- Глава 46. Поверхности второго порядка
- Онлайн калькулятор. Вычисление угла между векторами
- Калькулятор для вычисления угла между векторами
- Инструкция использования калькулятора для вычисления угла между векторами
- Ввод даных в калькулятор для вычисления угла между векторами
- Дополнительные возможности калькулятора для вычисления угла между векторами
- Теория. Вычисление угла между векторами
- Нахождение угла между векторами
- Нахождение угла между векторами
- 🔥 Видео
Видео:Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать
Глава 46. Поверхности второго порядка
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением
(1).
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c суть полуоси эллипсоида (рис. 1). Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c — сжатым. В случае, когда a=b=c , эллипсоид представляет собой сферу.
Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями
, (2)
. (3)
Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется однополостным (рис. 2); гиперболоид, определяемый уравнением (3), — двуполостным (рис. 3); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (2), только первые из них (а и b ) показаны на рис. 2. В случае двуполостного гиперболоида, заданного уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на рис. 3. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при a=b являются поверхностями вращения.
Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями
, (4)
, (5)
где p и q — положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (рис. 4); параболоид, определяемый уравнением (5), — гиперболическим (рис. 5). Уравнения (4) и (5) называют каноническими уравнениями соответствующих параболоидов. В случае, когда p=q , параболоид, определяемый уравнением (4), является поверхностью вращения (вокруг Oz).
Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется равномерным сжатием (или равномерным растяжением).
Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой . Зададим, кроме того, некоторое положительное число q . Пусть М — произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости , — основание перпендикуляра, опущенного на плоскость из точки М. Переместим точку М по прямой в новое положение так, чтобы имело место равенство
и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости , где она была первоначально (рис. 6). Точно так же мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на плоскости ; точки, которые расположены на плоскости , оставим на своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключением тех, что лежат на плоскости , переместятся; при этом расстояние от каждой точки до плоскости изменится в некоторое определенное число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас перемещение точек пространства называется его равномерным сжатием к плоскости ; число q носит название коэффициента сжатия.
Пусть дана некоторая поверхность F ; при равномерном сжатии пространства точки, которые ее составляют, переместятся и в новых положениях сотавят поверхность F ’. Будем говорить, что поверхность F ’ получено из F в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения).
ПРИМЕР. Доказать, что произвольный трехосный эллипсоид
может быть получен из сферы
в результате двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям: к плоскости Oxy с коэффициентом сжатия и к плоскости Oxz с коэффициентом сжатия .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть производится равномерное сжатие пространства к плоскости Oxy с коэффициентом и пусть — точка, в которую переходит при этом точка . Выразим координаты x’, y’, z ’ точки М’ через координаты x, y, z точки М. Так как прямая MM ’ перпендикулярна к плоскости Oxy , то x’=x, y’=y . С другой стороны, так как расстояние от точки М’ до плоскости Oxy равно расстоянию от точки М до этой плоскости, умноженному на число , то .
Таким образом, мы получаем искомые выражения:
, , (6)
, , (7)
Предположим, что M(x; y; z ) — произвольная точка сферы
.
Заменим здесь x, y, z их выражениями (7); получим
,
.
Следовательно, точка M’(x’; y’; z ’) лежит на эллипсоиде вращения. Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к плоскости Oxz по формулам
, , ;
тогда получим трехосный эллипсоид и именно тот, уравнение которого дано в условии задачи.
Отметим еще, что однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид суть линейчатые поверхности, то есть они состоят из прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей.
имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:
, ;
, ,
где и — некоторые числа, не равные одновременно нулю. Гиперболический параболоид
также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями
, ;
, .
Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересекает некоторую определенную линию L . Точка S называется вершиной конуса; линия L — направляющей.
Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при услвоии, что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную линию L (направляющую).
Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать
Онлайн калькулятор. Вычисление угла между векторами
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти угол между двумя векторами (косинус угла между векторами) для плоских и пространственных задач.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление угла между векторами и закрепить пройденный материал.
Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать
Калькулятор для вычисления угла между векторами
Инструкция использования калькулятора для вычисления угла между векторами
Ввод даных в калькулятор для вычисления угла между векторами
В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора для вычисления угла между векторами
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.
Видео:Как найти угол наклона ствола к горизонту, при котором площадь под траекторией снаряда максимальна?Скачать
Теория. Вычисление угла между векторами
Угол между двумя векторами a и b можно найти использовав следующую формулу:
cos α = | a · b |
| a || b | |
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Видео:Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать
Нахождение угла между векторами
Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →
Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .
Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.
Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.
Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать
Нахождение угла между векторами
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.
Решение
Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,
Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4
Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:
cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.
Решение
- Для решения задачи можем сразу применить формулу:
cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70
- Также можно определить угол по формуле:
cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,
но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70
Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .
Решение
Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )
Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13
Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13
Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:
A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,
b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:
🔥 Видео
Как находить угол между векторамиСкачать
11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать
§42 Нормальное урaвнение плоскостиСкачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
21. Угол между прямой и плоскостьюСкачать
Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
9 класс, 17 урок, Угол между векторамиСкачать
Косинус угла между векторами. Коллинеарность векторовСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать
5. Нормальное уравнение плоскости выводСкачать
#3 Как найти угол между векторами?Скачать
10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Угол между векторамиСкачать