Описанная окружность и ее свойства 8 класс

Введем новое понятие: описанная окружность.
Определение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

На рисунке четырёхугольник MNKP вписан в окружность с центром O, так как все его вершины лежат на этой окружности.

На рисунке четырёхугольник ABCD не является вписанным в окружность, т.к. вершина C не лежит на окружности.
Рассмотрим треугольник АВС и впишем его в окружность. Всегда ли это возможно сделать?

Докажем теорему: Около любого треугольника можно описать окружность.
Дано: ∆ABC
Доказать: существует окружность, что A, B, C принадлежат этой окружности.
Доказательство:
Построим в треугольнике серединные перпендикуляры к сторонам и обозначим точку их пересечения О.

По свойству серединных перпендикуляров точка О равноудалена от точек А, В и С, т.е. OA = OB = OC.

Поэтому окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все три вершины треугольника, а значит является описанной около треугольника АВС.
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O.
Что и требовалось доказать.
Четырехугольник, вокруг которого можно описать окружность обладает свойством: в любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Дано: ABCD вписанный четырехугольник.
Доказать:
∠B + ∠D = 180° и ∠A + ∠C = 180°.
Доказательство:
Рассмотрим вписанный угол АВС. Его градусная мера равна ∠ABC = 0,5 ∙ ∪ADC.
Градусная мера вписанного угла ADC равна ∠ADC = 0,5 ∙ ∪ABC.
Сумма углов АВС и ADC равна
∠ABC + ∠ADC = 0,5(∪ADC + ∪ABC) = 0,5 ∙ 360° = 180°.
Что и требовалось доказать.
Обратное утверждение также верно. Докажите его самостоятельно:
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.

Видео:8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

Презентация по геометрии на тему: «Описанная окружность» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Вопросы Какую окружность называется описанной около треугольника? Какой треугольник называется вписанным в окружность? Около какого треугольника можно описать окружность? Что является центром окружности, описанной около треугольника? Что является центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника?

Определение: окружность называется описанной около треугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. Если окружность описана около треугольника, то он вписан в окружность.

Теорема. Около треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Важное свойство: Если окружность описана около прямоугольного треугольника, то её центр – середина гипотенузы. R = ½ AB

Определение: окружность называется описанной около четырехугольника, если она проходит через все его вершины. Если окружность описана около четырехугольника, то он вписан в окружность.

Вопрос Около любого ли четырехугольника можно описать окружность?

Всегда ли можно вписать четырехугольник в окружность?

Теорема. Если около четырёхугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна 1800. Доказательство: Другая формулировка теоремы: во вписанном в окружность четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 1800.

Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 1800, то около него можно описать окружность. Доказательство: стр. 62 Вокруг какого четырёхугольника нельзя описать окружность?

Следствие 1: около любого прямоугольника можно описать окружность, её центр – точка пересечения диагоналей. Следствие 2: около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Можно ли описать окружность около ромба, не являющего квадратом?

Учебник стр. 65 1вариант №326 2 вариант №327 №335, 346, 347

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 679 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 302 человека из 66 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 507 181 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.

Другие материалы

• 13.01.2019
• 247
• 0

• 11.01.2019
• 2837
• 236

• 10.01.2019
• 317
• 1

• 10.01.2019
• 215
• 1

• 06.01.2019
• 660
• 3

• 02.01.2019
• 220
• 1

• 02.01.2019
• 4073
• 563

• 29.12.2018
• 4334
• 261

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 13.01.2019 925
• PPTX 316.5 кбайт
• 10 скачиваний
• Рейтинг: 2 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Кизилова Елена Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 68056
• Всего материалов: 37

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Студенты РФ и Великобритании подписали договор о создании студенческой Ассоциации

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения намерено решить вопрос с третьей сменой в школах в 2023 году

Время чтения: 1 минута

WWF выпустил настольную игру об изменении климата

Время чтения: 3 минуты

Онлайн-семинар о снятии эмоционального напряжения у детей и подростков

Время чтения: 2 минуты

Школы Пскова перевели на дистанционное обучение

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Теорема

Доказательство

Дано: произвольный АВС.

Доказать: около АВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Точка О равноудалена от вершин АВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около АВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Углы В и D — вписанные, тогда по теореме о вписанном угле: В = АDС, D = АВС, откуда следует В + D = АDС + АВС = (АDС + АВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. АDС + АВС = 360 0 , тогда В + D = 360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, BАD + BСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

ВСD — внешний угол СFD, следовательно, BСD = ВFD + FDE. (1)

Углы ВFD и FDE — вписанные. По теореме о вписанном угле ВFD = ВАD и FDE = ЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: BСD = ВАD + ЕF = (ВАD + ЕF), следовательно, ВСDВАD.

BАD — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле BАD = ВЕD, тогда BАD + BСD(ВЕD + ВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. ВЕD + ВАD = 360 0 , тогда BАD + BСD360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что BАD + BСD180 0 . Но это противоречит условию BАD + BСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

По теореме о сумме углов треугольника в ВСF: С + В + F = 180 0 , откуда С = 180 0 — ( В + F). (2)

В — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле В = ЕF. (3)

F и ВFD — смежные, поэтому F + ВFD = 180 0 , откуда F = 180 0 — ВFD = 180 0 — ВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

С = 180 0 — (ЕF + 180 0 — ВАD) = 180 0 — ЕF — 180 0 + ВАD = (ВАD — ЕF), следовательно, СВАD.

А — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле А = ВЕD, тогда А + С(ВЕD + ВАD). Но это противоречит условию А + С =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

💡 Видео

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Урок по теме ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 8 классСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Описанная окружность. Видеоурок 22. Геометрия 8 классСкачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

Свойства параллелограмма. 8 класс.Скачать

Геометрия 8 класс. Описанная окружностьСкачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать