Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Свойства касательной к окружности
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
Восемь способов построения касательной к окружности.
9 биолого-химический класс
заместитель директора по учебной работе,
Высшее проявление духа – это разум.
Высшее проявление разума – это геометрия.
Клетка геометрии – треугольник. Он так же
неисчерпаем, как и вселенная. Окружность – душа геометрии.
Познайте окружность, и вы не только познаете душу
геометрии, но и возвысите душу свою.
Построить касательную к окружности с центром О и радиусом R, проходящую через точку А, лежащую вне окружности
Построения касательной к окружности, не требующие обоснования, опирающегося на теорию параллельных прямых.
Построение №1.
1. Проведу отрезок ОА
2. Найду К – середину ОА
3. Построю окружность (К; КА).
4. Отмечу точки пересечения окружности (О; r) и окружности (К; КА) С и В.
5. Проведу АВ и ОВ.
Треугольник ОВА – прямоугольный, так как он вписан в окружность, и гипотенуза совпадает с диаметром окружности (К; КА). Следовательно, АВО =90°. Для окружности (О; r) ОВ – радиус. ОВ АВ, следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.
Аналогично, АС – касательная к окружности.
Построение № 1 основывается на факте, который гласит, что касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Для прямой имеется лишь одна точка касания с окружностью.
Через данную на прямой точку можно провести лишь одну перпендикулярную прямую.
1. Построю окружность (А; АО)
2. Построю окружность (О; 2R)
3. Построенные окружности пересекаются в точках М и N.
4. Отрезки ОМ и ОN пересекают данную окружность (О;R) в точках С и В.
5. АВ и АС – искомые касательные.
1. Проведу АО – радиус окружности (А;АО)
АМ и AN также радиусы окружности (А;АО), следовательно
2. ОВ = ВМ = ОС = CN = 0,5OM= 0,5ON, так как ОМ – радиус окружности (O;2R), а ОС – радиус окружности (О;R)
3. Рассмотрим треугольник ОАМ. В нем АМ=ОА, тогда Δ ОАМ равнобедренный по определению. ОВ= ВМ, следовательно, АВ – медиана и высота ΔОАМ, по свойству равнобедренного треугольника.
4. Так как в ΔОАМ АВ – высота, следовательно, АВО = 90°
Построю перпендикуляр к прямой АР в точке А, пересекающий прямую РМ в точке S. Тогда |PA|=|AS|ctg α и |AQ|=|AS|ctg AQS.
4. Так как AQS =AMS = 180° — PMN = PQN = β, то |AQ| = |AS|ctg β. Поэтому |PA| : |AQ| = ctg α : ctg β (2).
5. Сопоставляя (1) и (2) получу |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, или
После раскрытия скобок и упрощений нахожу, что |OD|·|OA|=R².
5. Из соотношения |OD|·|OA|=R² следует, что |OD|:R=R: |OA|, то есть треугольники ODB и OBA подобны. Поскольку ODB= 90°, то OBA=90°.Следовательно, прямая АВ – искомая касательная, что и требовалось доказать.
Построение № 6.
1. Прострою окружность (A; |OA|).
2. Найду раствор циркуля, равный 2R, для чего выберу на окружности (О; R) точку S и отложу три дуги, содержащие по 60º: SP=PQ=QT=60°. Точки S и T диаметрально противоположны.
3. Строю окружность (О; ST), пересекающую w1Что это за окружность? в точках М и N.
4. Теперь построю середину МО. Для этого строю окружности (O; OM) и (М; МО), а затем для точек М и О находим на них диаметрально противоположные точки U и V.
5. Далее строю окружность (U; UM), пересекающую (М; МО) в точках К и L.
6. Наконец, построю окружность (К; КМ) и (L; LM), пересекающиеся в искомой точке В – середине МО.
Треугольники КМВ и UMK равнобедренные и подобные. Поэтому из того, что КМ= 0,5МU, следует, что МВ=0,5МК=0,5R. Итак, точка В – искомая точка касания. Аналогично можно найти точку касания С.
Построения касательной к окружности, основанные на свойствах секущих, биссектрис.
1. Построю прямую ОА, она пересечен данную окружность в точках Р и Q.
2. Построю на отрезке АQ как на диаметре окружность.
3. Пересеку построенную окружность касательной l, проведенной через точку Р к окружности (О; r), и получу точки М и N.
4. Проведу МО и NО, они пересекут окружность (О; r) в точках В и С соответственно.
5. АВ и АС — искомые касательные.
По свойству секущей АМ²=АР·АQ. Поэтому окружность (А;АМ) пересечет окружность (О;R) в точках В и С касания искомых касательных АВ и АС.
Построение № 8
1. Построю окружность (А;АР), пресекающую прямую АР в точке D.
2. Построю окружность w на диаметре QD
3. Пересеку ее перпендикуляром к прямой АР в точке А и получу точки М и N.
Очевидно, что АМ²=АN²=АD·AQ=AP·AQ. Тогда окружность (А;АМ) пересекает (О;R) в точках касания В и С. АВ и АС — искомые касательные.
Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать
Презентация «О построении касательной к окружности»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Видео:Строим касательную к окружности (Задача 3).Скачать
Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
О ПОСТРОЕНИИ КАСАТЕЛЬНОЙ К ОКРУЖНОСТИ Учитель математики ФКОУ ВСОШ-2 УФСИН России по Белгородской области, г. Новый Оскол Двойнина Наталья Владимировна
Цель работы: рассмотрение способов построения к окружности касательной, проходящей через точку А, не принадлежащую данной окружности.
1 способ Традиционное построение касательной циркулем и линейкой сводится к следующему: на отрезке ОА как на диаметре строят окружность 1, пересекающую данную окружность в точках В и С (см. рис.). Прямые АВ и АС— искомые касательные. Указанное построение основано на том, что ОВА, вписанный в окружность 1 и опирающийся на диаметр, равен 90°.
2 способ Построим окружность 1 (А, |АО|) и пересечем ее окружностью 2(О, 2R). Обозначим полученные точки пересечения через М и N (см. рис.). Отрезки ОМ и ON пересекают данную окружность в точках В и С. Прямые АВ и АС — искомые касательные. Характерно, что в первых двух способах для построения касательных были предварительно найдены точки касания. Действительно, точка В является серединой основании ОМ равнобедренного треугольника ОАМ, поэтому АВ — его высота, а значит, ОВА прямой. Отсюда следует, что АВ — касательная к окружности .
3 способ Проводим окружность 1 (А, |АО|) (см. рис.). Строим в точке Р= [АО] касательную t к окружности , пересекающую 1 в точках М и N. Отрезки ОМ и ON пересекают в точках В и С; прямые АВ и АС — искомые касательные. Действительно, треугольники РОМ и ВОА конгруэнтны, так как у них общий угол при вершине О, заключенный между соответственно конгруэнтными сторонами (|OР| = |OВ|, |ОМ| = |ОА|). Но треугольник ОРМ прямоугольный, (P = 90°). поэтому B = 90°, и, следовательно, прямая АВ — касательная к окружности . Построение касательной к окружности, содержащееся в третьей книге «Начал» Евклида (предложение 17).
4 способ Чтобы сделать построение, проведем окружность 2 (N, |АМ|). Одна из этих двух точек пересечения 2 и 1 и есть точка Q, а именно та, для которой направленный угол МОА равен направленному углу NOQ. Построение второй касательной к окружности сводится к выполнению поворота , при котором точка N переходит в точку А. В этом случае точка М переходит в точку S и прямая AS — вторая касательная. Построение касательной к окружности без предварительного построения точек касания. Проведем окружность 1 (А, |АО|). Касательная к окружности в произвольной точке Р0 пересекает окружность 1 в точках М и N (см. рис.). Поворот , при котором М А, отображает точку N на точку Q. Прямая AQ — искомая касательная. Действительно, поворот отображает касательную к на касательную к ((MN) (AQ)).
5 способ Строим последовательно окружность 1 (А, |АО|), касательную к окружности в произвольной точке Р0, пересекающую 1 в точках M и N, и окружность 2 (А, |MN|), пересекающую 1 в точках Р и Q (см. рис.). Прямые АР и AQ — искомые касательные. Действительно, хорды АР и AQ конгруэнтны хорде MN, поэтому прямые АР и AQ находятся от центра О на таком же расстоянии R, как и прямая MN. Но в таком случае прямые АР и AQ — касательные к окружности . Следующий способ сводится к использованию свойств хорд окружности, равноудаленных от ее центра,— эти хорды конгруэнтны.
6 способ Проведем прямую ОА, пересекающую окружность в точках Р и Q (см. рис.). Далее, через точку А проведем произвольную прямую, пересекающую в точках N и М. Пусть прямые РМ и QN пересекаются в точке К, а прямые PN и QM — в точке L. Прямая KL пересекает окружность в точках В и С. Прямые АВ и АС — искомые касательные. Докажем это. Касательную к окружности в данной на ней точке А можно построить одной линейкой. Также одной линейкой можно построить касательные к окружности, если данная точка А не принадлежит окружности. Эти построения можно выполнить одной линейкой и тогда, когда центр окружности не задан. Рассмотрим случай, когда центр О окружности задан, и задана точка А.
6 способ (продолжение) Заметим, что прямая KL перпендикулярна PQ. В самом деле, в треугольнике PQL отрезки РМ и QN — высоты, пересекающиеся в точке К, поэтому KL содержит третью высоту, и, следовательно, KL PQ. Если KL ∩ PQ=D, то |OD|∙|OA|=R2. Действительно, пусть DPK = ά, DQK = β. Тогда |PD|:|DQ| = ctg ά : ctg β (1) Построим перпендикуляр к прямой АР в точке A, пересекающий прямую РМ в точке S. Очевидно, что |PA| = |AS|∙ctg ά и |AQ| = |AS|∙ctgAQS. Так как AQS = AMS=180° — PMN = PQN = β, то |AQ| = |AS|∙ctg β. Поэтому |PA|:|AQ| = ctg ά : ctg β. (2)
Сопоставляя (1) и (2), получаем |PD|:|PA| = |DQ|: |AQ|, или (|OD| + R)∙(|OA| — R) = (R — |OD|)∙(|OA|+R). После раскрытия скобок и упрощений находим, что |OD|∙|OA|=R2. (3) Из соотношения (3) следует, что |OD|:R = R:|OA|, т. е. треугольники ODB и ОВА подобны. Поскольку ODB = 90°, то OBA = 90°. Следовательно, прямая АВ — искомая касательная. 6 способ (продолжение) Предложенное построение выполняется только линейкой. Чтобы построить касательные AB и AC, потребовалось провести 9 прямых: AO, AM, PM, QN, KL, QM, PN, AB, AC.
7 способ Способ построения касательной только циркулем, т. е. без привлечения линейки построим точки касания В и С по заданным окружности (О, R) и точке А. Проведем окружность 1 (А, |ОА|) см. (рис.). Далее найдем раствор циркуля, равный 2R, для чего выберем на окружности точку S и отложим три дуги, содержащие по 60 дуговых градусов: SP = PQ = QT = 60°. Точки S и Т диаметрально противоположны. Строим окружность (О, |ST|), пересекающую 1 в точках М и N. Теперь остается одним циркулем построить середину отрезка МО.
7 способ (продолжение) Для этого строим окружности 2 (O, |ОM|) и 3 (M, |MO|), а затем для точек М и О находим на них диаметрально противоположные точки U и V (см. рис.). Далее строим окружность 4 (U, |UM|), пересекающую 3 в точках К и L. Наконец, строим окружности 5 (K, |KM|) и 6 (L, |LM|), пересекающиеся в искомой точке В — середине MО. Действительно, треугольники КМВ и UMK равнобедренные и подобные. Поэтому из того, что |КМ| = ½ |MU|, следует, что |MB| = ½|MK| = ½ R. Итак, точка В — искомая точка касания. Аналогично находим точку касания С.
Если на отрезке AQ как на диаметре построить окружность 1 и пересечь ее касательной l, проведенной в точке Р к , то получим точки М и N. Очевидно, |АМ|2=|АР|∙|AQ|. Поэтому окружность 2 (А, |АМ|) пересечет в точках В и С касания искомых касательных АВ и АС. 8 способ Еще одно построение касательной к окружности основано на следующем свойстве отрезков секущей, проведенной к окружности( см. рис.): |AB|2=|AP|∙|AQ|
Так, строим окружность (А, |АР|), пересекающую (АР) в точке D, затем строим окружность 2 на диаметре QD и пересекаем ее перпендикуляром к прямой АР в точке А. Для полученных точек М и N имеем: |AM|2=|AN|2=|AD|∙|AQ| = |AP|∙|AQ|, поэтому окружность 3 (А, |AМ|) пересекает в искомых точках касания В и С. 8 способ (продолжение) Другой вариант построения касательной в данном случае основан на ином способе построения отрезка АВ по отрезкам АР и AQ (см. рис.).
Построение касательной можно выполнить просто, если не связывать его непосредственно с данной окружностью (О, R) и данной точкой А. Если В есть точка касания, то треугольник ОАВ прямоугольный, причем известно, что |ОВ|=R, |OA|=d, В=90°. Следовательно, задача сводится к построению прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе. Катет АВ построенного треугольника позволяет строить окружность 1 (А, |АВ|), пересекающую в искомых точках В и С. 9 способ
Пусть искомая касательная АВ пересекает касательную l к (О, R) в ее точке Q в некоторой точке М (см.рис.). Очевидно, [МО) — биссектриса угла QMA. Биссектриса угла, смежного с QMA, пересекает прямую АР в точке S, для которой |QS| : |SA| = |QO|:|OA|. Построив точку S, можно построить окружность 1 на диаметре OS. Поскольку SMO прямой, то 1 пересечет l в точках М и N, таких, что (AM) и (AN) — искомые касательные. 10 способ Приведем еще одно построение, основанное на свойствах биссектрис треугольника.
Наиболее простое построение точки S такое: откладываем на l два конгруэнтных отрезка QK и QL (рис. 12); находим точку D пересечения прямой КО с перпендикуляром к прямой ОА в точке А; строим прямую DL, пересекающую прямую ОА в точке S. 10 способ (продолжение)
Спасибо за внимание!
Список использованной литературы Скопец З. А. «Геометрические миниатюры» / Сост. Г. Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1990. – 224 с.: ил.
Конгруэнтный — соразмерный, совпадающий, совмещаемый; матем. о геометрических объектах — при наложении на другой объект полностью совпадающий с ним соответствующими углами, отрезками и т. п. В евклидовой геометрии две фигуры называются конгруэнтными, если одна из них может быть переведена в другую сдвигом, вращением и зеркальным отображением.
Краткое описание документа:
К числу конструктивных задач в курсе планиметрии относится построение циркулем и линейкой касательной к данной окружности. Если построение касательной к окружности (с центром в точке О) в точке А, принадлежащей данной окружности, сводится к построению перпендикуляра к прямой ОА в точке А, то более содержательной задачей является построение к окружности касательной, проходящей через точку А, не лежащей на данной окружности. В данной презентации рассматриваются 10 способов такого построения касательной к окружности. Данный материал может быть использован как на уроке геометрии. Так и в рамках элективного курса по математике.
Построение №1.
АВО =90°. Для окружности (О; r) ОВ – радиус. ОВ 
АВ, следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.
Построение № 8
