48, Найдите уравнения касательных к эллипсу 9х 2 + 25y 2 = 225, угловой коэффициент которых равен 3 /₅

3.49. Найдите точку касания прямой 5х — 2у — 30 = 0 с эллипсом
75х 2 + 24y 2 — 1800 = 0.

3.50. Дан эллипс 25х 2 + 36y 2 — 900 = 0 и окружность х 2 + y 2 = 25. Найдите точки их пересечения.

3.51. Напишите уравнение касательной к эллипсу в точке (3; —3), если его уравнение 36х 2 + 12y 2 — 432 = 0.

3.52. Напишите каноническое уравнение гиперболы, если фокальное расстояние равно 30 и гипербола проходит через точку (—9; 0).

3.53. Напишите каноническое уравнение гиперболы, если ее фокус находится в точке
(— 5√ 2 ; 0) и ось абсцисс гипербола пересекает в точке (6; 0).

3.54. Докажите, что уравнение 11х 2 — 25 y 2 — 275 = 0 является уравнением гиперболы. Найдите координаты фокусов.

3.55. Определите полуоси каждой из следующих гипербол!

a) б) 16х 2 — y 2 = 1;

в) х 2 — 9y 2 = 9; г) 16х 2 — 9y 2 = 1;

д) х 2 — y 2 = 4; е) 9х 2 — 16y 2 = 144.

3.56. Для гиперболы 9х 2 — 16y 2 — 144 = 0 найдите:

б) координаты фокусов;

в) координаты вершин;

г) уравнения асимптот.

3.57. Напишите каноническое уравнение гиперболы, если:

а) ее действительная полуось равна 4, а мнимая — 13;

б) фокальное расстояние равно 16, а мнимая полуось — 6;

в) фокальное расстояние равно 6, а ε = 1,5;

г) действительная полуось равна 8, a ε = 5 /₄;

д) уравнение асимптоты у = 3 /₂ х, а действительная полуось равна 2;

е) мнимая полуось равна 3, а ε = 5 /₄ .

3.58. Напишите каноническое уравнение гиперболы, если расстояния от одной из ее вершин до фокусов равны 9 и 1.

3.59. Дана гипербола напишите уравнения параллельных прямых, ограничивающих часть плоскости, не содержащей ни одной точки гиперболы.

3.60. Найдите асимптоты гиперболы Постройте гиперболу и найдите ее эксцентриситет.

3.61. Найдите асимптоты гиперболы х 2 — y 2 = 9. Постройте гиперболу и вычислите ее эксцентриситет.

3.62. Дано уравнение гиперболы 9х 2 —16 y 2 = 144. Найдите координаты ее фокусов и вершин, эксцентриситет и уравнение асимптот. Сделайте чертеж.

3.63. Составьте каноническое уравнение гиперболы, действительная полуось которой равна 5, а эксцентриситет 1,4.

3.64. Определите, при каком условии асимптоты гиперболы будут взаимно перпендикулярны.

3.65. Составьте каноническое уравнение гиперболы, если уравнение ее асимптоты
у = 1 /₂ х, а один из фокусов находится в точке (—5; 0).

3.66. Напишите каноническое уравнение гиперболы, зная, что асимптоты ее имеют уравнения у = ± 2х, а фокусное расстояние равно 10.

3.67. Дана гипербола Найдите точки пересечения гиперболы с прямыми:

3.68. Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в вершинах эллипса а вершины —в фокусах эллипса.

3.69. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса 9х 2 + 25у 2 — 225 = 0. Составьте уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2.

3.70. Найдите уравнения касательных к гиперболе х 2 — у 2 = 1, угловой коэффициент которых равен 2.

3.71. Эксцентриситет траектории движения первой советской космической ракеты, запущенной в сторону Луны 2 января 1959 г. равен 1,05. Определите вид траектории ракеты.

3.72. Напишите уравнение параболы, если координаты фокуса (4; 0), а уравнение директрисы х + 4 = 0.

3.73. Напишите каноническое уравнение параболы, проходящей через точку (5; 3).

3.74. Дана парабола у 2 = 5х. Найдите точки параболы, расстояние от которых до фокуса равно 4.

3.75. Составьте каноническое уравнение параболы, у которой фокус находится в точке пересечения прямой 2х — 5у — 8 = 0 с осью абсцисс. Постройте эту параболу.

3.76. Составьте каноническое уравнение параболы, проходящей через точку N(9; 6), определите угол , где F — фокус параболы.

3.77. Найдите точки пересечения параболы у 2 = 4х и прямых:
а) х = у; б) х = — у;

3.78. Напишите уравнение касательной к параболе у 2 = 6х в точке (6; 6).

3.79. Напишите уравнение окружности, центр которой совпадает с фокусом параболы
у 2 = 8х, если известно, что окружность касается директрисы параболы. Определите координаты точек пересечения параболы и окружности и постройте чертеж.

3.80. Приведите уравнение эллипса к каноническому виду.

3.81. Дана гипербола ху = 2. Приведите ее уравнение к каноническому виду.

3.82. Приведите уравнение параболы 3у = х 2 + 4х — 11 к каноническому виду.

3.83. Для каждого из следующих эллипсов определите его полуоси, координаты вершин и координаты фокусов:

а) 12х 2 + 5у 2 — 60 = 0;

б) 16х 2 + 9у 2 — 144 = 0;

3.84. Напишите уравнение эллипса, симметрично расположенного относительно осей координат с фокусами на оси Оу, если:

а) его полуоси равны 3 и 4;

б) его полуоси равны 6 и 3;

в) его большая полуось равна 8, а фокусное расстояние равно 6;

г) его малая полуось равна 4, а эксцентриситет ε = 3 /₅;

д) его малая полуось равна 6, а фокусное расстояние равно 8.

3.85. Напишите уравнение эллипса, у которого сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами равно 8. Фокусы лежат на оси ординат и расположены симметрично относительно точки (0; 1).

3.86. Дан эллипс 16х 2 + 7у 2 — 112 = 0. Определите координаты точек эллипса, расстояние которых до фокуса равно 2,5.

3.87. Окружность (x — 5) 2 + (у — 3) 2 = 4 касается эллипса и проходит через его фокусы. Составьте уравнение эллипса, если его большая ось параллельна оси абсцисс.

3.88. Составьте уравнение гиперболы, расположенной симметрично относительно осей координат, с фокусами на оси ординат, если

а) полуоси равны 3 и 6;

в) уравнение асимптоты у = 12 /₅ х, а действительная полуось равна 24;

г) ε = 5 /₃ , а мнимая полуось равна 4.

3.89. Для гиперболы 9х 2 — 16у 2 = — 144 найдите: а) полуоси; б) координаты вершин; в) координаты фокусов; г) уравнения асимптот.

3.90. Напишите уравнение гиперболы, у которой расстояние между вершинами равно 24, а фокусы имеют координаты (— 10; 2) и (16; 2).

3.91. Составьте уравнение гиперболы, если ее полуоси равны 5 и 4, центр имеет координаты (3; 2), а действительная ось параллельна оси абсцисс.

3.92. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если:

а) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси ординат и фокальный параметр равен 4;

б) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси ординат и фокальный параметр равен 6;

в) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс, а ее фокальный параметр равен 3;

г) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс, а ее фокальный параметр равен 5.

3.93. Напишите уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси ординат, если координаты фокуса F(0; —3).

3.94. Фокус параболы имеет координаты F(— 6; 0), а уравнение директрисы х — 6 = 0. Составьте уравнение параболы.

3.95. Найдите уравнение параболы, зная, что ее вершина находится в точке А(—4; 5), а фокус в точке В(—2; 5). Напишите уравнение ее оси и директрисы.

3.96. Дан фокус параболы (— 3; — 4) и уравнение ее директрисы х + 1 = 0. Напишите уравнение параболы и найдите точки пересечения параболы с осями координат.

3.97. Определите координаты точки, которая лежит на параболе х 2 = 8у, если расстояние до этой точки от директрисы равно 4.

3.98. Постройте на одном чертеже следующие параболы:
х 2 = 1 /₂ у х 2 = у , х 2 = 2у.

3.99. Фокус параболы лежит в точке F (0; 1 /₄) , директриса параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат отрезок, длина которого равна 1 /₄ . Напишите уравнение параболы.

3.100. Парабола проходит через точки A(0; 6) и В (4; 0) симметрично относительно оси абсцисс. Напишите уравнение параболы и постройте ее.

3.101. Составьте уравнение параболы и напишите уравнение ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой у = х и окружности х 2 + y 2 — 10у = 0 и симметрична относительно оси ординат. Постройте окружность, прямую и параболу.

3.102. Напишите уравнение касательной к параболе х 2 = 6у в точке (2; 2 /₃).

3.103. Канат подвесного моста имеет форму параболы (рис.127). Требуется составить ее уравнение относительно указанных на рисунке осей координат, если прогиб каната
| OA | = 10, а длина моста | ВС | = 60.

3.104. Какое множество на плоскости задано следующими уравнениями второго порядка:

a) 3х 2 + 4y 2 = 12; б) 3х 2 — 4y 2 = 12;

д) 25х 2 — 9y 2 = 0; е) 5y 2 — 125 = 0;

ж) 36х 2 + 49y 2 = 0; з) х 2 + (у — 2) 2 = 7;

Видео:УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать

1.6. Первая основная задача аналитической геометрии на плоскости

Основных задач аналитической геометрии на плоскости две. Первая из них: Для заданной линии найти ее уравнение. Вторая задача – обратная: По заданному уравнению линии построить линию.

Начнем с рассмотрения первой, более трудной, задачи. Трудность решения этой задачи очевидна: ведь нужно найти математическое уравнение, которому будут удовлетворять координаты любой точки данной линии, и только они. Для достаточно сложных линий (например, для линии, образованной свободным движением руки) точное решение этой задачи вообще оказывается невозможным – только приближенное. Однако для не слишком сложных и, главное, четко описанных линий их уравнения найти можно. Мы, например, без труда сделали это в предыдущем параграфе для линий, изображенных на рис. 1.12 и 1.13. Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 1. Найти уравнения вертикальной прямой L1 и горизонтальной прямой L2, изображенных на рис. 1.14.

Решение. Уравнения этих прямых очевидны: X= A – уравнение прямой L1, Y = B – уравнение прямой L2. Действительно, этим уравнениям удовлетворяют координаты любой точки соответствующих прямых, и только они. В частности, Y = 0 – это уравнение оси Ox, а X = 0 – уравнение оси Oy.

Пример 2. Найти уравнение прямой L, изображенной на рис. 1.15.

Решение. Как известно из школьного курса математики, наклонная прямая – это график линейной функции вида Y = Kx + B. Значит, уравнение данной прямой L имеет вид Y = Kx + B. Нам только нужно найти параметры K и B этого уравнения.

Используем рис. 1.15. Так как точки М1(-2; 0) и М2 (0; 1) лежат на прямой L, то их координаты (X; Y) должны удовлетворять уравнению прямой. Подставляя эти координаты в уравнение прямой Y = Kx + B, получим систему из двух равенств:

Решая ее, находим: ; B = 1. Следовательно, уравнение данной прямой L таково: . Или, в неявной форме, .

Пример 3. Найти уравнение окружности L с центром в заданной точке и заданным радиусом R (рис. 1.16).

Решение. Для любой точки М(X; Y) окружности L, и только для точек этой окружности, имеет место равенство:

Реализуя это равенство с помощью формулы (3.1) расстояния между двумя точками, получим:

.

Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим равносильное равенство:

. (5.1)

Это и есть искомое уравнение указанной окружности L.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат (; ), то ее уравнение примет вид:

Это уравнение, кстати, совпадает с уравнением (4.11), полученным ранее другим путем.

Пример 4. Найти уравнение линии, состоящей из точек, равноудаленных от оси Ох и от точки .

Решение. Пусть М(X; Y) – произвольная точка указанной линии, а N (x; 0) – проекция точки М(X; Y) на ось Ох (рис. 1.17). По условию задачи для любой точки М(X; Y) линии и только для точек этой линии. Если использовать формулу (3.1) расстояния между двумя точками, то это равенство примет вид:

После возведения в квадрат обеих частей и очевидных упрощений оно примет вид: . Это и есть уравнение указанной в задаче линии. Судя по этому уравнению, эта линия – парабола Y = X2, поднятая на вдоль оси Оу (рис. 1.18).

А теперь рассмотрим вопрос о Приближенных уравнениях линий. Чаще всего этот вопрос возникает, когда речь идет о линиях, полученных в результате экспериментов.

А именно, пусть экспериментальным путем изучается зависимость Y = F(X) между двумя величинами. Например, зависимость урожайности культуры Y от количества внесенных под нее удобрений X; пройденного пути Y от времени движения X; прибыли предприятия Y от величины затрат X и т. д. В ходе эксперимента для ряда значений X определяются соответствующие значения Y, что приводит к экспериментальной таблице вида

Данные этой таблицы можно изобразить и графически в виде системы экспериментальных точек М1 (X1; Y1), М2 (X2; Y2), … МN (Xn; Yn) (рис. 1.19). По этим экспериментальным данным нужно получить искомое уравнение Y = F(X), связывающее Y с X. Такое уравнение называется Эмпирической формулой, а сама задача получения такой формулы называется Задачей построения эмпирической формулы.

В этой задаче фактически идет речь о нахождении уравнения Y = F(X) линии L по точкам М1, М2, … МN, которые, вообще говоря, на этой линии не лежат, так как они содержат в себе неизбежные погрешности эксперимента и, кроме того, содержат результат влияния различных неучтенных факторов (помех). Поэтому искомая линия L может отличаться от линии L*, непосредственно соединяющей экспериментальные точки. В частности, линия L* может иметь весьма причудливую форму, в то время как сама линия L будет простой и гладкой (например, прямой). Линия L должна как бы сглаживать линию L*, устраняя ее незначительные перепады, связанные с неточным положением экспериментальных точек.

При нахождении эмпирической формулы Y = F(X), а значит, и соответствующей ей линии L, приходится решать две частные задачи.

Первая из них – выбор Типа эмпирической формулы. То есть выбор того класса функций, к которому принадлежит искомая функция Y = F(X). Во многих случаях класс функций, из которого подбирается эмпирическая формула, подсказывается теоретическими представлениями о характере изучаемой зависимости (зависимость линейная вида Y = Kx или Y = Kx + B, квадратичная вида , обратно пропорциональная вида , показательная вида и т. д.). Или, если указанные теоретические представления отсутствуют, то класс функций для эмпирической формулы подбирают по характеру расположения экспериментальных точек.

После того, как вид эмпирической формулы выбран, то есть первая частная задача решена, остается определить Наилучшие значения входящих в эту формулу числовых коэффициентов. Эта задача (вторая частная задача) уже более легкая, ибо решается стандартным методом – Методом наименьших квадратов. В соответствии с этим методом наилучшими значениями параметров эмпирической формулы считаются те, при которых сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от эмпирической кривой Y = F(X) была бы минимальной.

Вручную реализовывать метод наименьших квадратов трудоемко, но это и не требуется – это обычно делается по стандартным программам на ЭВМ.

Впрочем, в простейшем (и наиболее часто встречающимся на практике) случае, когда экспериментальные точки располагаются приблизительно по прямой, можно обойтись и без метода наименьших квадратов – можно все сделать вручную, графическим путем.

В этом случае эмпирическая формула Y = F(X) строится, естественно, в виде уравнения прямой Y = Kx + B. Параметры и B этого уравнения имеют наглядный геометрический смысл (рис.1.20), поэтому могут быть найдены из чертежа. Сама прямая L, сглаживающая экспериментальные точки, строится на глаз, вручную. Этот графический путь почти исключает вычисления, он нагляден, и при достаточном навыке дает результаты ненамного худшие, чем метод наименьших квадратов.

Кстати, этим путем можно построить и достаточно хорошие эмпирические формулы для ряда экспериментальных кривых – параболы, гиперболы и т. д., но на этом останавливаться не будем.

1. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку .

2. Написать уравнение линии, по которой движется точка М(x; y), равноудаленная от начала координат и от точки A(-4; 2). Лежат ли на этой линии точки B(-2;1), C(2;3), D(1;7)?

3. Найти уравнение линии, по которой движется точка, оставаясь постоянно вдвое ближе к оси Ох, чем к оси Оу. Построить линию по ее уравнению.

Ответ: – крест из прямых и .

4. Найти уравнение линии, состоящей из таких точек, что разность расстояний от каждой из них до точек F1(-2;-2) и F2(2;2) равна 4. Построить линию по ее уравнению.

Ответ: – гипербола.

5. По данным эксперимента, представленным в таблице, графическим путем подобрать эмпирическую формулу вида Y = Kx + B.

📺 Видео

№578. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: а) х2+y2+z2 = 49; б) (x — 3)2Скачать

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

№959. Начертите окружность, заданную уравнением: а) х2+у2= 9Скачать

Составить уравнение окружности. Геометрия. Задачи по рисункам.Скачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

№968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).Скачать

9 класс, 5 урок, Уравнение линии на плоскостиСкачать

УРАВНЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ И ПРЯМОЙ 9 класс геометрияСкачать

№963. На окружности, заданной уравнением х2+у2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой -4Скачать

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ на плоскости 8 и 9 классСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать