Найти сумму координат вектора в базисе (5 видео)

Как найти координаты вектора в базисе

Решение:
Записываем матрицу перехода А:

и находим ее определитель
0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f₁ , f₂ , f₃ линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:

Обратная матрица А -1

Находим координаты вектора х относительно нового базиса.

Пример №1 . Даны векторы a, b, c и d . Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c

Пример №2 . Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:

Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃, х»₁ = b₁₁x’₁ + b₁₂x’₂ + b₁₃x’₃,
х’₂ = a21x1 + a22x2 + a23x3, х»₂ = b₂₁x’1 + b₂₂x’₂ + b₂₃x’₃,
х’₃ = a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃, х»₃ = b₃₁x’₁ + b₃₂x’₂ + b₃₃x’₃,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х»₁, x»₂, x»₃ через х₁, х₂, х₃.
х’₁ = 4x₁ + 3x₂ + 5x₃, х»₁ = — x’₁ + 3x’₂ — 2x’₃,
х’₂ = 6x₁ + 7x₂ + x₃, х»₂ = — 4x’₁ + x’₂ + 2x’₃,
х’₃ = 9x₁ + x₂ + 8x₃, х»₃ = 3x’₁ — 4x’₂ + 5x’₃,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:

A =

4	3	5
6	7	1
9	1	8

B =

-1	3	-2
-4	1	2
3	-4	5

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 — 1*1) — 6*(3*8 — 1*5) + 9*(3*1 — 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .

A -1 = -1/182

55	-19	-32
-39	-13	26
-57	23	10

Матрицу Х ищем по формуле:

X = A -1 ·B = -1/182

55	-19	-32
-39	-13	26
-57	23	10

-1	3	-2
-4	1	2
3	-4	5

75 /₁₈₂	-1 46 /₉₁	1 9 /₁₃
-13 /₁₄	1 2 /₇	-1
5 /₁₈₂	1 3 /₉₁	-1 2 /₁₃

Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e ₁= AB , e ₂= AC , e ₃= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e ₁, e ₂, e ₃)

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид
Решим полученную систему уравнений.

Содержание

Онлайн калькулятор. Разложение вектора по базису.
Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам
Инструкция использования калькулятора для разложение вектора по базисным векторам
Ввод данных в калькулятор для разложение вектора по базисным векторам
Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам
Теория. Разложение вектора по базису
Базис на прямой и координата вектора
Координаты суммы векторов и произведения вектора на число
📽️ Видео

Видео:Координаты в новом базисеСкачать

Онлайн калькулятор. Разложение вектора по базису.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто разложить вектор по базисным векторам.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденый материал.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

Выберите размерность пространства

Количество координат в векторе:

Введите значение базисных векторов:

Введите значение вектора, который необходимо разложить по базису:

Инструкция использования калькулятора для разложение вектора по базисным векторам

Для того чтобы разложить вектор по базисным векторам онлайн:
выберите необходимую вам размерность пространства (количество координат в векторе);
введите значения базисных векторов;
введите значения вектора который нужно разложить по базису;
Нажмите кнопку «Разложить вектор по базису» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для разложение вектора по базисным векторам

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам

Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Теория. Разложение вектора по базису

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a₁ , . a_n , необходимо найти коэффициенты x ₁, . x_n , при которых линейная комбинация векторов a₁ , . a_n равна вектору b .

Коэффициенты x ₁, . x_n будут координатами вектора b в базисе a₁ , . a_n .

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Базис на прямой и координата вектора

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой (рис. 1.28). Этот вектор называется базисным.

Пусть на прямой задан базис . Для любого вектора , коллинеарного данной прямой, определено отношение , причем число определяется однозначно (см. свойство 1 в разд.1.4). Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1.3 (о разложении вектора по базису на прямой) . Любой вектор , коллинеарный прямой, может быть разложен по базису на этой прямой, т.е. представлен в виде

где число число определяется однозначно.

Коэффициент в разложении (1.2) называется координатой вектора относительно базиса . Поскольку векторы и коллинеарны, то координата однозначно определяется их отношением (см. свойство 1 в разд. 1.4): . Например, если вектор представляется в виде , то — его координата относительно базиса .

Все ненулевые векторы, одинаково направленные с вектором , имеют положительные координаты, а противоположно направленные — отрицательные. Координата нулевого вектора равна нулю.

1. Базисный вектор на прямой задает направление на этой прямой, а его длина определяет масштабный отрезок. Таким образом, задав базис на прямой, получаем ось.

2. В формулировке теоремы 1.3 прямую можно рассматривать как ось, задаваемую вектором .

Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Координаты суммы векторов и произведения вектора на число

Нетрудно установить следующие свойства для векторов, коллинеарных данной оси.

1. Равные векторы имеют равные координаты (в одном и том же базисе).

2. Координата суммы векторов равна сумме координат слагаемых.

3. Координата произведения вектора на число равна произведению этого числа на координату вектора.

4. Координата линейной комбинации векторов равна линейной комбинации координат векторов.

5. Отношение ненулевых векторов, коллинеарных прямой, равно отношению их координат, определенных относительно любого базиса на этой прямой.

Первое свойство следует из первого свойства отношений коллинеарных векторов (см. разд. 1.4).

Докажем второе свойство. Пусть векторы и — коллинеарны оси, задаваемой вектором . Пусть — координаты векторов и соответственно. Тогда, складывая равенства и , получаем

что равносильно равенству . Третье свойство доказывается аналогично.

Четвертое свойство, которое следует из второго и третьего, можно записать в следующем виде:

Пятое свойство следует из свойства 2,г отношений коллинеарных векторов (см. разд. 1.4). Действительно, пусть и — ненулевые векторы, коллинеарные оси, задаваемой вектором . Тогда свойство 5 выражается равенством которое справедливо для любых коллинеарных ненулевых векторов (см. разд. 1.4).

Пример 1.8. Даны векторы и , параллельные оси, задаваемой вектором . Требуется найти координаты векторов относительно базиса , а также координату вектора относительно базиса .

Решение. Используя свойства коллинеарных векторов, находим разложения по базису :

По свойству 5 находим . Заметим, что относительно базиса вектор имеет координату 2, а относительно базиса — координату, равную , т.е. вектор имеет неравные координаты относительно разных базисов.