Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Стороны равностороннего треугольника

Треугольник, у которого все три стороны равны, называется равносторонним. Периметр такого треугольника равен стороне (а) умноженной на 3 (количество сторон): : P = 3a.
Кроме сторон, у такого треугольника одинаковы и все углы, по 60 градусов каждый, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180 градусам. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его противоположную сторону, является его высотой. Она делит треугольник на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, у которых гипотенузой будет сторона равностороннего треугольника (а), одним из катетов — высота (h), а другим катетом — половина его основания или (а/2), т.к в треугольнике все стороны равны.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (в нашем случае она является и стороной равностороннего треугольника) равен сумме квадрата высоты h и квадрата половины основания (половины стороны а):

a 2 = h 2 + a 2 /2 2 ,

где а — сторона, h — высота равностороннего треугольника.
После проведенных преобразований, выводим формулу для расчета стороны равностороннего треугольника по его высоте:

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике
Т.е. сторона равностороннего треугольника (а) равна удвоенной высоте (2h) на корень квадратный из трех.

Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Все формулы для треугольника

Видео:Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать

Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать

Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Формулы для катета, ( b ):

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Видео:Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Геометрия  Равносторонний треугольник

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Формулы длины равных сторон , (a):

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Видео:ОГЭ 16🔴Скачать

ОГЭ 16🔴

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Видео:Высота равностороннего треугольника равна 13√3 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Высота равностороннего треугольника равна 13√3 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Видео:Площадь равностороннего треугольникаСкачать

Площадь равностороннего треугольника

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:№488. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см;Скачать

№488. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см;

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

2. Радиус вписанной окружности:
Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

3. Радиус описанной окружности:
Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

4. Периметр:
Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

5. Площадь:
Нахождение сторон в равностороннем треугольнике

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

🎦 Видео

ПЛОЩАДЬ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА за 20 секунд!Скачать

ПЛОЩАДЬ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА за 20 секунд!

№107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметрСкачать

№107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Задание 9 ОГЭ от ФИПИСкачать

Задание 9 ОГЭ от ФИПИ

ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

Нахождение сторон равнобедренного треугольникаСкачать

Нахождение сторон равнобедренного треугольника

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Как построить равнобедренный или равносторонний треугольник по клеткам.Скачать

Как построить равнобедренный или равносторонний треугольник по клеткам.

Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.

№238. Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания,Скачать

№238. Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания,

Геометрия Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной aСкачать

Геометрия Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной a
Поделиться или сохранить к себе: