Найти радиус вектор комплексного числа

Комплексные числа
Найти радиус вектор комплексного числаАлгебраическая форма записи комплексных чисел
Найти радиус вектор комплексного числаСложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Найти радиус вектор комплексного числаКомплексно сопряженные числа
Найти радиус вектор комплексного числаМодуль комплексного числа
Найти радиус вектор комплексного числаДеление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Найти радиус вектор комплексного числаИзображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости
Найти радиус вектор комплексного числаАргумент комплексного числа
Найти радиус вектор комплексного числаТригонометрическая форма записи комплексного числа
Найти радиус вектор комплексного числаФормула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
Найти радиус вектор комплексного числаУмножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Найти радиус вектор комплексного числаИзвлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Найти радиус вектор комплексного числа

Содержание
  1. Алгебраическая форма записи комплексных чисел
  2. Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
  3. Комплексно сопряженные числа
  4. Модуль комплексного числа
  5. Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
  6. Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
  7. Аргумент комплексного числа
  8. Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
  9. Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
  10. Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
  11. Найти радиус вектор комплексного числа
  12. Правила ввода выражений и функций
  13. Где учитесь?
  14. Калькулятор комплексных чисел. Вычисление выражений с комплексными числами
  15. Как пользоваться калькулятором
  16. Ввод комплексных чисел
  17. Поддерживаемые операции и математические функции
  18. Примеры корректных выражений
  19. Комплексные числа
  20. Примеры комплексных чисел
  21. Основные действия с комплексными числами
  22. Примеры
  23. Другие действия над комплексными числами
  24. Примеры
  25. Формы представления комплексных чисел
  26. Пример:

Видео:Аргумент комплексного числа. Часть 1Скачать

Аргумент комплексного числа.  Часть 1

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y — произвольные вещественные числа.

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .

Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде

z = x + i y .(1)

где использован символ i , называемый мнимой единицей .

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

i 2 = – 1 .(2)

По этой причине

Видео:Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и Найти радиус вектор комплексного числау которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Найти радиус вектор комплексного числаНайти радиус вектор комплексного числа
Найти радиус вектор комплексного числаНайти радиус вектор комплексного числа
Найти радиус вектор комплексного числаНайти радиус вектор комплексного числа
Найти радиус вектор комплексного числаНайти радиус вектор комплексного числа
Найти радиус вектор комплексного числаНайти радиус вектор комплексного числа

Видео:Найти модуль и аргумент комплексного числа #maths #complexnumbers #complexanalysis #тфкп #calculusСкачать

Найти модуль и аргумент комплексного числа #maths #complexnumbers #complexanalysis #тфкп  #calculus

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Найти радиус вектор комплексного числа

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

Найти радиус вектор комплексного числа

а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:

Найти радиус вектор комплексного числаНайти радиус вектор комплексного числа
Найти радиус вектор комплексного числаНайти радиус вектор комплексного числа
Найти радиус вектор комплексного числаНайти радиус вектор комплексного числа
Найти радиус вектор комплексного числаНайти радиус вектор комплексного числа

Замечание . Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

Тригонометрическая форма комплексного числа

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле

Найти радиус вектор комплексного числа

Найти радиус вектор комплексного числа

Найти радиус вектор комплексного числа

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Найти радиус вектор комплексного числа

Деление на нуль запрещено.

Видео:Радиус векторСкачать

Радиус вектор

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

Найти радиус вектор комплексного числа

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Видео:10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числаСкачать

10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Найти радиус вектор комплексного числа

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Найти радиус вектор комплексного числа

Тогда оказывается справедливым равенство:

Найти радиус вектор комплексного числа

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

Найти радиус вектор комплексного числа(3)

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

Найти радиус вектор комплексного числа(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение
числа z
Знаки x и yГлавное значение аргументаАргументПримеры
Положительная
вещественная
полуось
0φ = 2kπНайти радиус вектор комплексного числа
Первый
квадрант
Найти радиус вектор комплексного числаНайти радиус вектор комплексного числаНайти радиус вектор комплексного числа
Положительная
мнимая
полуось
Найти радиус вектор комплексного числаНайти радиус вектор комплексного числаНайти радиус вектор комплексного числа
Второй
квадрант
Найти радиус вектор комплексного числаНайти радиус вектор комплексного числаНайти радиус вектор комплексного числа
Отрицательная
вещественная
полуось
Положительная
вещественная
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
0
Аргументφ = 2kπ
ПримерыНайти радиус вектор комплексного числа
Расположение
числа z
Первый
квадрант
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Найти радиус вектор комплексного числа
АргументНайти радиус вектор комплексного числа
ПримерыНайти радиус вектор комплексного числа
Расположение
числа z
Положительная
мнимая
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Найти радиус вектор комплексного числа
АргументНайти радиус вектор комплексного числа
ПримерыНайти радиус вектор комплексного числа
Расположение
числа z
Второй
квадрант
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Найти радиус вектор комплексного числа
АргументНайти радиус вектор комплексного числа
ПримерыНайти радиус вектор комплексного числа

x z

x z

y z

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Найти радиус вектор комплексного числа

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Найти радиус вектор комплексного числа

Найти радиус вектор комплексного числа

Найти радиус вектор комплексного числа

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Найти радиус вектор комплексного числа

Найти радиус вектор комплексного числа

Найти радиус вектор комплексного числа

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Найти радиус вектор комплексного числа

Найти радиус вектор комплексного числа

Найти радиус вектор комплексного числа

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Расположение
числа z
Отрицательная
вещественная
полуось
Знаки x и yТретий
квадрант
Знаки x и yОтрицательная
мнимая
полуось
Знаки x и yЧетвёртый
квадрант
Знаки x и y
z = r (cos φ + i sin φ) ,(5)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа .

Видео:2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

cos φ + i sin φ = e iφ .(6)

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

z = r e iφ ,(7)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа .

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

Найти радиус вектор комплексного числа

Найти радиус вектор комплексного числа

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

или, что то же самое, числа e iφ , при любом значении φ равен 1.

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел Найти радиус вектор комплексного числаи Найти радиус вектор комплексного числазаписанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Найти радиус вектор комплексного числа

Найти радиус вектор комплексного числа

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Найти радиус вектор комплексного числа

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Видео:Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷Скачать

Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть Найти радиус вектор комплексного числа— произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Корнем n — ой степени из числа z0 , где Найти радиус вектор комплексного числаназывают такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения

z n = z0 .(8)

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

Найти радиус вектор комплексного числа

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

Найти радиус вектор комплексного числа

следствием которых являются равенства

Найти радиус вектор комплексного числа(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

Найти радиус вектор комплексного числа(10)

Найти радиус вектор комплексного числа

Найти радиус вектор комплексного числа

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов zk при k = 0 , . , n – 1 располагаются в вершинах правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса Найти радиус вектор комплексного числас центром в начале координат.

Замечание . В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z1 и z2 , отличающихся знаком:

Пример 1 . Найти все корни уравнения

Найти радиус вектор комплексного числа

то по формуле (10) получаем:

Найти радиус вектор комплексного числа

Найти радиус вектор комплексного числа

Найти радиус вектор комплексного числа

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Видео:Найдите все значения корня из комплексного числа ∛-125i ★ Извлечение корня из комплексного числаСкачать

Найдите все значения корня из комплексного числа ∛-125i ★ Извлечение корня из комплексного числа

Найти радиус вектор комплексного числа

Квадратный корень из комплексного числа

Корни четвертой и пятой степени

Возведение в степень

Мнимая и действительная часть

Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Видео:Алгебра 11 класс (Урок№40 - Тригонометрическая форма комплексного числа.)Скачать

Алгебра 11 класс (Урок№40 - Тригонометрическая форма комплексного числа.)

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Видео:4. Показательная форма комплексного числаСкачать

4. Показательная форма комплексного числа

Калькулятор комплексных чисел. Вычисление выражений с комплексными числами

Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.

Калькулятор комплексных чисел

Видео:ТФКП. Найти модуль и аргумент комплексных чисел. Функции комплексного переменного. Значение функции.Скачать

ТФКП. Найти модуль и аргумент комплексных чисел. Функции комплексного переменного. Значение функции.

Как пользоваться калькулятором

  1. Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
  2. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
  3. Нажмите на кнопку «Построить»

Видео:Алгебра 11 класс (Урок№39 - Геометрическая интерпретация комплексного числа.)Скачать

Алгебра 11 класс (Урок№39 - Геометрическая интерпретация комплексного числа.)

Ввод комплексных чисел

комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:

  • Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
  • Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
  • Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
  • Математические константы: π, e

Видео:Радиус-векторыСкачать

Радиус-векторы

Поддерживаемые операции и математические функции

  • Арифметические операции: +, -, *, /, ^
  • Получение абсолютного значения числа: abs
  • Базовые математические функции: exp, ln, sqrt
  • Получение действительной и мнимой частей: re, im
  • Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
  • Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
  • Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
  • Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

Видео:Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Изобразить область на комплексной плоскости

Примеры корректных выражений

  • (2+3i)*(5-7i)
  • sh(i)
  • (4+i) / (3 — 4i)
  • sqrt(2i)
  • (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 — 8i)/4 — 3.75)

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.

Комплексные числа

Комплексные числа — это числа вида x+iy , где x , y — вещественные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i 2 = -1 ).
Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.

Видео:ТФКП. Как найти все значения корня из комплексного числаСкачать

ТФКП. Как найти все значения корня из комплексного числа

Примеры комплексных чисел

  • 4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
  • -2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
  • i — действительная часть = 0, мнимая = 1
  • -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
  • 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Основные действия с комплексными числами

Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

  • сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
  • умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
  • деление:

Примеры

Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i :
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом: 5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i

Найти разность чисел 12-i и -2i :
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i

Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом: 2+3i * (5-7i) = 31 + i

Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом: 75-50i / (3+4i) = 1 — 18i

Другие действия над комплексными числами

Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

  • Получение действительной части числа: Re(z) = a
  • Получение мнимой части числа: Im(z) = b
  • Модуль числа: |z| = √(a 2 + b 2 )
  • Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
  • Экспонента: e z = e a ·cos(b) + i·e a ·sin(b)
  • Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
  • Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
  • Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
  • Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
  • Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z

Примеры

Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
|z| = √(4 2 + (-3) 2 ) = √25 = 5

Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.

  • Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: x+iy , где x — действительная часть, а y — мнимая часть
  • Тригонометричкая форма — запись вида r·(cos φ + isin φ) , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
  • Показательная форма — запись вида r·e iφ , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))

Пример:

Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:

  • Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(1 2 + 1 2 ) = √2
  • Найдём аргумент числа: φ = arctan(

Поделиться или сохранить к себе: