Центром описанного около окружности треугольника является точка пересечения высот треугольника (5 видео)

Планиметрия. Страница 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Центром описанного около окружности треугольника является точка пересечения высот треугольника

Содержание

1.Окружность
2.Окружность, описанная около треугольника
3.Окружность, вписанная в треугольник
4.Геометрическое место точек
Репетитор: Васильев Алексей Александрович
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Центр описанной окружности
2 Comments
Точка пересечения высот треугольника — свойства, координаты и расположение ортоцентра
Что такое высота
Свойства ортоцентра
Полезные факты
Задача Фаньяно
История изучения
📸 Видео

Видео:8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

1.Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из множества точек на плоскости, равноудаленных от данной точки.

Эта данная точка называется центром окружности. Расстояние от центра окружности до ее точек называется радиусом окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Если хорда проходит через центр окружности, то она называется диаметром. (Рис.1)

ОА — радиус
ВС — диаметр
DE — хорда

Рис.1 Окружность, радиус, диаметр, хорда.

Видео:Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольникаСкачать

2.Окружность, описанная около треугольника

Теорема: центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров, опущенных на середины сторон данного треугольника.

Доказательство. Пусть АВС данный треугольник и точка О является центром окружности, описанной около данного треугольника. (Рис.2) Тогда отрезки ОА, ОВ, ОС равны как радиусы. Следовательно, треугольники Δ АОВ, Δ ВОС, Δ АОС — равнобедренные. А следовательно, и медианы, проведенные к серединам сторон ОК, ОЕ, ОD, являются одновременно биссектрисой и высотой. Поэтому предположение, что центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения высот, верно.

Рис.2 Теорема. Окружность, описанная около треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

3.Окружность, вписанная в треугольник

Теорема. центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.

Доказательство. Пусть дан треугольник АВС. Точка О — центр вписанной окружности. (Рис. 3)

Тогда треугольник Δ АОЕ равен треугольнику Δ АОТ,
Δ СОЕ = Δ СОК,
Δ ВОК = Δ ВОТ.
Так как стороны ОА, ОВ, ОС у них общие. А ОК, ОЕ, ОТ как радиусы.
Следовательно:
∠ ЕАО = ∠ ТАО,
∠ ЕСО = ∠ КСО,
∠ КВО = ∠ ТВО.

Это значит, что точка О лежит на пересечении биссектрис АО, ВО, СО.

Рис.3 Теорема. Окружность, вписанная в треугольник.

Видео:Задание 16 ЕГЭ по математикеСкачать

4.Геометрическое место точек

Геометрическое место точек это фигура, которая представляет собой совокупность точек на плоскости, подчиняющихся определенному закону или обладающих определенным свойством.

Теорема. Геометрическим местом точек называется прямая, все точки которой равноудалены от двух данных точек, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину.

Доказательство. Пусть дан отрезок АС. Прямая А проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему.(Рис. 4).

Тогда треугольники Δ АМВ и Δ СМВ равны. Так как сторона ВМ у них обшая, а стороны АМ и МС равны по условию. Следовательно точка В равноудалена от точек А и С.
Возьмем другую точку, например D, не лежащую на прямой а. Тогда сторона MD не принадлежит прямой а. А следовательно, углы AMD и DMC не равны т.к. не равны треугольники. Данное утверждение основано на том, что через точку, лежащую на прямой, можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. И следовательно, расстояния от точки D до точек А и С не равны. Поэтому, для того чтобы расстояния от некой точки Х до двух данных точек были равны, необходимо чтобы она лежала на прямой а, которая перпендикулярна отрезку, соединяющего эти точки, и которая проходит через его середину.

Рис.4 Теорема. Геометрическое место точек.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

Пример 1

Дана окружность с центром О. И проведена касательная а из точки С к этой окружности. Доказать, что точка К лежит на основании равнобедренного треугольника ОВС, если OB = 2R. (рис.5)

По условию прямая а есть касательная к окружности, следовательно радиус, проведенный к точке касания ОК, и который лежит на прямой с, составляет прямой угол с касательной. Так как ОВ = 2R и KB = R, то прямая а будет представлять собой геометрическое место точек, так как она перпендикулярна отрезку ОВ и проходит через его середину. А следовательно, треугольники ВКС и ОКС равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда можно сделать вывод, что точка К будет лежать на основании равнобедренного треугольника ВОС.

Рис.5 Задача. Дана окружность с центром О.

Пример 2

Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания. (Рис.6)

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, которая касается окружности в точке А. Допустим, что прямая а имеет еще одну точку касаная — точку В. Тогда радиус окружности, проведенный к точкам А и В образует угол с прямой а равный 90°.

Таким образом, в равнобедренном треугольнике АОВ углы при вершинах А и В равны 90°. А это невозможно. Следовательно, мы пришли к противоречию и прямая а не может касаться окружности в двух точках.

Рис.6 Задача. Касательная к окружности.

Пример 3

Точки А,В,С лежат на одной прямой, а точка О лежит вне этой прямой. Докажите, что треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС. (Рис.7)

Доказательство:

Допустим, что треугольники АОВ и ВОС равнобедренные с основаниями АВ и ВС. Тогда Стороны АО, ВО и СО равны. Отсюда следует, что углы ОАВ, АВО, ОВС и ОСВ равны. И ∠АВО = ∠ОВС = 90°, так как эти углы являются смежными, а их сумма равна 180°.

Таким образом, в равнобедренных треугольниках АОВ и ВОС углы при вершинах А и С равны 90°. А это невозможно, потому, что тогда стороны АО, ВО и СО были бы параллельны, так как они перпендикулярны одной прямой АС. Следовательно, мы пришли к противоречию, и треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС.

Рис.7 Задача. Даны три точки на прямой.

Пример 4

Окружности с центрами О и О₁ пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО₁ (Рис.8)

Доказательство:

Так как окружности пересекаются в точках А и В, то эти две точки принадлежат обеим окружностям. Следовательно, отрезок ОА = ОВ, как радиусы окружности с центром в точке О. А отрезок О₁А = О₁В, как радиусы окружности с центром в точке О₁.

Таким образом, треугольники ОАО₁ и ОВО₁ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). А следовательно отрезки АС и ВС равны. И прямая ОО₁ является геометрическим местом точек для двух данных точек А и В. Т.е. любая точка прямой ОО₁ равноудалена от двух данных точек А и В. Следовательно, треугольники ОАС и ОВС равны, также как и треугольники АСО₁ и ВСО₁ по трем сторонам. А отсюда следует равенство углов при вершине С. Т.е. ∠ОСА = ∠ОСВ = ∠АСО₁ = ∠ВСО₁ = 90°.

Следовательно, можно сделать вывод, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО₁.

Рис.8 Задача. Окружности с центрами О и О₁.

Пример 5

Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояние от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС (Рис.9)

Доказательство:

По условию задачи, расстояния от точек В и С до прямой а равны. Т.е. РС = BQ. Так как расстояние от точки до прямой представляет собой перпендикуляр, то два треугольника РОС и ВОQ, образованные двумя пересекающимися прямыми ВС и а, и перпендикулярами, опущенными на одну из них, равны по второму признаку равенства треугольников ( по стороне и двум прилегающим к ней углам: РС = BQ, углы при вершинах В и С равны как внутренние накрест лежащие, а углы при вершинах Р и Q прямые).

Из равенства треугольников РОС и ВОQ следует, что ВО = ОС.

Рис.9 Задача. Отрезок ВС пересекает прямую а .

Видео:Через центр О окружности, описанной около остроугольного треугольника ДВИ МГУСкачать

Центр описанной окружности

Где находится центр описанной около треугольника окружности? Что можно сказать о центре окружности, описанной около многоугольника?

Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

окружность (O;R) — описанная около ∆ ABC.

O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ∆ ABC.

Соединим отрезками точки O и A, O и C.

OA=OC (как радиусы), следовательно, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению).

По свойству равнобедренного треугольника, высота и медиана, проведенные к основанию AC, совпадают):

Следовательно, центр описанной окружности — точка O — лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину, то есть на серединном перпендикуляре к AC.

Аналогично доказывается, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB.

Так как серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то точка O — центр описанной около треугольника ABC окружности.

Что и требовалось доказать.

Аналогичные рассуждения можно применить и для многоугольника, около которого можно описать окружность.

Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

2 Comments

на мой взгляд у вас опечатка — «Соединим отрезками точки O и A, O и C.

OA=OB( написано ОВ вместо ОС) (как радиусы), следовательно, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AC (по определению).»

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точкиСкачать

Точка пересечения высот треугольника — свойства, координаты и расположение ортоцентра

Видео:Серединный перпендикуляр. 7 класс геометрия. Центр описанной окружности треугольникаСкачать

Что такое высота

Если из вершины опустить перпендикуляр на противоположную сторону, получится отрезок, который именуется высотой. В равнобедренном треугольнике 2 отрезка равны, а в равностороннем равны все 3.

У фигур с углами 90 и более градусов высота попадает на противоположную сторону. В случае острого угла дело обстоит иначе. Прямая попадет только на продолжение противоположной стороны и будет находиться вне самой фигуры. Таким образом, если все углы острые, отрезки будут находиться внутри, как и ортоцентр. В тупоугольной фигуре два из трех отрезков будут проходить за его пределами — ортоцентр окажется вне фигуры.

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

Свойства ортоцентра

Свойства высот треугольника, пересекающихся в одной точке, давно изучены и описаны. Согласно основному из них, все 3 высоты всегда пересекаются в одном месте. Иногда, чтобы найти это место, отрезки нужно продлить, превратив в ортогональные прямые.

Ортоцентр по отношению к фигуре может быть расположен:

внутри;
снаружи;
в вершине (у прямоугольных треугольников)

Ортоцентр — важная в геометрии характеристика, влияющая на нахождение золотого сечения.

Так называется маленький треугольник, расположенный внутри основного, находящийся на пересечении его трех параметров:

Золотое сечение может представлять собой не только треугольную фигуру, но и отрезок. В правильном треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит, золотое сечение превращается в точку.

Полезные факты

Местонахождение ортоцентра имеет некоторые закономерности. Их знание принесет пользу при решении задач.

Пусть:

H — ортоцентр в ABC;
О — центр описанной окружности.

Тогда:

окружности, описанные вокруг АБС, АНВ, CHB, HCA, равны:
отрезок BH вдвое длиннее отрезка АС;
середины отрезков AC и BH разделены расстоянием, равным радиусу описанной окружности.

Задача Фаньяно

Это классическая теорема. Она возникла в процессе поиска фигур с наименьшим периметром. Теорему доказал Фаньяно — итальянский математик и инженер. Это произошло еще в начале XVIII века.

Формулировка: ортотреугольник, то есть фигура, полученная соединением трех оснований треугольника, проведенный внутри остроугольного треугольника, имеет самый маленький периметр изо всех возможных, вписанных в данную фигуру.

Площадь ортотреугольника рассчитывается по формуле:

Здесь S — площадь, а, b, c — стороны.

Существует понятие ортоцентрической системы. Оно включает в себя 3 вершины и место пересечения их высот. Любая из данных четырех точек будет являться ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными.

Видео:Точка пересечения высот | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

История изучения

Важное значение имеет место пересечения медиан или центр тяжести. Вместе с ортоцентром это еще одна «замечательная точка», которая была известна еще древним грекам. Так их стали называть начиная с 18 века, другое название «особенные».

Исследование этих точек стало началом для создания геометрии треугольника, основателем которой считается Леонард Эйлер. Ученый показал, что в любом треугольнике точки соединения высот, медиан и центр описанного круга находятся на одной линии, которую позже назвали прямой Эйлера.

В позапрошлом веке была обнаружена окружность 9 точек или Фейербаха. Она состоит из оснований медиан, высот и центров высот. Оказалось, что все эти точки лежат на общей окружности, центр которой находится на линии Эйлера.

Каждый отрезок, прочерченный из ортоцентра до соединения с описанной окружностью, всегда будет делиться линией Эйлера на 2 равные части.

Треугольник — удивительная фигура, изучением которой занимается целый раздел геометрии. Ортоцентр и его свойства имеют широкое применение в практической жизни, например, в строительстве. Этот показатель настолько важен и распространен, что существуют калькуляторы, позволяющие определить местонахождение точки по координатам вершин.