Найти угол между вектором и осью

Онлайн калькулятор. Вычисление угла между векторами

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти угол между двумя векторами (косинус угла между векторами) для плоских и пространственных задач.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление угла между векторами и закрепить пройденный материал.

Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось

Калькулятор для вычисления угла между векторами

Инструкция использования калькулятора для вычисления угла между векторами

Ввод даных в калькулятор для вычисления угла между векторами

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления угла между векторами

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Теория. Вычисление угла между векторами

Найти угол между вектором и осью

Угол между двумя векторами a и b можно найти использовав следующую формулу:

cos α =a · b
| a || b |

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Найти угол между вектором и осью

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

  1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

  1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Видео:Урок 9. Проекции вектора на координатные осиСкачать

Урок 9. Проекции вектора на координатные оси

Проекция вектора на ось

Вектор может отбрасывать тень (проекцию) на какую-нибудь ось

Найти угол между вектором и осью

Если:

  • вектор параллелен оси, то «его проекция = его длина», пример для вектора ( vec );
  • вектор перпендикулярен оси, то его проекция равна нулю, пример для вектора ( vec );
  • проекция направлена против оси, то её записывают со знаком «-», пример для вектора ( vec ).
  • чем больше вектор наклоняется к оси, тем больше его проекция на эту ось. Сравните проекции векторов ( vec ) и ( vec ).

Примечание:

Длина вектора – это положительная величина, а проекция вектора может быть отрицательной

Видео:Найти угол между лучом ОА и осью ОХ, если А(-1,1)9 класс геометрияСкачать

Найти угол между лучом ОА и осью ОХ, если А(-1,1)9 класс геометрия

Как разложить вектор на проекции

Мы уже находили длину и направление вектора по его координатам.

Теперь решим обратную задачу: пользуясь длиной и направлением вектора, найдем его координаты.

На плоскости (две оси) легко разложить вектор на проекции, если известны:

  • длина вектора и
  • угол между вектором и какой-либо осью (угол обозначается дугой).

Алгоритм действий для разложения вектора на проекции

  1. Проводим прямоугольник так, чтобы вектор стал его диагональю.
  2. Диагональ разделит прямоугольник на треугольники. Эти два треугольника прямоугольные.
  3. Выберем треугольник, в котором угол отмечен дугой.
  4. Дуга одним своим концом всегда касается гипотенузы, а вторым концом – одного из катетов.

Важно! Вектор, который мы раскладываем, всегда является гипотенузой.

Найти угол между вектором и осью

Формулы разложения вектора на проекции

Формулы разложения легко запомнить с помощью фразы:

Гипотенузу умножаем на косинус (угла), получаем катет, который касается (дуги).

На языке математики эта фраза запишется так:

[ |vec| cdot cos(alpha) = m_ ]

Катет ( m_ ) – это «x» координата вектора.

Если длину вектора умножим на синус, то получим второй катет:

[ |vec| cdot sin(alpha) = m_ ]

Катет ( m_ ) – это «y» координата вектора.

Обе формулы запишем в виде системы:

[ large boxed <beginleft|vecright| cdot cos(alpha) = m_ \ left|vecright| cdot sin(alpha) = m_ end> ]

Величина ( |vec| ) — это длина вектора ( vec )

📸 Видео

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

Как находить угол между векторамиСкачать

Как находить угол между векторами

Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Нахождение угла между векторами  через координаты. 9 класс.

найти угол между единичными векторамиСкачать

найти угол между единичными векторами

Геометрия 9 класс (Урок№18 - Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№18 - Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.)

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси.  9 класс.

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

9 класс, 17 урок, Угол между векторамиСкачать

9 класс, 17 урок, Угол между векторами

11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать

11 класс, 5 урок, Угол между векторами

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Векторные величины Проекция вектора на осьСкачать

Векторные величины  Проекция вектора на ось

21. Угол между прямой и плоскостьюСкачать

21. Угол между прямой и плоскостью

100 Угол между векторамиСкачать

100 Угол между векторами
Поделиться или сохранить к себе: