Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

α — угол при основании

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

Содержание
  1. Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник онлайн
  2. 1. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона
  3. 2. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании
  4. 3. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании
  5. 4. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота
  6. 5. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота
  7. Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  8. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  9. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  10. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  11. 🎥 Видео

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

1. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона

Пусть известны известны основание a и боковая сторона b равнобедренного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной окружности через основание и боковую сторону.

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны a, b, c вычисляется из следующей формулы:

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике(1)

где полупериметр p вычисляется из формулы:

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике.(2)

Учитывая, что у равнобедренного треугольника боковые стороны равны (( small b=c )), имеем:

( small p=frac ) ( small =frac, )(3)
( small p-a=frac-a ) ( small =frac, )(4)
( small p-b=p-c=frac-b ) ( small =frac. )(5)

Подставляя (3)-(5) в (1), получим формулу вычисления радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике,
Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике.(6)

Пример 1. Известны основание a=13 и боковая сторона b=7 равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a,; b ) в (6):

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Ответ: Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

2. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании

Пусть известны основание a и прилежащий к ней угол β равнобедренного треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Из центра вписанной окружности проведем перпендикуляры OH и OE к сторонам a=BC и b=AC, соответственно (r=OH=OE). Соединим точки C и O. Полученные прямоугольные треугольники OCE и OCH равны по гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Тогда ( small angle OCE=angle OCH=frac. ) Для прямоугольного треугольника OCH можно записать:

( small frac=frac<large frac>=mathrmfrac .)

Откуда получим формулу радиуса вписанной в треугольник окружности:

( small r=frac cdot mathrmfrac .)(8)
( small r=frac cdot frac .)(9)

Пример 2. Известны основание ( small a=15 ) и ( small beta=30° ) равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанный в треугольник воспользуемся формулой (8) (или (9)). Подставим значения ( small a=15, ; beta=30° ) в (8):

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Ответ: Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Видео:Вариант 55, № 8. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Вариант 55, № 8. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника

3. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании

Пусть известны боковая сторона b и угол при основании β равнобедренного треугольника (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Высота равнобедренного треугольника AH делит равнобедренный треугольник ABC на две равные части. Тогда для треугольника AHC справедливо равенство:

( small frac=frac<large frac>= cos beta .)
( small a=2b cdot cos beta .)(10)

Подставляя (10) в (8), получим формулу вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

( small r=frac cdot mathrmfrac=frac cdot mathrmfrac ) ( small =b cos beta cdot mathrmfrac )
( small r=b cdot cos beta cdot mathrmfrac )(11)

Учитывая формулы половинного угла тригонометрических функций, формулу (11) можно записать и так:

( small r=b cdot frac )(12)

Пример 3. Известны боковая сторона равнобедренного треугольника: ( small b=9 ) и угол при основании β=35°. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11) (или (12)).

Подставим значения ( small b=9 ,; beta=35° ) в (11):

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Ответ: Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Видео:Геометрия Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 смСкачать

Геометрия Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 см

4. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота

Пусть известны боковая сторона b и высота h равнобедренного треугольника (Рис.4). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Формула радиуса вписанной окружности через площадь и полупериметр имеет следующий вид (см. статью на странице Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн) :

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике,(13)
Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике(14)

Так как треугольник AHC прямоугольный, то из Теоремы Пифагора имеем:

( small left( fracright)^2=b^2-h^2 )
( small a=2 cdot sqrt )(15)

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

( small S=frac cdot a cdot h. )(16)

Подставим (15) в (16):

( small S=h cdot sqrt )(17)

Учитывая, что для равнобедренного треугольника b=c, а также равенство (15), получим:

( small p=frac ) ( small =frac ) ( small =frac+b )( small =b+ sqrt )(18)

Подставляя, наконец, (17) и (18) в (13), получим формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

( small r=frac ) ( small =frac<large h cdot sqrt><large b+ sqrt> )(19)

Пример 4. Боковая сторона и высота равнобедренного треугольника равны ( small b=7 ,) ( small h=5, ) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (19). Подставим значения ( small b=7 ,) ( small h=5 ) в (19):

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Ответ: Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Видео:Нахождение радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника.Скачать

Нахождение радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника.

5. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота

Пусть известны основание a и высота h равнобедренного треугольника (Рис.5). Найдем формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности.

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Из формулы (15) найдем b:

( small b^2-h^2=left( frac right)^2 )
( small b^2= frac +h^2 )
( small b= frac cdot sqrt)(20)

Подставляя (20) в (19), получим формулу радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник:

( small r=frac<large h cdot sqrt><large b+ sqrt>) ( small =frac<large h cdot sqrt<frac+h^2-h^2>><large frac cdot sqrt+ sqrt<frac+h^2-h^2>>) ( small = large frac< h cdot frac>< frac cdot sqrt+frac >)
( small r=large frac<a+ sqrt>)(21)

Пример 5. Основание и высота равнобедренного треугольника равны ( small a=7 ,) ( small h=9, ) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (21). Подставим значения ( small a=7 ,) ( small h=9 ) в (21):

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Ответ: Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольникеСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольникеФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольникеВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике.

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникКак найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике
Равнобедренный треугольникКак найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике
Равносторонний треугольникКак найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике
Прямоугольный треугольникКак найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике.

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике.

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Произвольный треугольник
Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике
Равнобедренный треугольник
Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике
Равносторонний треугольник
Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике
Прямоугольный треугольник
Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике
Произвольный треугольник
Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике.

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике.

Равнобедренный треугольникКак найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Равносторонний треугольникКак найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникКак найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Видео:Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать

Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике– полупериметр (рис. 6).

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

с помощью формулы Герона получаем:

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Как найти радиус окружности в равнобедренном треугольнике

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

🎥 Видео

Геометрия Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+√2. Найдите радиус окружностиСкачать

Геометрия Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+√2. Найдите радиус окружности

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Задача 6 №27923 ЕГЭ по математике. Урок 140Скачать

Задача 6 №27923 ЕГЭ по математике. Урок 140

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математикаСкачать

ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математика

№689. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 смСкачать

№689. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

ЕГЭ Математика Задание 6#27935Скачать

ЕГЭ Математика Задание 6#27935

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.
Поделиться или сохранить к себе: