Найти систему линейных уравнений задающую линейную оболочку системы векторов

Рассмотрим два важных способа описания линейных подпространств, которые условно будем называть внутренним и внешним. В первом (внутреннем) способе используется понятие линейной оболочки векторов, когда все элементы подпространства выражаются через некоторые его элементы (образующие). При втором (внешнем) способе применяются однородные системы уравнений. В этом случае подпространство описывается как пересечение некоторых содержащих его множеств. Для каждого способа описания подпространств укажем методики на хождения размерностей, базисов, алгебраических дополнений, пересечений и сумм подпространств.

Любое n-мерное вещественное линейное пространство изоморфно n-мерному арифметическому пространству . Чтобы установить изоморфизм , достаточно выбрать в пространстве базис и каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец. Поэтому в данном разделе будем рассматривать описание подпространств n-мерного арифметического пространства .

Первый (внутренний) способ. Пусть в пространстве заданы столбцы . Напомним, что для систем столбцов были определены понятия базы (максимальной линейно независимой подсистемы столбцов) и ранга (максимального числа линейно не зависимых столбцов системы), а также методы их нахождения.

Рассматривая линейную оболочку столбцов как линейное подпространство , заключаем, что база системы столбцов является базисом этого подпространства, а ранг системы столбцов равен размерности подпространства .

Поэтому для нахождения размерности и базиса подпространства нужно выполнить следующие действия:

1) составить из данных столбцов матрицу размеров ;

2) привести ее к ступенчатому виду (1.4), используя элементарные преобразования строк;

3) определить размерность и базис подпространства

– количество ненулевых строк в матрице равняется размерности подпространства, т.е. ,

– столбцы матрицы , содержащие единичные элементы (в начале каждой «ступеньки»), определяют номера линейно независимых столбцов матрицы , т.е. искомый базис.

Таким образом, если подпространство задано своими образующими , то его размерность равна рангу системы столбцов , т.е. , а базисом служит максимальная линейно независимая подсистема образующих.

Второй (внешний) способ. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы уравнений с неизвестными. Множество решений системы уравнений можно рассматривать как пересечение подпространств , где — множество решений i-го уравнения системы . Напомним, что любое решение однородной системы представляется в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений. Поэтому раз мерность пространства , а базисом служит фундаментальная система решений однородной системы . Способы нахождения фундаментальной системы решений рассмотрены ранее.

Видео:Линал 2.2. Линейная оболочкаСкачать

Переход от одного способа описания подпространств к другому

Переход от внутреннего описания к внешнему. Пусть подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Требуется составить такую однородную систему уравнений, множество решений которой совпадает с , т.е. . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Из данных столбцов составить матрицу размеров , а затем блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка.

2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и первыми ее столбцами привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы .

3. Из последних строк матрицы составить матрицу .

4. Записать искомую систему уравнений .

Поясним содержание алгоритма. Заданное подпространство состоит из линейных комбинаций данных векторов, т.е. все его элементы имеют вид . Решаемую задачу можно сформулировать так: для каких векторов найдутся такие числа , чтобы выполнялось равенство . Другими словами, при каких неоднородная система ( уравнений с неизвестными ) имеет решения? Используя необходимое и достаточное условие (5.24) совместности системы, получаем равенство . Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много однородных систем, имеющих од но и то же множество решений.

Пример 8.8. Подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Составить систему уравнений, определяющую подпространство .

Решение. 1. Составляем матрицу и блочную матрицу:

2. Приводим левый блок к простейшему виду. Вычитаем первую строку из остальных, а затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на (-2):

Преобразовываем столбцы левого блока: ко второму столбцу прибавим пер вый, умноженный на (-1), к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-3), а затем второй, умноженный на (-1). Эти преобразования не изменяют правый блок полученной матрицы. Находим простейший вид Л матрицы и матрицу

3. Из последних строк матрицы составляем матрицу искомой системы.

4. Записываем систему уравнений Заданные в условии примера столбцы являются решениями полученной системы, в чем можно убедиться при их подстановке в систему уравнений вместо .

Переход от внешнего описания к внутреннему. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы т уравнений с л неизвестными: . Требуется найти размерность и базис этого подпространства, т.е. представить его в виде линейной оболочки . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Найти фундаментальную систему решений однородной системы . Искомая размерность .

2. Представить заданное пространство как линейную оболочку .

Первый пункт алгоритма удобно выполнять следующим образом:

– составить блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка;

– элементарными преобразованиями над столбцами блочной матрицы и строками верхнего блока привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы ;

– из последних столбцов матрицы составить фундаментальную матрицу .

Столбцы фундаментальной матрицы составляют искомую фундаментальную систему решений.

Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много базисов одного и того же линейного подпространства.

Пример 8.9. Найти размерность и базис подпространства , заданного системой уравнений

Решение. 1. Фундаментальная матрица для этой системы была найдена в примере 5.6

Ее столбцы образуют фундаментальную систему решений. Размерность подпространства равна , .

2. Столбцы являются искомым базисом, так как они линейно независимы и .

Видео:Линейная оболочка. Базис и размерностьСкачать

Линейные подпространства

Подмножество L линейного пространства X над полем Р называют линейным подпространством этого пространства, если оно само является линейным пространством относительно введенных в X операций сложения векторов и умножения векторов на числа из поля Р.

Для того чтобы подмножество L линейного пространства X было его линейным подпространством, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения векторов на числа из поля Р, т.е. чтобы выполнялись следующие условия:

• 1) для любых векторов а и Ъ из L их сумма а + b также принадлежит L;
• 2) для любого вектора а из L и любого числа а 6 Р вектор а а принадлежит L.

Действительно, эти условия означают, что операции в линейном пространстве X можно рассматривать и как операции на множестве L. При этом будут верны все аксиомы, кроме третьей и четвертой. Выполнение третьей аксиомы равносильно утверждению, что при выполнении условий 1 и 2 нулевой вектор принадлежит L, а выполнение четвертой означает, что для любого вектора ж € L противоположный вектор —х принадлежит L. Первое из этих утверждений следует из равенства 0 = 0 • ж, где в качестве х можно взять любой вектор в множестве L. Второе утверждение — следствие равенства — х = ( — 1) • х.

Условия 1 и 2 можно объединить в одно условие: для любых векторов множества L их линейная комбинация с произвольными коэффициентами принадлежит L.

Приведем примеры линейных подпространств.

• 1. Множество векторов на прямой или на плоскости является подпространством в обычном трехмерном пространстве.
• 2. Множество многочленов степени нс выше второй является подпространством в линейном пространстве многочленов степени не выше третьей.
• 3. Множество решений однородной системы линейных уравнений с п неизвестными является подпространством в линейном п-мерном арифметическом пространстве К_п.

Пусть в линейном пространстве X над полем Р дана система векторов di, о,2, . a_k. Множество всевозможных линейных комбинаций ац ai+a2 a₂ + . +a_k dk этой системы называют линейной оболочкой системы векторов а, а2, . а*,.

Линейная оболочка L системы векторов а, а₂, . а_к является подпространством в X. Действительно, если векторы а и b принадлежат L. т.е. имеют представления

то и векторы a + b и Л а имеют вид

Следовательно, они принадлежат L.

Линейную оболочку L системы векторов а, Действительно, размерность конечномерного линейного пространства L может быть определена как максимальное количество линейно независимых векторов в этом пространстве. Очевидно, что максимальное количество линейно независимых векторов в любом подмножестве L в X не превышает максимального количества линейно независимых векторов в X. Отсюда и следует утверждение теоремы. ?

Любое конечномерное линейное пространство порождается конечной системой векторов, например любым своим базисом. Согласно доказанной теореме это верно и для всякого линейного подпространства линейного пространства.

Теорема 4-^1. Пусть L — подпространство п-мерного линейного пространства X. Любой базис а, 0,2, . а/с в L можно дополнить до базиса а, 02, «ь а к+ъ •••> а п всего линейного пространства X, причем линейному подпространству L принадлежат те и только те векторы, которые в указанном базисе имеют столбцы координат вида

> Действительно, любой базис в L, как и вообще любую линейно независимую систему векторов в X, можно дополнить до базиса линейного пространства X. Если вектор х имеет столбец координат (4.3С), то он имеет представление

и, следовательно, принадлежит L как линейная комбинация векторов из L. Если вектор х принадлежит L, то он может быть разложен по базису 0,1, о₂, . а_к:

Это разложение в то же время является разложением вектора х в базисе oi, 02, . а_п линейного пространства X, дающим столбец координат вида (4.3С). ?

Теорема 4-22. Пусть X — конечномерное линейное пространство и в нем задан базис е. Тогда для любого линейного подпространства L в X можно указать такую однородную систему линейных уравнений Ах = 0, что множество координатных столбцов всех векторов из L в базисе е будет совпадать с множеством всех решений системы Ах = 0.

О Пусть е = (ei, ег. е_п) — заданный базис в X. Выберем в L некоторый базис а, 02, . а_к и дополним его векторами а_к+1, а_к—2,

. а_п до базиса в X. Пусть в этом базисе произвольный вектор х из L имеет координаты х, х’₂, . х’_к, х’_к+1, . х’_п. Из теоремы 4.21 вытекает, что подпространство L в базисе а = (ai,a2. а_п) описывается однородной системой уравнений х‘_к+1 = 0, х‘_к+2 = 0, . х’_п = 0.

Применяя формулу х’_а = Т

1 х_е преобразования координат (см. формулу (4.24) в п. 4.6), которая в подробной записи имеет вид

описывающую линейное подпространство L в базисе е. ?

Заметим, что если подпространство L имеет размерность к, то ранг полученной системы равен п—к, поскольку строками ее матрицы служат п — к строк матрицы Т -1 , в которой любая подсистема строк линейно независима.

Однородную систему линейных уравнений, описывающую данное линейное подпространство L, называют общими уравнениями этого подпространства. Общие уравнения подпространства определяются неоднозначно: достаточно систему линейных уравнений, описывающую подпространство, заменить любой эквивалентной системой, чтобы получить другие общие уравнения того же подпространства. Вид общих уравнений подпространства, получаемых с помощью процедуры, указанной в доказательстве теоремы 4.22, зависит от выбора базиса в L и выбора векторов, дополняющих этот базис до базиса в пространстве X.

При мер 4.18. Составить общие уравнения линейного подпространства L = (ai,a2) в четырехмерном линейном пространстве X, если векторы а и а2 заданы своими координатами в некотором базисе е: [а]_е = (1,1,2,0) т , [а_2е = (1,-1,0,2) т .

Решение. Нетрудно убедиться в том, что система векторов а и а₂ линейно независима, и потому составляет базис в линейном подпространстве L. Дополним эту систему векторов до базиса в линейном пространстве X векторами [аз]_е = (0, 0,1,0) т и [ац]_е = (0,0,0,1) т . Пусть в этом базисе произвольный вектор ж из L имеет координаты х‘₂, Ж3, х₄. В базисе а, а₂, cl-j, 0,4 линейное пространство L описывается системой уравнений х‘₃ = 0, х₄ = 0. Матрицей перехода от базиса е к новому базису а = (сч,а₂ ,аз,а₄) является матрица

обратной к которой является матрица

В силу теоремы 4.21, линейное подпространство в базисе а описывается однородной системой уравнений

Применив формулу преобразования координат х’_а = Т 1 х_е, которая в данном случае в подробной записи имеет вид

систему х‘₃ = 0, х‘₄ = 0 преобразуем в систему описывающую линейное подпространство L в базисе е.

Если бы в качестве векторов аз и бц взяли векторы [аз]_е = (0,0, — 1, —1) т , [ai]e = (0,0, —1,1) т , то повторив все вычисления, получили бы систему линейных уравнений

определяющую линейное подпространство L в базисе е. ?

Если подпространство задано общими уравнениями, то для построения базиса этого подпространства следует построить фундаментальную систему решений для общих уравнений подпространства.

При мер 4.19. Найти какой-либо базис подпространства L, заданного системой уравнений

Решение. Выбрав в качестве главных неизвестные х, Х2, а свободных — хз, Х4, решим систему. В результате получим общее решение

Фундаментальную систему решений рассматриваемой однородной системы линейных уравнений составляют столбцы (—1,0,1,0) т , (0,-1, 0,1) т , а базис линейного пространства решений — векторы, которые в заданном базисе имеют указанные столбцы координат. ?

Если ai, с*2, . dfc — базис линейного подпространства L в линейном пространстве X, то L можно задать уравнением

которое называют параметрическим уравнением подпространства L в векторной форме.

Пусть векторы oi, При мер 4.20. Подпространство L = (ai, т , т , задать параметрическими уравнениями (4.37) и (4.38) и общими уравнениями.

Решение. Векторное уравнение (4.37) в данном случае имеет

Переходя к координатам, получаем координатную форму параметрических уравнений

Исключив параметры ?1 и ?2, получим общие уравнения подпространства L:

Пусть в линейном пространстве X даны подпространства L и L2. Множество Ь П L2 векторов, принадлежащих как Ь, так и L2, является подпространством в X. Его называют пересечением подпространств Li И 1/2-

Множество всех векторов х вида х = а + 6, где а € L, Ъ ? 1>2 называют суммой подпространств Ь и L2 и обозначают через

L1+L2. Если при этом пересечение ЬГЬ2 — нулевое подпространство, то сумму L + L2 называют прямой суммой и обозначают через L ® Z/2-

Сумма подпространств является подпространством. Действительно, пусть х = а + 6, у = с + d, где а, с € Li, b,d е L2. Тогда х + у = — (а -|- с) -Ь (6 с?) ? L -Н J

Аналогично для любого числа а имеем: ах = аа + ab € L + L2, так как аа € Li и аб € L2.

Понятия пересечения и суммы подпространств распространяются на любое число подпространств.

Если сумма L +L2 подпространств L и L2 в X является прямой, то представление любого вектора х в виде х = а+Ь, где a ? L, 6 € L2, единственно. В частном случае, когда X = Ь ф L2, также каждый вектор х ? X имеет единственное представление х = а + Ь, где а ? Li, 6 ? Дг. В этом случае подпространства Ь и L2 называют прямыми дополнениями друг друга, а слагаемое а ? Ь — проекцией вектора х на подпространство Ь параллельно подпространству

Пример 4.21. В пространстве X = К4 построить какое-либо прямое дополнение Дг к подпространству L = (ai,a2), где а = (1, 1,1,0) т , аг = (1,0,1,0) т и найти проекцию вектора х = (2,1,5,5) т на Li параллельно L2.

Решение. Векторы ai и аг линейно независимы и поэтому составляют базис в подпространстве Ь. Дополним систему векторов а, т и 62 = (0,0,0,1) т и положим L2 = (61,62)- Очевидно, что L/2 является искомым подпространством. Далее запишем векторное равенство

перейдем от него к покоординатным уравнениям (см. разд. 4.2) и, решив систему этих уравнений, найдем: оц = «2 = 1, fi = 3, Р2 = 5. Поэтому

где (2,1,2,0) т € Ь, (0,0,3,5) т € L₂. Следовательно, проекцией вектора х = (2,1,5,5) т на подпространство L параллельно подпространству L/2 является вектор х = (2,1,2,0) т . ?

Пусть Ь = («1, а₂, •••, о-к), 1^2 = (bi, 6₂,6*) — подпространства в линейном пространстве X. Чтобы найти какой-либо базис в подпространстве L + L2, следует выделить какую-либо максимальную линейно независимую подсистему системы векторов а, а₂, . a*,, 6i, 6₂, 6^. Для этого достаточно составить матрицу из координатных

столбцов этих векторов и в этой матрице выделить какой-либо базисный минор. Векторы, на координатных столбцах которых находится базисный минор, образуют базис в подпространстве L1+L2. Отметим, что базисный минор можно выбирать не в исходной, а в преобразованной матрице (после выполнения последовательности элементарных преобразований строк).

При мер 4.22. Найти базис суммы L + L2 подпространств Li = (01,02,03) и ?2 = <bi,h,h),если т , и₂ = (1,1, -1,

Решение. Составим матрицу

Проводя элементарные преобразования строк матрицы, приведем ее к ступенчатому виду:

Видим, что ранг матрицы равен четырем, а один из ее базисных миноров располагается на векторах ai, a₂, аз, 6i. Следовательно, эти векторы составляют базис суммы L + L₂. ?

Если пространства L и L₂ заданы однородными системами уравнений, то пересечение Ь П L₂ будет определяться системой, получаемой объединением всех уравнений двух систем. Любая фундаментальная система решений такой системы уравнений дает базис пересечения L Г)Ь₂.

Пример 4.23. Найти базис пересечения подпространства Ь, заданного системой уравнений

и подпространства L2, заданного системой уравнений

Решение. Составим объединенную систему уравнений

и найдем ее общее решение

Здесь три свободных неизвестных: Х4 , Xq, Xq. Поэтому каждая фундаментальная система решений этой системы состоит из трех решений. Одну из фундаментальных систем решений составляют столбцы

Они и представляют собой один из базисов подпространства Ь П L2.

Если подпространства L и L2 заданы как линейные оболочки систем векторов

то при построении базиса пересечения L П L2 этих подпространств достаточно перейти к описанию этих подпространств общими уравнениями, а затем действовать, как в последнем примере: объединяя две однородные системы в одну, искать фундаментальную систему решений объединенной системы.

Существуют и другие способы построения базиса пересечения. Например (см. [21], решение задачи 1319), можно составить векторное уравнение

с неизвестными ai, од, . од, Pi, P2, • ••, Pi и от него перейти к системе покоординатных уравнений. Это линейная однородная система. Построив фундаментальную систему решений этой системы, для каждого решения из ФСР вычислим, например, левую часть векторного уравнения (4.39). Получим систему векторов, порождающую линейное пространство L П L2. Теперь базис в L П L2 можно построить, выделив в этой системе векторов максимальную линейно независимую подсистему. Отметим, что если система векторов 01, Пример 4.24. Найти базис пересечения подпространств Ь =

Решение. Сначала используем первый способ, переходя к общим уравнениям подпространств. Подпространство L описывается параметрическим уравнением х = t а + t2 0,2 + Сз «з, которое в координатной форме имеет вид:

Исключив параметры t, 12, ?3, придем к общему уравнению х — —Х2 — х₃ + х₄ = 0 подпространства L. Аналогично получаем общее уравнение Х — Х2 — х₃ — х₄ = 0 подпространства />2- Общие уравнения подпространства L П L2 имеют вид:

Фундаментальную систему решений этой системы составляют, например, векторы Х = (1,0,1, 0) т , Х2 = (0,1, 0,1) т . Эти векторы образуют базис в подпространстве Ь П L2.

Теперь применим второй способ решения примера. Составим векторное уравнение

в подробной записи имеющее вид:

Переходя к покоординатным уравнениям, получим однородную систему

с шестью неизвестными. Ее общее решение таково:

Свободных неизвестных два, и фундаментальная система решений состоит из двух столбцов

В этих двух столбцах выбираем первые три компоненты и принимаем их в качестве значений 04, o₂, ад в выражении ац а + а₂ + од «3. Получаем два вектора

составляющих базис подпространства L П L₂. ?

Теорема 4-23. В конечномерном линейном пространстве X размерность суммы L + L₂ подпространств Li w L₂ равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения, т.е.

> В подпространстве LCL,2 выберем какой-либо базис е = (ei, 62, . еД. Эта система векторов линейно независима и одновременно принадлежит и L1, и L2. Дополним ее до базиса в Ь системой векторов / = (Л, /2, •••,//) и до базиса в L₂ системой векторов д = (д_г, д₂ ,д_т)- Из трех систем векторов составим объединенную систему

и докажем, что она является базисом в L + L2.

Через систему векторов (е,/, д) линейно выражается любой вектор 2 ? L +1/2- Действительно, для вектора 2 имеет место представление z = х + у, где х Е Z/i, у ? Ь₂. Вектор х линейно выражается через систему (е,/), а вектор у — через систему (е,д). Поэтому их сумма z линейно выражается через объединенную систему (e,f,g).

Система векторов (е, f,g) линейно независима. Чтобы доказать это, запишем равенство

и покажем, что оно возможно только при нулевых значениях всех коэффициентов. В равенстве (4.41) объединим слагаемые, относящиеся к векторам систем ей/:

Вектор а принадлежит подпространству L. Но из равенства (4.41) следует, что

и вектор а принадлежит подпространству L2. Значит, а 6 L (IL2. Но из этого условия вытекает, что вектор а линейно выражается через систему векторов е, т.е. имеет место представление а = ц е +. + ць е*,. Это представление можно рассматривать как разложение вектора a Е Е L по базису (е, /). В силу единственности разложения по базису заключаем, что оба разложения совпадают, т.е. = оц, . /2/с = аь, /?1 = . = Pi = 0. С учетом полученных соотношений равенство (4.41) принимает вид

Поскольку система векторов (е,д) линейно независима (как базис в Z/2), это равенство возможно лишь при нулевых значениях всех коэффициентов:

Таким образом, доказано, что равенство (4.41) выполняется лишь при нулевых значениях всех коэффициентов, а система (е, /, д) линейно независима и является базисом в подпространстве Ь + L2. Число векторов в этом базисе, а потому и размерность пространства L + L2, равна к + I + т. Поскольку cliniLi — к + I, dim L2 = к + т, dim(Li П L2) = к, то

Видео:Линейная зависимость векторовСкачать

Учебное пособие: Методические указания для студентов 1 курса Одесса 2008

Одесский национальный университет им. И. И. Мечникова

Институт математики, экономики и механики

( решение типовых задач)

Методические указания для студентов 1 курса

Составители: д-р ф-м н., проф. Варбанец П.Д.,

к-т ф-м н., доц. Савастру О.В.

Рецензенты: д-р ф-м н., проф. Евтухов В.М.,

к-т ф-м н., доц. Белозеров Г.С.

Рекомендовано к печати

Ученым советом ИМЭМ Одесского национального университета им. И. И. Мечникова

протокол № 1 от 5 февраля 2008 г.

1. Линейные пространства …………………………………. 5

1.1. Линейные пространства и подпространства………….5

1.2. Базис пространства, его размерность…………………6

1.3. Координаты вектора в данном базисе…………….…11

1.4. Сумма и пересечение подпространств………………12

2. Евклидовы и унитарные пространства ………….…. 17

2.1. Процесс ортогонализации Шмидта………………….17

2.3. Ортогональная проекция и перпендикуляр на подпространство……………………………………………………..20

3. Операторы в линейных пространствах……………. 23

3.1. Образ, ядро линейного оператора……………………28

3.2. Матрица линейного оператора в данных базисах…..29

3.3. Собственные векторы и собственные значения..…. 31

3.4. Канонический корневой базис и жорданова нормальная форма…………………………………………………….34

4. Операторы в евклидовых и унитарных пространствах..40

5. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду…………………………………………………………. 45

Линейные пространства и линейные операторы представляют собой начало абстрактной части математики, с которой студенту в дальнейшем неоднократно придется иметь дело.

Эти методические указания по самостоятельной работе студентов предполагают использование следующего задачника:

И.В.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М., Наука, 1974.

В дальнейшем мы будем придерживаться следующих обозначений (если в тексте нет специальной оговорки):

¾ — произвольные пространства над некоторым полем ;

¾ — пространство — мерных строк (столбцов) с элементами из поля над полем (арифметическое пространство).

¾ — действительное — мерное арифметическое пространство;

¾ — комплексное — мерное арифметическое пространство;

¾ — пространства геометрических векторов (прямой, плоскости, пространства);

¾ — евклидовы пространства (с указанием размерности или без него);

¾ — подпространства данного пространства (— индекс, не связанный с размерностью);

¾ векторы рассматриваемого пространства; — нулевой вектор;

¾ скаляры из данного поля, — нуль этого поля;

¾ линейные операторы, в отдельных случаях – матрицы;

¾ матрицы линейных операторов в базисах соответственно ;

¾ размерности пространств ;

¾ ранги операторов (матриц) ;

¾ скалярное произведение в данном пространстве;

¾ векторное произведение в данном пространстве .

Основными типами задач этого параграфа являются следующие:

А) выяснение вопроса, будет ли данное множество с указанными операциями линейным пространством, подпространством;

В) выделение базиса пространства, определение его размерности;

С) вычисление координат вектора в данном базисе;

D) нахождение суммы, пересечения подпространств, их размерностей и базисов.

1.1. Линейные пространства и подпространства.

Для решения задач первой группы необходимо знание аксиом линейного пространства (вообще, не следует приниматься за решение задач любого раздела, не ознакомившись предварительно с основными понятиями и теоремами данного раздела). Заметим, что в группе аксиом линейного пространства содержатся требования неограниченной применимости, однозначности и замкнутости линейных операций, которые не выделены под отдельными номерами. Распространенная ошибка: забывают проверить выполнение этих условий.

В тех условиях, когда данное множество состоит из векторов некоторого известного пространства, полезной является следующая теорема (критерий подпространства):

Теорема. Подмножество векторов пространства над полем является подпространством тогда и только тогда, когда

1. замкнуто относительно сложения, т.е. ,

2. замкнуто относительно умножения векторов на любые скаляры из основного поля : .

Некоторые из задач требуют хорошего знания других разделов курса (элементарной теории матриц, квадратичных форм, систем линейных уравнений). Ниже мы подробнее остановимся на одной из этих задач.

1.2. Базис пространства, его размерность.

Построение базиса пространства, подпространства несколько упрощается, если мы располагаем некоторыми представлениями о размерности пространства, подпространства. Одним из наводящих соображений здесь может быть следующее. Подмножество векторов пространства выделяется из с помощью дополнительных условий, накладываемых на векторы. При этом, чем больше таких условий, тем меньшей, вообще говоря, будет размерность подпространства . Если , а выделено с помощью условий специального вида, то есть основания ожидать, что .

Задача 1.1. (№1297[4]) Доказать, что множество п -мерных векторов, у которых первая и последняя координаты равны между собой, образует линейное подпространство пространства .

Решение. Множество образует линейное подпространство пространства , так как удовлетворяет критерию подпространства. Действительно, выделяется из с помощью одного условия , поэтому

1.

,

2.

.

Кроме того, нетрудно показать, что . Для этого рассмотрим векторы стандартного базиса . Векторы не принадлежат . Но построение базиса подпространства в ряде случаев удобно выполнить, исходя из стандартного базиса самого пространства, изменяя его векторы так, чтобы они «попали» в подпространство. Поэтому преобразуем векторы так, чтобы у них первая и последняя координаты были равны. Например, пусть . Рассмотрим систему векторов . Она образует базис , так как нетрудно проверить, что она является линейно независимой и каждый вектор из подпространства линейно выражается через вектора этой системы. А так как количество векторов системы равно , то и . Итак, наше предположение оказалось верным.

Линейные подпространства, размерности которых на 1 меньше размерности самого пространства называются гиперплоскостями .

В следующей задаче условий больше.

Задача 1.2. (№1298[4]) Доказать, что множество п -мерных векторов, у которых координаты с четными номерами равны нулю, образует линейное подпространство пространства .

Решение. Для доказательства того, что является подпространством, нужно также воспользоваться критерием подпространства. Так как поэтому следует ожидать, что , где — наибольшее четное число, не превышающее (, если — четное, и , если — нечетное). Базисом является подсистема стандартного базиса пространства , содержащая векторы только с нечетными номерами.

Задача 1.3. Проверить, является ли множество многочленов степени 3 с вещественными коэффициентами подпространством пространства многочленов степени ().

Решение. Воспользуемся критерием подпространства. Проверим условие .

Пусть , тогда

,

так как степень суммы этих двух многочленов равна двум. Итак, множество не является подпространством.

Задача 1.4. (№№1291, 1308[4]) Найти какой-нибудь базис и размерность линейного подпространства пространства , если составляют все векторы из , у которых сумма координат .

Решение. Очевидно векторы стандартного базиса

(1 на — ой позиции ) множеству не принадлежат ни при каком . Однако, замена на векторах последнего нуля числом (-1) дает нам векторы из . Таким образом мы получаем систему векторов

из , которая линейно независима (почему?) и обязана быть базисом , ибо из условия задачи явно следует, что из и, следовательно, .

Попутно решен вопрос (и подтвердилась гипотеза) о размерности ( выделено из одним условием).

Задача 1.4. (№1306[4]) Пусть — неотрицательная квадратичная форма от неизвестных ранга . Доказать, что все решения уравнения =0 образуют мерное линейное подпространство пространства .

Поиск решения. Вспоминаем основные понятия теории квадратичных форм (матрица формы, ранг формы, определение формы). Очевидно, что более подробные записи данного уравнения в виде

, никак не указывают на способ решения задачи.

В процессе дальнейших размышлений начинаем понимать, что мы должны исходить из неотрицательной определенности формы . Нормальный вид такой формы

(1)

а множество решений уравнения =0 в этом случае состоит из векторов вида

, (2)

Где — произвольные числа из . Имеющийся опыт (задача 1.2) подсказывает, что множество векторов такого вида есть ()-мерное подпространство пространства . Но данная нам форма не обязательно нормальная. И здесь мы вспоминаем, что каждая неотрицательно определенная форма ранга невырожденным линейным преобразованием приводится к виду (1). Создается план решения: преобразовать форму к виду (1) , найти решения (2) уравнения =0 для преобразованной формы, а затем с помощью обратного преобразования построить решения уравнения =0 для данной формы .

Решение. По теореме о приведении квадратичной формы к нормальному виду существует невырожденное линейное преобразование

, приводящее форму к виду

Множество решений уравнения состоит из векторов где , то есть из векторов

.

Обозначим (1 на — ой позиции) и докажем, что множество решений уравнения =0 есть линейная оболочка системы векторов

.

Пусть . Тогда

Очевидно и другое:

Кроме того, система линейно независима (проверяется непосредственно). Составляем линейную комбинацию . Получаем . Мы пришли к матричному уравнению, которое имеет единственное решение, так как матрица является невырожденной.

.

Отсюда . Тем самым мы показали, что система является линейно независимой. Следовательно, — линейное пространство (по построению) и его размерность

1.3. Координаты вектора в данном базисе.

Решение вопроса о ранге системы векторов, заданных координатами в некотором базисе, выделение из системы ее максимальной линейно независимой подсистемы, выражение остальных векторов в виде линейных комбинаций векторов этой подсистемы сводится к решению этих же задач для системы строк (столбцов) координатной матрицы, которые подробно обсуждались в соответствующем параграфе первой части.

1.4.Сумма и пересечение подпространств.

Пусть — данные подпространства пространства. Обычно их задают в виде линейных оболочек систем векторов или как множества решений некоторых однородных систем линейных уравнений, а сами векторы- координатными строками в некотором базисе. Вычисление не составляет особого труда: это ранг объединения базисов или порождающих систем подпространств и . находится по формуле

. (3)

Несколько сложнее обстоит дело с поиском базиса пересечения . В общем виде этот вопрос рассматривается в задаче №1319 [4]. Здесь же мы укажем, как найти решения конкретных задач (№№ 1320-1322 [4]). Задачу 1.6 мы решим двумя способами, второй — с помощью схемы Штифеля (предполагаем, что №1319 вы уже разобрали).

Задача 1.6. Найти базис суммы и пересечения подпространств, натянутых на системы векторов

и

Решение. Обозначим , . Будем считать, что координаты векторов заданы в единичном базисе .

1 способ. Как известно, базисом суммы служит любая база системы векторов , . Его построение сводится к вычислению ранга матрицы, строками которой являются координаты векторов последней системы. Кроме того, базис суммы можно получить, добавляя к базису первого подпространства некоторые из векторов базиса второго подпространства.

Итак, . Базис составляют .

. Базис составляют .

.

Базис составляют . По формуле (3) получаем . Базис пересечения будем искать из условия . Значит, представим в виде и . Приравниваем правые части . Это равенство эквивалентно системе трех линейных однородных уравнений с четырьмя неизвестными. Нужно решить эту систему и построить ФСР. Тогда будет образовывать базис пересечения.

Решив систему, строим ФСР.

Вектор образует базис .

2 способ. 1) Составим таблицу Штифеля для объединенной системы векторов , и перебрасываем наверх сначала векторы , пока это возможно (квадратиками выделены разрешающие элементы). Векторы , переходящие налево, не пишем и их координаты не вычисляем.

🔍 Видео

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Базисные решения систем линейных уравнений (03)Скачать

Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2Скачать

Линейная зависимость и линейная независимость. ТемаСкачать

Базисные решения систем линейных уравнений (01)Скачать

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать

Базис линейного пространства (01)Скачать

Линейные оболочки. ТемаСкачать

Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать