Найти путь по вектору скорости

В очередной раз меня попросили решить пару задачек по физике, и я вдруг обнаружил, что не могу решить их с ходу. Немного погуглив, я обнаружил, что сайты в топе выдачи содержат сканы одного и того же учебника и не описывают конкретных примеров решений задачи о том, как найти вектор скорости и ускорения материальной точки. По-этому я решил поделиться с миром примером своего решения.

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор

Подзабыв этот раздел математики, в моей памяти уравнения движения материальной точки всегда представлялись при помощи знакомой всем нам зависимости y(x) , и взглянув на текст задачи, я немного опешил когда увидел векторы. Оказалось, что существует представление траектории материальной точки при помощи радиус-вектора – вектора, задающего положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Формула траектория движения материальной точки помимо радиус-вектора описывается так же ортами – единичными векторами i, j , k в нашем случае совпадающими с осями системы координат. И, наконец, рассмотрим пример уравнения траектории материальной точки (в двумерном пространстве):

Что интересного в данном примере? Траектория движения точки задается синусами и косинусами, как вы думаете, как будет выглядеть график в всем нам знакомом представлении y(x) ? “Наверное какой-то жуткий”, подумали вы, но все не так сложно как кажется! Попробуем построить траекторию движения материальной точки y(x), если она движется по представленному выше закону:

Здесь я заметил квадрат косинуса, если вы в каком-нибудь примере видите квадрат синуса или косинуса, это значит что нужно применять основное тригонометрическое тождество, что я и сделал (вторая формула) и преобразовал формулу координаты y, чтобы вместо синуса подставить в нее формулу изменения x:

В итоге жуткий закон движения точки оказался обычной параболой, ветви которой направлены вниз. Надеюсь, вы поняли примерный алгоритм построения зависимости y(x) из представления движения через радиус-вектор. Теперь перейдем к нашему главному вопросу: как же найти вектор скорости и ускорения материальной точки, а так же их модули.

Вектор скорости материальной точки

Всем известно, что скорость материальной точки – это величина пройденного пути точкой за единицу времени, то есть производная от формулы закона движения. Чтобы найти вектор скорости нужно взять производную по времени. Давайте рассмотрим конкретный пример нахождения вектора скорости.

Пример нахождения вектора скорости

Имеем закон перемещения материальной точки:

Теперь нужно взять производную от этого многочлена, если вы забыли как это делается, то вот вам таблица производных различных функций. В итоге вектор скорости будет иметь следующий вид:

Все оказалось проще, чем вы думали, теперь найдем вектор ускорения материальной точки по тому же самому закону, представленному выше.

Как найти вектор ускорения материальной точки

Вектор ускорения точки это векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Чтобы найти вектор ускорения материальной точки в нашем примере, нужно взять производную, но уже от формулы вектора скорости, представленной чуть выше:

Модуль вектора скорости точки

Теперь найдем модуль вектора скорости материальной точки. Как вы знаете из 9-го класса, модуль вектора – это его длина, в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. И откуда же из полученного нами выше вектора скорости взять его координаты спросите вы? Все очень просто:

Теперь достаточно только подставить время, указанное в задаче и получить конкретное числовое значение.

Модуль вектора ускорения

Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:

Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.

Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения

А вот тут вы можете найти примеры решения и других задач по физике на тему “механика твердых тел”. А для тех, кто не совсем понял как найти вектор скорости и ускорения, вот вам еще парочка примеров из сети без всяких лишних объяснений, надеюсь, они вам помогут.

Если у вас возникли какие-нибудь вопросы, вы можете задать их в комментариях.

Вычисление перемещения по графику проекции скорости

Из кодификатора по физике, 2020.
«1.1.3. Вычисление перемещения по графику зависимости υ(t).»

Теория

Пусть задан график зависимости проекции скорости от времени t (рис. 1).

Проекция перемещении тела за промежуток времени от до численно равна по величине площади фигуры, ограниченной графиком , осью времени 0t и перпендикулярами к и (см. рис. 1, площадь выделена штриховкой).

Проекцию перемещения на ось 0Х будем считать:

— положительной, если проекция скорости на данную ось будет положительной (тело движется по направлению оси) (см. рис. 1);

— отрицательной, если проекция скорости на данную ось будет отрицательной (тело движется против оси) (рис. 2).

Путь s может быть только положительным:

Напоминаем формулы для расчета площадей фигур:

Задачи

Задача 1. По графику проекции скорости тела (рис. 3) определите проекцию его перемещения между 1 и 5 с.

Решение. Проекция перемещения за промежуток времени Δt= – =5с–1с=4c численно равна площади фигуры, ограниченной графиком , осью времени 0t и перпендикулярами к с и с (рис. 4, площадь выделена штриховкой). Фигура ABCD — это трапеция, ее площадь равна

где DC = Δt = 4 c, AD = 3 м/c, BC = 5 м/c. Тогда S = 16 м.
Проекция перемещения 0′ alt=’_>0′ />, т.к. проекция скорости 0′ alt=’_>0′ />.
м.

Задача 2. Автомобиль движется по прямой улице вдоль оси X. На рисунке 5 представлен график зависимости проекции скорости автомобиля от времени. Определите путь, пройденный автомобилем в течение указанных интервалов времени.

В бланк ответов перенесите только числа, не разделяя их пробелом или другим знаком.

Решение. Путь за промежуток времени Δt = – численно равна площади фигуры, ограниченной графиком осью времени 0t и перпендикулярами к и .

На интервале [0 с, 10 с] ищем площадь треугольника (рис. 6).

где a = 20 м/c, . Тогда м.

Путь равен значению площади (путь всегда положительный, т.е. s > 0).

На интервале [30 с, 40 с] ищем площадь трапеции (см. рис. 6).

где a = 10 м/c, b = 15 м/c, h = Δt = 40 c – 30 с = 10 с. Тогда м.

Задача 3. Определите за первые 4 с (рис. 7):

а) проекцию перемещения тела;

б) пройденный путь.

Ответ: а) ____ м; б) ____ м.

Решение. Проекция перемещения за время (пер-вые 4 с) численно равна площади фигуры, ограниченной графиком , осью времени 0t и перпендикулярами к с и с (рис. 8, площадь выделена штриховкой).

Так как при с проекция скорости поменяла знак, то получили две фигуры, два треугольника, площади которых равны:

а) Проекция перемещения 0′ alt=’_>0′ />, т.к. проекция скорости 0′ alt=’_>0′ />; проекция перемещения , т.к. проекция скорости . В итоге получаем: 45м — 5м = 40 м. б) Путь равен значению площади (путь всегда положительный, т.е. s>0).

, s = 45 м + 5 м = 50 м.

Задача 4. График зависимости проекции скорости материальной точки, движущейся вдоль оси 0Х, от времени изображен на рисунке 9. Определите перемещение точки, которое она совершила за первые 6 с.

Решение. Проекция перемещения за время (пер-вые 6 с) численно равна площади фигуры, ограниченной графиком , осью времени 0t и перпендикулярами к и (рис. 10, площадь выделена штриховкой).

Так как при и проекция скорости меняет знак, то получили три фигуры, три треугольника, площади которых равны:

Проекция перемещения 0′ alt=’_>0′ />, т.к. проекция скорости 0′ alt=’_>0′ />.

Проекция перемещения , т.к. проекция скорости . Проекция перемещения 0′ alt=’_>0′ />, т.к. проекция скорости 0′ alt=’_>0′ />. В итоге получаем:

Как найти путь по графику скорости?

Правило определения пути по графику v(t): Путь тела — это площадь треугольника (или трапеции) под графиком скорости. Правило определения ускорения по графику v(t): Ускорение тела — это тангенс угла наклона графика к оси времени.

Как найти пройденный путь в физике по графику?

Формула выглядит следующим образом:

1. s = v 0 t + a t 2 2 , где а — это ускорение. …
2. Зависимость ускорения от времени. …
3. Зависимость скорости от времени. …
4. Правило определения пути по графику v(t): численное значение перемещения (пути) — это площадь прямоугольника под графиком скорости.
5. Зависимость пути от времени.

Как составить уравнение скорости по графику?

График скорости График скорости — графическое представление уравнения скорости тела v = v(t). График v(t) служит для описания движение тела. На этом графике представлено равноУскоренное движение.

Как найти путь пройденный телом?

Путь, пройденный телом при любом движении, равен площади под графиком скорости на заданном промежутке времени.

Как найти путь в физике формула?

Длин пути, который прошла материальная точка из начального положения – скалярная функция времени: s=s(t). где – вектор элементарного перемещения материальной точки, v – модуль скорости ее движения.

Что такое пройденный путь?

Пройденный путь – это скалярная величина, т. е. величина, которая характеризуется только числовым значением. А значит, предсказать, где тело окажется в нужный нам момент времени, мы не сможем.

Как составить уравнение движения тела?

х=х +v_хt. Это уравнение есть уравнение равномерного прямолинейного движения точки, записанное в координатной форме. Оно позволяет найти координату х тела при этом движении в любой момент времени, если известны проекция его скорости на ось ОX и его начальная координата х .

Как записать уравнение проекции скорости?

Зависимость проекции скорости движущегося тела от времени имеет вид: v_x = 2 + 3t (м/с).