Найти площадь параллелограмма и треугольника построенных на векторах

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь параллелограмма построенного на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади параллелограмма построенного на векторах и закрепить пройденый материал.

Видео:Площадь параллелограмма по векторамСкачать

Калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах

Выберите каким образом задается параллелограмм:

Введите значения векторов: Введите координаты трех любых вершин параллелограмма:

Инструкция использования калькулятора для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах

Ввод данных в калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади параллелограмма построенного на векторах

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторахСкачать

Теория. Площадь параллелограмма построенного на векторах.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: онлайн-калькулятор

Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах, нужны значения этих векторов или координаты точек. Онлайн-калькулятор выдает подробное решение и ответ. В зависимости от введенных данных программа подбирает формулы для расчета в нужной последовательности.

Сервисом пользуются школьники и студенты, когда надо быстро найти площадь параллелограмма – на контрольной, зачете, экзамене. Также по готовому решению задачи удобно изучать новую тему.

1. В форме представления параллелограмма выберите способ «Двумя векторами сторон».
   
2. Введите значения векторов в соответствующие поля. Отправьте задание на вычисление кнопкой «Рассчитать».
   
3. Получаем решение и ответ.
   
   

1. В форме представления параллелограмма выберите способ «Координатами точек».
   
2. Введите координаты вершин в соответствующие поля. Отправьте задание на вычисление кнопкой «Рассчитать».
   
   
3. Получаем решение и ответ.
   
   
   

Видео:Площадь треугольника, построенного на векторахСкачать

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Как найти площадь параллелограмма

Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах, необходимо вычислить произведение длин векторов и синуса угла между ними. В заданиях, где длины векторов неизвестны, а даны координаты векторов, необходимо произвести следующие вычисления:

1. Найти векторы a ⇀ и b ↔ по точкам.
2. Вычислить произведение векторов.
3. Рассчитать модуль вектора c → .
4. Высчитать площадь S = a → × b →

Использование онлайн-калькулятора позволяет не думать о выборе способа решения, а просто ввести данные и получить поэтапные вычисления и ответ. Такой вариант подойдет учащимся, их родителям, преподавателям, инженерам.

Сервис позволяет узнать, чему равна площадь параллелограмма и других фигур, а также решить задачи на любую тему по алгебре и геометрии. Для этого не придется платить, регистрироваться на сайте, долго ждать. Расчеты производятся онлайн. Вы можете осваивать новую тему или сверяться с собственным решением неограниченное количество раз.

Если тема осталась непонятной, напишите консультанту. Наш сотрудник подберет вам преподавателя по выгодной цене или организует онлайн-помощь на зачете.

Видео:Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах.Скачать

Площадь параллелограмма, построенного на векторах — формула и примеры решения задач

Видео:как найти площадь параллелограмма построенного на векторахСкачать

Четырехугольник и вектор на плоскости

Каждый школьник понимает, что параллелограмм является специальным видом плоских четырехугольников. Эта фигура состоит из двух пар параллельных пересекающихся отрезков. Она обладает следующими важными свойствами:

• ее противоположные стороны и углы равны друг другу;
• сумма всех четырех углов составляет 360 градусов;
• если просуммировать лишь два смежных (прилежащих к одной стороне) угла, то получится значение 180 градусов;
• любая диагональ делит фигуру на две равные части (треугольники);
• пересечение диагоналей происходит в точке, которая является геометрическим и массовым центром параллелограмма;
• любая секущая, которая проходит через геометрический центр, делит фигуру на две равные по площади части.

Специальные типы

Исходя из определения параллелограмма, как четырехугольника с параллельными и равными по длине противоположными сторонами, можно привести несколько видов фигуры, которые обладают высокой симметрией по отношению к ряду элементарных операций. Это следующие геометрические типы:

1. Квадрат. Все четыре стороны его равны по длине между собой, а углы составляют 90 градусов. Он является фигурой с достаточно высокой симметрией, и его площадь вычисляется просто как квадрат длины любой его стороны.
2. Прямоугольник. Еще один вид параллелограмма, все углы которого являются прямыми. Его симметрия несколько ниже, чем у квадрата, поскольку длины сторон равны лишь попарно. Площадь фигуры можно вычислить, перемножив длины смежных сторон.
3. Ромб. Специальный геометрический тип параллелограмма, который характеризуется тем, что длины всех его сторон являются одинаковыми. Углы фигуры попарно равны и отличаются от 90 градусов (два тупых и два острых).

Направленные отрезки и операция умножения

Площадь параллелограмма через векторы рассчитать легко, если знать понятие направленного отрезка и уметь работать с соответствующими математическими операциями. Поскольку любая точка на плоскости может быть представлена в виде набора двух координат в декартовой прямоугольной системе, то для P и Q можно записать:

P (x1, y1); Q (x2, y2).

Где числа x1, y1, x2 и y2 являются соответствующими координатами для точек P и Q по осям абсцисс и ординат. Чтобы получить вектор PQ-, который будет направлен из P в точку Q, необходимо из координат Q попарно вычесть значения для P:

PQ- = Q — P = (x2-x1, y2-y1).

Координаты направленного отрезка на плоскости определяются так же, как и для точки, набором из двух чисел. Чтобы построить такой вектор в системе координат, необходимо его начало расположить в точке (0, 0), а конец со стрелкой будет располагаться в точке (x2-x1, y2-y1). Из этой геометрической интерпретации следует, что существует бесконечное множество направленных отрезков, которые эквивалентны между собой. Получаются они друг из друга с помощью параллельного переноса по всей плоскости координат.

Как и числа, направленные отрезки также можно складывать между собой, вычитать и умножать. Рассматривая вопрос построение параллелограмма на векторах и нахождения его площади, необходимо изучить свойства векторного произведения. Оно представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат исходные направленные отрезки. Пусть a- и b- необходимо умножить векторно. Результатом произведения будет следующий вектор c-:

c- = [a-*b-] = |a-|*|b-|*sin (alfa).

Здесь alfa — угол между a- и b-, а |a-| и |b-| — длины соответствующих направленных отрезков.

Направление c- принято определять с помощью правила правой руки. Оно гласит: если четыре пальца ладони направить от конца первого умножаемого вектора к концу второго, то оттопыренный большой палец укажет направление результирующего векторного умножения.

Координаты вектора c- можно вычислить также, если воспользоваться понятием определителя матрицы. Пусть a- имеет координаты (a1, a2), а b- = (b1, b2), тогда формула для определения c- запишется в следующем виде:

c- = (0, 0, (a1*b2-b1*a2)).

Вектор c- имеет первые две нулевые координаты, поскольку он перпендикулярен плоскости, в которой находятся a- и b-.

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Формула площади из геометрии

Чтобы получить формулу площади параллелограмма на векторах, необходимо вспомнить, как рассчитывается эта величина для треугольника. Если известна одна сторона (основание a) и высота, которая на нее опущена (h), то получается простое выражение:

Где S3 — площадь треугольника. Поскольку две таких плоских фигуры, которые соединены одной из своих сторон, образуют четырехугольник-паралелограм, то для него рассмотренную величину можно вычислить по формуле:

Пусть вторая сторона параллелограмма равна b, тогда с высотой h она связана через определение тригонометрической функции синус:

sin (alfa) = h/b => h = b*sin (alfa).

Если подставить это равенство в выражение для S4, то нахождение площади фигуры сведется к расчету произведения двух его смежных сторон и синуса угла между ними:

Поскольку угол alfa изменяется от 0 до 180 градусов, то функция синус всегда имеет положительное значение. Этой формулой часто пользуются на практике. Распространение инженерных калькуляторов позволяет быстро и с высокой точностью вычислять синусы любых углов.

Построение параллелограмма

Определить площадь четырехугольника с попарно параллельными сторонами можно не только через длины его сторон. Если внимательно посмотреть на формулу для S4, то можно заметить, что она идентична по виду векторному произведению направленных отрезков.

Пусть имеется два вектора a- и b-. Угол между ними равен alfa. Если их начала совместить в одной точке на плоскости, затем, от конца a- продолжить вектор b-, а из b- начертить a-, то получится параллелограмм, побудованый на a- и b-. Очевидно, что модуль векторного произведения этих направленных отрезков будет равен площади полученной фигуры:

S4 = a*b*sin (alfa) = |[a-*b-]|.

Применяя координатное выражение этого произведения, можно записать следующую формулу для площади:

Где a- = (a1,a2) и b-=(b1,b2). Знак модуля необходим потому, что по правилу правой руки могут получаться отрицательные векторы. Площадь же является всегда величиной положительной.

Преимущество последней записанной формулы для S4 по сравнению с выражением, где необходимо знать длины и углы, заключается в том, что ее использование не требует никаких предварительных вычислений. Достаточно лишь знать координаты конца и начала образующих параллелограмм векторов.

Задача с тремя точками

Чтобы научиться пользоваться записанной простой формулой, следует решить простую задачу. Имеется три точки, координаты которых следующие:

На вершинах этих точек следует построить параллелограмм, а затем, рассчитать его площадь S4.

Задачу проще всего решать через использование векторов. Выберем произвольную точку из трех заданных. Пусть это будет A. Из нее выходит два вектора: AB- и AC-. Их координаты определяются таким образом:

AB- = (2−1, 0-(-1)) = (1, 1); AC- = (-4−1, 3- (-1)) = (-5, 4).

Чтобы определить площадь параллелограмма на этих векторах, следует применить формулу для их векторного произведения. Порядок умножения направленных отрезков не имеет значения. Получается следующий результат:

S4 = [AB-*AC-] = 1*4 — (-5)*1 = 9.

Результат получен в единицах квадратных соответствующей двумерной системы координат.

Если была выбрана в качестве исходной не точка A, а B или C, то получился бы тот же результат, что можно доказать, проделав аналогичные вычисления.

Видео:Решение, найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b пример 3. Высшая математика.Скачать

Диагонали фигуры

Некоторые задачи по геометрии параллелограммов в качестве начального условия предлагают знание одной или двух его диагоналей. По этим данным необходимо вычислить характеристики всей фигуры, включая ее площадь. Решать такие задачи также удобно с использованием понятия векторов.

Если дана диагональ, выраженная вектором f- и основание, представленное направленным отрезком a-, то формула для площади параллелограмма имеет вид:

Где beta — угол между a- и f-. Видно, что это выражение не отличается от предыдущих для S4. Доказать его справедливость несложно, если рассмотреть построенные на указанных векторах треугольники и использовать признаки их подобия.

Другой случай, когда даны обе диагонали параллелограмма f- и e-. Воспользовавшись геометрическими построениями на плоскать, можно показать справедливость следующего выражения:

Здесь teta — это угол пересечения e- и f-. Таким образом, чтобы вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат вектора, следует вычислить половину модуля их векторного произведения.

Видео:Найти площадь треугольника на векторахСкачать

Пример решения

Все разнообразие задач на определение площади параллелограмма сводится к знанию единственной формулы векторного произведения. Пусть известны две диагонали фигуры. Они имеют координаты:

Чтобы определить величину S4, достаточно без промежуточных вычислений воспользоваться формулой векторного произведения заданных направленных отрезков:

В связи с развитием интернета, всегда можно использовать калькулятор-онлайн для расчета величины S4. Соответствующий электронный ресурс можно знайти, воспользовавшись любой поисковой системой в браузере.

Видео:8 класс, 13 урок, Площадь параллелограммаСкачать

Трехмерное пространство

В пространственной системе координат каждый вектор задается тремя числами, поэтому их векторное произведение c- также будет представлять набор трех цифр. Построенный в пространстве параллелограмм на двух векторах будет иметь площадь, равную длине направленного отрезка c-. Для расчета его модуля следует использовать известное выражение: сумма квадратов трех координат под корнем.

Таким образом, площадь параллелограмма проще всего вычислять, используя операцию умножения векторов. Этот метод является универсальным не только для задач на плоскости, но и для решения проблем в трехмерной системе координат.

📸 Видео

Найти угол между векторами и площадь параллелограмма, построенного на этих векторахСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

1. Векторы и параллелограмм задачи №1Скачать

Решение, найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a=3p−2q и b=p+5q пример 18Скачать

§16 Нахождение площади параллелограммаСкачать

§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

Решение, найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b пример 9Скачать

Решение, вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a=p+2q и b=3p−q пример 12Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№9 - Площадь параллелограмма.)Скачать