Алгебраическая форма записи комплексных чисел |
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме |
Комплексно сопряженные числа |
Модуль комплексного числа |
Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме |
Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости |
Аргумент комплексного числа |
Тригонометрическая форма записи комплексного числа |
Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа |
Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме |
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа |
- Алгебраическая форма записи комплексных чисел
- Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
- Комплексно сопряженные числа
- Модуль комплексного числа
- Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
- Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
- Аргумент комплексного числа
- Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
- Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
- Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
- Найти радиус вектор комплексного числа
- Правила ввода выражений и функций
- Где учитесь?
- Калькулятор комплексных чисел. Вычисление выражений с комплексными числами
- Как пользоваться калькулятором
- Ввод комплексных чисел
- Поддерживаемые операции и математические функции
- Примеры корректных выражений
- Комплексные числа
- Примеры комплексных чисел
- Основные действия с комплексными числами
- Примеры
- Другие действия над комплексными числами
- Примеры
- Формы представления комплексных чисел
- Пример:
Видео:Аргумент комплексного числа. Часть 1Скачать
Алгебраическая форма записи комплексных чисел
Пусть x и y — произвольные вещественные числа.
Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.
Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .
Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .
Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .
Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде
z = x + i y . | (1) |
где использован символ i , называемый мнимой единицей .
Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .
Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .
Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .
Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .
Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.
Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:
i 2 = – 1 . | (2) |
По этой причине
Видео:Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать
Комплексно сопряженные числа
Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .
Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:
Видео:Найти модуль и аргумент комплексного числа #maths #complexnumbers #complexanalysis #тфкп #calculusСкачать
Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле
Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:
а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:
Замечание . Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.
Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать
Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле
Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:
Деление на нуль запрещено.
Видео:Радиус векторСкачать
Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.
Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).
Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .
При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.
Видео:10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числаСкачать
Аргумент комплексного числа
Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .
Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .
Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).
Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.
Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:
Тогда оказывается справедливым равенство:
Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам
(3) |
Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле
(4) |
а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.
Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.
Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y
Расположение числа z | Знаки x и y | Главное значение аргумента | Аргумент | Примеры |
Положительная вещественная полуось | 0 | φ = 2kπ | ||
Первый квадрант | ||||
Положительная мнимая полуось | ||||
Второй квадрант | ||||
Отрицательная вещественная полуось | Положительная вещественная полуось | |||
Знаки x и y | ||||
Главное значение аргумента | 0 | |||
Аргумент | φ = 2kπ | |||
Примеры |
Расположение числа z | Первый квадрант |
Знаки x и y | |
Главное значение аргумента | |
Аргумент | |
Примеры |
Расположение числа z | Положительная мнимая полуось |
Знаки x и y | |
Главное значение аргумента | |
Аргумент | |
Примеры |
Расположение числа z | Второй квадрант |
Знаки x и y | |
Главное значение аргумента | |
Аргумент | |
Примеры |
Расположение числа z | Отрицательная вещественная полуось | ||||||||||
Знаки x и y | Третий квадрант | ||||||||||
Знаки x и y | Отрицательная мнимая полуось | ||||||||||
Знаки x и y | Четвёртый квадрант | ||||||||||
Знаки x и y | |||||||||||
z = r (cos φ + i sin φ) , | (5) |
где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .
Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа .
Видео:2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать
Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :
cos φ + i sin φ = e iφ . | (6) |
Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде
z = r e iφ , | (7) |
где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .
Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа .
Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:
а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа
или, что то же самое, числа e iφ , при любом значении φ равен 1.
Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать
Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.
Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам
Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле
Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Видео:Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷Скачать
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.
Корнем n — ой степени из числа z0 , где называют такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения
z n = z0 . | (8) |
Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде
и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства
следствием которых являются равенства
(9) |
Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней
(10) |
причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов zk при k = 0 , . , n – 1 располагаются в вершинах правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.
Замечание . В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z1 и z2 , отличающихся знаком:
Пример 1 . Найти все корни уравнения
то по формуле (10) получаем:
Пример 2 . Решить уравнение
Решение . Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:
Видео:Найдите все значения корня из комплексного числа ∛-125i ★ Извлечение корня из комплексного числаСкачать
Найти радиус вектор комплексного числа
Квадратный корень из комплексного числа
Корни четвертой и пятой степени
Возведение в степень
Мнимая и действительная часть
Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):
Правила ввода выражений и функций
3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно
2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Видео:Алгебра 11 класс (Урок№40 - Тригонометрическая форма комплексного числа.)Скачать
Где учитесь?
Для правильного составления решения, укажите:
Видео:4. Показательная форма комплексного числаСкачать
Калькулятор комплексных чисел. Вычисление выражений с комплексными числами
Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.
Калькулятор комплексных чисел
Видео:ТФКП. Найти модуль и аргумент комплексных чисел. Функции комплексного переменного. Значение функции.Скачать
Как пользоваться калькулятором
- Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
- Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
- Нажмите на кнопку «Построить»
Видео:Алгебра 11 класс (Урок№39 - Геометрическая интерпретация комплексного числа.)Скачать
Ввод комплексных чисел
комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:
- Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
- Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
- Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
- Математические константы: π, e
Видео:Радиус-векторыСкачать
Поддерживаемые операции и математические функции
- Арифметические операции: +, -, *, /, ^
- Получение абсолютного значения числа: abs
- Базовые математические функции: exp, ln, sqrt
- Получение действительной и мнимой частей: re, im
- Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
- Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
- Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
- Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth
Видео:Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать
Примеры корректных выражений
- (2+3i)*(5-7i)
- sh(i)
- (4+i) / (3 — 4i)
- sqrt(2i)
- (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 — 8i)/4 — 3.75)
Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать
Комплексные числа
Комплексные числа — это числа вида x+iy , где x , y — вещественные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i 2 = -1 ).
Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.
Видео:ТФКП. Как найти все значения корня из комплексного числаСкачать
Примеры комплексных чисел
- 4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
- -2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
- i — действительная часть = 0, мнимая = 1
- -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
- 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0
Основные действия с комплексными числами
Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:
- сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
- умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
- деление:
Примеры
Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i :
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом: 5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i
Найти разность чисел 12-i и -2i :
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i
Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом: 2+3i * (5-7i) = 31 + i
Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом: 75-50i / (3+4i) = 1 — 18i
Другие действия над комплексными числами
Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:
- Получение действительной части числа: Re(z) = a
- Получение мнимой части числа: Im(z) = b
- Модуль числа: |z| = √(a 2 + b 2 )
- Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
- Экспонента: e z = e a ·cos(b) + i·e a ·sin(b)
- Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
- Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
- Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
- Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
- Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z
Примеры
Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
|z| = √(4 2 + (-3) 2 ) = √25 = 5
Формы представления комплексных чисел
Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.
- Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: x+iy , где x — действительная часть, а y — мнимая часть
- Тригонометричкая форма — запись вида r·(cos φ + isin φ) , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
- Показательная форма — запись вида r·e iφ , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))
Пример:
Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:
- Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(1 2 + 1 2 ) = √2
- Найдём аргумент числа: φ = arctan(