Задание 6. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен √3.
Рассмотрим равносторонний треугольник AOB (известно, что правильный шестиугольник разбивается на шесть правильных треугольников) с высотой, равной радиусу вписанной окружности r=√3 (см. рисунок ниже).
Так как все углы правильного треугольника равны 60°, то сторона AO равна:
,
Сторона 6 угольника описанного около окружности равна
Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен 
Рассмотрим равносторонний треугольник AOB (см. рис.). В этом треугольнике
Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен 
Рассмотрим равносторонний треугольник AOB (см. рис.). В этом треугольнике
Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен 
Рассмотрим равносторонний треугольник AOB (см. рис.). В этом треугольнике
Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен 
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен 
Пусть точка О — центр окружности. Треугольник АОВ является равнобедренным с углом при вершине 60° (см. рис.), поэтому этот треугольник равносторонний. Радиус ОН вписанной в шестиугольник окружности является высотой, биссектрисой и медианой треугольника АОВ, поэтому:
Правильный шестиугольник и его свойства
Определение
Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.
Замечание
Т.к. сумма всех углов (n) –угольника равна (180^circ(n-2)) , то каждый угол правильного (n) –угольника равен [alpha_n=dfracn cdot 180^circ]
Пример
Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен (dfrac 4cdot 180^circ=90^circ) ;
каждый угол правильного шестиугольника равен (dfrac6cdot 180^circ=120^circ) .
Теоремы
1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Следствия
1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.
2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.
Теорема
Если (a) – сторона правильного (n) –угольника, (R) и (r) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: [begin S&=dfrac n2ar\ a&=2Rcdot sindfracn\ r&=Rcdot cosdfracn end]
Свойства правильного шестиугольника
1. Сторона равна радиусу описанной окружности: (a=R) .
2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.
3. Все углы правильного шестиугольника равны (120^circ) .
4. Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна (dfrac<3sqrt>a^2) .
5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу (r) вписанной в правильный шестиугольник окружности.
6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный (60^circ) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).
Замечание
В общем случае правильный (n) -угольник инвариантен относительно поворота на угол (dfrac) .