Найти параллельные прямые рис 1

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Найти параллельные прямые рис 1). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Найти параллельные прямые рис 1

Найти параллельные прямые рис 1

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Содержание
  1. Определения параллельных прямых
  2. Признаки параллельности двух прямых
  3. Аксиома параллельных прямых
  4. Обратные теоремы
  5. Пример №1
  6. Параллельность прямых на плоскости
  7. Две прямые, перпендикулярные третьей
  8. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  9. Признаки параллельности прямых
  10. Пример №2
  11. Пример №3
  12. Пример №4
  13. Аксиома параллельных прямых
  14. Пример №5
  15. Пример №6
  16. Свойства параллельных прямых
  17. Пример №7
  18. Пример №8
  19. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  20. Расстояние между параллельными прямыми
  21. Пример №9
  22. Пример №10
  23. Справочный материал по параллельным прямым
  24. Перпендикулярные и параллельные прямые
  25. Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых
  26. Признаки параллельности прямых
  27. Параллельность прямых
  28. Определение параллельности прямых
  29. Свойства и признаки параллельных прямых
  30. Задача 1
  31. Задача 2
  32. 🔥 Видео

Видео:Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Найти параллельные прямые рис 1имеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Найти параллельные прямые рис 1, но не принадлежит прямой Найти параллельные прямые рис 1. Говорят, что прямые Найти параллельные прямые рис 1пересекаются в точке М.
Найти параллельные прямые рис 1

Это можно записать так: Найти параллельные прямые рис 1— знак принадлежности точки прямой, «Найти параллельные прямые рис 1» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Найти параллельные прямые рис 1параллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Найти параллельные прямые рис 1

Найти параллельные прямые рис 1

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Найти параллельные прямые рис 1перпендикулярны (рис. 12), то пишут Найти параллельные прямые рис 1

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Найти параллельные прямые рис 1

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аНайти параллельные прямые рис 1b.
  2. Если Найти параллельные прямые рис 11 = Найти параллельные прямые рис 12 = 90°, то а Найти параллельные прямые рис 1АВ и b Найти параллельные прямые рис 1АВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аНайти параллельные прямые рис 1b.
  3. Если Найти параллельные прямые рис 11 = Найти параллельные прямые рис 12Найти параллельные прямые рис 190°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Найти параллельные прямые рис 1a.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Найти параллельные прямые рис 1ОFА = Найти параллельные прямые рис 1ОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Найти параллельные прямые рис 11 = Найти параллельные прямые рис 12). Из равенства этих треугольников следует, что Найти параллельные прямые рис 1З = Найти параллельные прямые рис 14 и Найти параллельные прямые рис 15 = Найти параллельные прямые рис 16.
  6. Так как Найти параллельные прямые рис 13 = Найти параллельные прямые рис 14, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Найти параллельные прямые рис 15 = Найти параллельные прямые рис 16 следует, что Найти параллельные прямые рис 16 = 90°. Получаем, что а Найти параллельные прямые рис 1FF1 и b Найти параллельные прямые рис 1FF1, а аНайти параллельные прямые рис 1b.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Найти параллельные прямые рис 11 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Найти параллельные прямые рис 11 = Найти параллельные прямые рис 12. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Найти параллельные прямые рис 1
2) Заметим, что Найти параллельные прямые рис 12 = Найти параллельные прямые рис 13 как вертикальные углы.

3) Из равенств Найти параллельные прямые рис 11 = Найти параллельные прямые рис 12 и Найти параллельные прямые рис 12 = Найти параллельные прямые рис 13 следует, что Найти параллельные прямые рис 11 = Найти параллельные прямые рис 13. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аНайти параллельные прямые рис 1b.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Найти параллельные прямые рис 1AOF = Найти параллельные прямые рис 1ABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Найти параллельные прямые рис 11 + Найти параллельные прямые рис 12 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Найти параллельные прямые рис 13 + Найти параллельные прямые рис 12 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Найти параллельные прямые рис 1l + Найти параллельные прямые рис 12 = 180° и Найти параллельные прямые рис 13 + Найти параллельные прямые рис 12 = 180° следует, что Найти параллельные прямые рис 11 = Найти параллельные прямые рис 13.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Найти параллельные прямые рис 1a проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Найти параллельные прямые рис 1

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аНайти параллельные прямые рис 1b (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Найти параллельные прямые рис 1

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Найти параллельные прямые рис 11 = Найти параллельные прямые рис 1F и Найти параллельные прямые рис 12 = Найти параллельные прямые рис 1F (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аНайти параллельные прямые рис 1b.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Найти параллельные прямые рис 1

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Найти параллельные прямые рис 1

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Найти параллельные прямые рис 12 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Найти параллельные прямые рис 12 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Найти параллельные прямые рис 1b. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Найти параллельные прямые рис 11 = Найти параллельные прямые рис 12.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Найти параллельные прямые рис 13 = Найти параллельные прямые рис 1B как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Найти параллельные прямые рис 11 = Найти параллельные прямые рис 13. Кроме того, Найти параллельные прямые рис 12 = Найти параллельные прямые рис 13, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Найти параллельные прямые рис 11 = Найти параллельные прямые рис 13 и Найти параллельные прямые рис 12 = Найти параллельные прямые рис 13 следует, что Найти параллельные прямые рис 11 = Найти параллельные прямые рис 12.

Найти параллельные прямые рис 1

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Найти параллельные прямые рис 14 = Найти параллельные прямые рис 1BAF. Действительно, Найти параллельные прямые рис 14 и Найти параллельные прямые рис 1FAC равны как соответственные углы, a Найти параллельные прямые рис 1FAC = Найти параллельные прямые рис 1BAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Найти параллельные прямые рис 11 + Найти параллельные прямые рис 12 = 180° (рис. 97, а).

Найти параллельные прямые рис 1

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Найти параллельные прямые рис 11 = Найти параллельные прямые рис 13.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Найти параллельные прямые рис 12 + Найти параллельные прямые рис 13= 180°.

4) Из равенств Найти параллельные прямые рис 1= Найти параллельные прямые рис 13 и Найти параллельные прямые рис 12 + Найти параллельные прямые рис 13 = 180° следует, что Найти параллельные прямые рис 11 + Найти параллельные прямые рис 12 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Найти параллельные прямые рис 1BAF + Найти параллельные прямые рис 1TFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сНайти параллельные прямые рис 1а (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Найти параллельные прямые рис 1

Так как Найти параллельные прямые рис 11 = 90°, то и Найти параллельные прямые рис 12 = Найти параллельные прямые рис 11 = 90°, а, значит, сНайти параллельные прямые рис 1b.

Что и требовалось доказать.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1параллельны, то есть Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1 Найти параллельные прямые рис 1(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Найти параллельные прямые рис 1, лучи АВ и КМ.

Найти параллельные прямые рис 1

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1, Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1, то Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1 Найти параллельные прямые рис 1(рис. 161).

Найти параллельные прямые рис 1

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Найти параллельные прямые рис 1(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Найти параллельные прямые рис 1, перпендикулярную прямой Найти параллельные прямые рис 1. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Найти параллельные прямые рис 1и строят другую перпендикулярную прямую Найти параллельные прямые рис 1, затем — третью прямую Найти параллельные прямые рис 1и т. д. Поскольку прямые Найти параллельные прямые рис 1, Найти параллельные прямые рис 1, Найти параллельные прямые рис 1перпендикулярны одной прямой Найти параллельные прямые рис 1, то из указанной теоремы следует, что Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1, Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1, Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1.

Найти параллельные прямые рис 1

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Найти параллельные прямые рис 1

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Найти параллельные прямые рис 1, параллельной прямой Найти параллельные прямые рис 1и проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1 Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1, то Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1третьей прямой Найти параллельные прямые рис 1, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Найти параллельные прямые рис 1

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Найти параллельные прямые рис 13 иНайти параллельные прямые рис 15,Найти параллельные прямые рис 14 иНайти параллельные прямые рис 16 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Найти параллельные прямые рис 12 иНайти параллельные прямые рис 18,Найти параллельные прямые рис 11 иНайти параллельные прямые рис 17 — внешние накрест лежащие углы;
  • Найти параллельные прямые рис 12 иНайти параллельные прямые рис 16,Найти параллельные прямые рис 13 иНайти параллельные прямые рис 17,Найти параллельные прямые рис 11 иНайти параллельные прямые рис 15,Найти параллельные прямые рис 14 иНайти параллельные прямые рис 18 — соответственные углы;
  • Найти параллельные прямые рис 13 иНайти параллельные прямые рис 16,Найти параллельные прямые рис 14 иНайти параллельные прямые рис 15 — внутренние односторонние углы;
  • Найти параллельные прямые рис 12 иНайти параллельные прямые рис 17,Найти параллельные прямые рис 11 иНайти параллельные прямые рис 18 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Найти параллельные прямые рис 1

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1— данные прямые, АВ — секущая, Найти параллельные прямые рис 11 =Найти параллельные прямые рис 12 (рис. 166).

Найти параллельные прямые рис 1

Доказать: Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Найти параллельные прямые рис 1и продлим его до пересечения с прямой Найти параллельные прямые рис 1в точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Найти параллельные прямые рис 11 = Найти параллельные прямые рис 12 по условию, Найти параллельные прямые рис 1BMK =Найти параллельные прямые рис 1AMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Найти параллельные прямые рис 1ANM =Найти параллельные прямые рис 1BKM = 90°. Тогда прямые Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1перпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Найти параллельные прямые рис 11 =Найти параллельные прямые рис 12 (рис. 167).

Найти параллельные прямые рис 1

Доказать: Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1и секущей Найти параллельные прямые рис 1. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Найти параллельные прямые рис 1l +Найти параллельные прямые рис 12 = 180° (рис. 168).

Найти параллельные прямые рис 1

Доказать: Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1и секущей Найти параллельные прямые рис 1. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Найти параллельные прямые рис 1

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Найти параллельные прямые рис 1AOB = Найти параллельные прямые рис 1DOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Найти параллельные прямые рис 1BAO=Найти параллельные прямые рис 1CDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Найти параллельные прямые рис 1BAK = 26°, Найти параллельные прямые рис 1ADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Найти параллельные прямые рис 1

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Найти параллельные прямые рис 1BAC = 2 •Найти параллельные прямые рис 1BAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Найти параллельные прямые рис 1ADK +Найти параллельные прямые рис 1BAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Найти параллельные прямые рис 1

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Найти параллельные прямые рис 11=Найти параллельные прямые рис 12. Так как Найти параллельные прямые рис 1BAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Найти параллельные прямые рис 11 =Найти параллельные прямые рис 13 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Найти параллельные прямые рис 12 =Найти параллельные прямые рис 13. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1и секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Найти параллельные прямые рис 1||Найти параллельные прямые рис 1.

Реальная геометрия

Найти параллельные прямые рис 1

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Найти параллельные прямые рис 1

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Найти параллельные прямые рис 1проходит через точку М и параллельна прямой Найти параллельные прямые рис 1(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Найти параллельные прямые рис 1в некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Найти параллельные прямые рис 1

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Найти параллельные прямые рис 1||Найти параллельные прямые рис 1, Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1(рис. 187).

Найти параллельные прямые рис 1

Доказать: Найти параллельные прямые рис 1||Найти параллельные прямые рис 1.

Доказательство:

Предположим, что прямые Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1, параллельные третьей прямой Найти параллельные прямые рис 1. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Найти параллельные прямые рис 1||Найти параллельные прямые рис 1. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Найти параллельные прямые рис 11 =Найти параллельные прямые рис 12,Найти параллельные прямые рис 13 =Найти параллельные прямые рис 14. Доказать, что Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1.

Найти параллельные прямые рис 1

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1по признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1. Так как Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1, то Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1по теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Найти параллельные прямые рис 1

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Найти параллельные прямые рис 1, которая параллельна прямой Найти параллельные прямые рис 1по признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1не пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1, которые параллельны прямой Найти параллельные прямые рис 1. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1пересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1, АВ — секущая,Найти параллельные прямые рис 11 иНайти параллельные прямые рис 12 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Найти параллельные прямые рис 1

Доказать: Найти параллельные прямые рис 11 =Найти параллельные прямые рис 12.

Доказательство:

Предположим, чтоНайти параллельные прямые рис 11 Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 12. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1по признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1, параллельные прямой Найти параллельные прямые рис 1. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иНайти параллельные прямые рис 11 =Найти параллельные прямые рис 12. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1, Найти параллельные прямые рис 1— секущая,Найти параллельные прямые рис 11 иНайти параллельные прямые рис 12 — соответственные (рис. 196).

Найти параллельные прямые рис 1

Доказать:Найти параллельные прямые рис 11 =Найти параллельные прямые рис 12.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Найти параллельные прямые рис 11 =Найти параллельные прямые рис 12. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1, Найти параллельные прямые рис 1— секущая,Найти параллельные прямые рис 11 иНайти параллельные прямые рис 12 — внутренние односторонние (рис. 197).

Найти параллельные прямые рис 1

Доказать:Найти параллельные прямые рис 1l +Найти параллельные прямые рис 12 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Найти параллельные прямые рис 12 +Найти параллельные прямые рис 13 = 180°. По свойству параллельных прямыхНайти параллельные прямые рис 1l =Найти параллельные прямые рис 13 как накрест лежащие. Следовательно,Найти параллельные прямые рис 1l +Найти параллельные прямые рис 12 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1, т. е.Найти параллельные прямые рис 11 = 90°. Согласно следствию Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1, т. е.Найти параллельные прямые рис 12 = 90°.

Найти параллельные прямые рис 1

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Найти параллельные прямые рис 1

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Найти параллельные прямые рис 1АОВ =Найти параллельные прямые рис 1DOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Найти параллельные прямые рис 1

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Найти параллельные прямые рис 1ABD =Найти параллельные прямые рис 1CDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Найти параллельные прямые рис 1ADB =Найти параллельные прямые рис 1CBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1параллельны, то пишут: Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1(рис. 211).

Найти параллельные прямые рис 1

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Найти параллельные прямые рис 1

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Найти параллельные прямые рис 1

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеНайти параллельные прямые рис 12 =Найти параллельные прямые рис 13. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоНайти параллельные прямые рис 11 =Найти параллельные прямые рис 13. Значит,Найти параллельные прямые рис 11 =Найти параллельные прямые рис 12.

Найти параллельные прямые рис 1

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1и АВНайти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1, то расстояние между прямыми Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1равно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Найти параллельные прямые рис 1. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Найти параллельные прямые рис 1

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1, А Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1, С Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1, АВНайти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1, CDНайти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Найти параллельные прямые рис 1

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1и секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Найти параллельные прямые рис 1CAD =Найти параллельные прямые рис 1BDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Найти параллельные прямые рис 1равны (см. рис. 285). Прямая Найти параллельные прямые рис 1, проходящая через точку А параллельно прямой Найти параллельные прямые рис 1, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Найти параллельные прямые рис 1, которая параллельна прямой Найти параллельные прямые рис 1. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Найти параллельные прямые рис 1будет перпендикуляром и к прямой Найти параллельные прямые рис 1(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Найти параллельные прямые рис 1ADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Найти параллельные прямые рис 1BAD +Найти параллельные прямые рис 1ADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Найти параллельные прямые рис 1

Тогда Найти параллельные прямые рис 1BAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Найти параллельные прямые рис 1АВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Найти параллельные прямые рис 1, параллельную прямой Найти параллельные прямые рис 1.

Найти параллельные прямые рис 1

Тогда Найти параллельные прямые рис 1|| Найти параллельные прямые рис 1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Найти параллельные прямые рис 1равноудалены от прямых Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1на расстояние Найти параллельные прямые рис 1АВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1, то есть расстояние от точки М до прямой Найти параллельные прямые рис 1равно Найти параллельные прямые рис 1АВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Найти параллельные прямые рис 1. Но через точку К проходит единственная прямая Найти параллельные прямые рис 1, параллельная Найти параллельные прямые рис 1. Значит, точка М принадлежит прямой Найти параллельные прямые рис 1.

Таким образом, все точки прямой Найти параллельные прямые рис 1равноудалены от прямых Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Найти параллельные прямые рис 1. Прямая Найти параллельные прямые рис 1, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Найти параллельные прямые рис 1

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Найти параллельные прямые рис 1

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1— параллельны.

Найти параллельные прямые рис 1

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1если она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Найти параллельные прямые рис 1

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).

Определение 1. Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:

Найти параллельные прямые рис 1.

На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).

Найти параллельные прямые рис 1

Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.

Определение 2. Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых (Рис.2).

Найти параллельные прямые рис 1

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.

Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1Найти параллельные прямые рис 1

На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 класс

Признаки параллельности прямых

Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):

Найти параллельные прямые рис 1
  • накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
  • односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
  • соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: Найти параллельные прямые рис 1(Рис.8).

Найти параллельные прямые рис 1

Докажем, что Найти параллельные прямые рис 1.

Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).

Найти параллельные прямые рис 1

Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).

Найти параллельные прямые рис 1

Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, Найти параллельные прямые рис 1. Тогда Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1.

Найти параллельные прямые рис 1означает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны. Найти параллельные прямые рис 1

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например Найти параллельные прямые рис 1(Рис.11).

Найти параллельные прямые рис 1

Так как углы 2 и 3 вертикальные, то Найти параллельные прямые рис 1. Тогда из Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1следует, что Найти параллельные прямые рис 1. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны. Найти параллельные прямые рис 1

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например Найти параллельные прямые рис 1(Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. Найти параллельные прямые рис 1. Из Найти параллельные прямые рис 1и Найти параллельные прямые рис 1следует, что Найти параллельные прямые рис 1. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.Найти параллельные прямые рис 1

Видео:Параллельные прямые циркулемСкачать

Параллельные прямые циркулем

Параллельность прямых

Найти параллельные прямые рис 1

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямые

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.

Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.

Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.

Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.

На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Свойства и признаки параллельных прямых

Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.

Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.

Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:

    два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:

∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.

Найти параллельные прямые рис 1
два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:

Найти параллельные прямые рис 1
два соответственных угла равны между собой:

∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.

Найти параллельные прямые рис 1

Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.

Найти параллельные прямые рис 1

Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.

А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.

Решение

Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.

Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.

Найти параллельные прямые рис 1

Задача 2

Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.

Решение

Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.

Соответственно, ∠MKD = 180° — ∠KDN = 180° — 150° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.

Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.

🔥 Видео

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Параллельные прямые - геометрия 7 классСкачать

Параллельные прямые - геометрия 7 класс

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

Урок ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕСкачать

Урок ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Параллельные прямыеСкачать

Параллельные прямые

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямыхСкачать

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямых

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Это пора запомнить! Свойства углов при параллельных прямых и секущей. #геометрияСкачать

Это пора запомнить! Свойства углов при параллельных прямых и секущей. #геометрия
Поделиться или сохранить к себе: