Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →
Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .
Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.
Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.
- Нахождение угла между векторами
- Онлайн калькулятор. Вычисление угла между векторами
- Калькулятор для вычисления угла между векторами
- Инструкция использования калькулятора для вычисления угла между векторами
- Ввод даных в калькулятор для вычисления угла между векторами
- Дополнительные возможности калькулятора для вычисления угла между векторами
- Теория. Вычисление угла между векторами
- Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
- 💥 Видео
Видео:Как находить угол между векторамиСкачать
Нахождение угла между векторами
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.
Решение
Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,
Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4
Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:
cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.
Решение
- Для решения задачи можем сразу применить формулу:
cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70
- Также можно определить угол по формуле:
cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,
но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70
Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .
Решение
Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )
Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13
Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13
Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:
A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,
b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:
Видео:найти угол между единичными векторамиСкачать
Онлайн калькулятор. Вычисление угла между векторами
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти угол между двумя векторами (косинус угла между векторами) для плоских и пространственных задач.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление угла между векторами и закрепить пройденный материал.
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Калькулятор для вычисления угла между векторами
Инструкция использования калькулятора для вычисления угла между векторами
Ввод даных в калькулятор для вычисления угла между векторами
В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора для вычисления угла между векторами
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.
Видео:11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать
Теория. Вычисление угла между векторами
Угол между двумя векторами a и b можно найти использовав следующую формулу:
cos α = | a · b |
| a || b | |
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
Скалярным произведением (или внутренним произведением) 2 векторов есть операция с двумя
векторами, итогом чего является число (скаляр), которое не зависит от системы координат и которое
характеризует длины векторов-сомножителей и угол между векторами.
Также скалярным произведением двух векторов называется число, которое
равно произведению модулей 2 векторов на косинус угла между векторами.
Скалярное произведение векторов формула:
Этой операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта
операция зачастую рассматривается как коммутативная и линейная по каждому из сомножителей.
Скалярное произведение векторов ,, обозначается так: (порядок записи сомножителей не имеет
значения, т.е. ).
Еще используются такие обозначения: , , .
В основном имеется ввиду, что скалярное произведение определено положительно, т.е.
при каждом . Если этого не иметь ввиду, то произведение зовется индефинитным
(неопределенным).
Если хотя бы один из 2 векторов или равен нулевому вектору (равен нулю), то .
Свойства скалярного произведения векторов.
1. — симметричность.
2. обозначается и зовется скалярный квадрат.
3. Если , то
4. Если и и и , то . Обратное утверждение тоже соответствует
5.
6.
7.
Если же векторы и заданы своими координатами: , , то: скалярное
произведение векторов, формула:
Формула для определения длины вектора:
Длина (модуль) вектора, с известными координатами, равен квадратному корню из суммы квадратов
Длина вектора , заданного своими координатами, равна:
Как определить угол между 2 векторами:
Как найти угол между двумя векторами , , формула:
Ежели угол меж двумя векторами острый, то их скалярное произведение имеет положительный знак; если
же угол между двумя векторами тупой, то их скалярное произведение имеет отрицательный знак.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы
ортогональны.
Альтернативное определение скалярного произведения векторов (вычисление скалярного
произведения двух векторов, заданных своими координатами).
Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца очень просто. Давайте
рассмотрим этот вопрос:
Пусть есть вектор AB, точка А – это начало вектора, а В — конец, и координаты этих точек приведены ниже:
Исходя из этого, координаты вектора АВ:
Точно так же и в двухмерном пространстве – разница в отсутствии третьих координат.
Итак, предположим, даны два вектора, которые заданы набором координат своих точек:
а) В двухмерном пространстве (плоскость):
Значит, скалярное произведение этих векторов вычислим по формуле:
б) В трехмерном пространстве:
Как и в двухмерном случае, скалярное произведение двух векторов вычисляем по формуле:
💥 Видео
Угол между векторами. 9 класс.Скачать
Единичный векторСкачать
Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать
Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать
Новое задание профиля №2. Все, что нужно знать о векторах | Аня МатеманяСкачать
105. Угол между векторамиСкачать
Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать
9 класс, 17 урок, Угол между векторамиСкачать
Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать
✓ Векторы. Новая задача в ЕГЭ | Задание 2. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать
Векторное произведение векторов | Высшая математикаСкачать
2 37 Нахождение орта вектораСкачать
2. Векторы в параллелограмме Решение задач №2Скачать
Косинус угла между векторами. Коллинеарность векторовСкачать