Объём параллелепипеда, построенного на трех векторах
где координаты векторов в соответствии с рисунком
вычисляются следующим образом
Знак плюс берется, когда определитель третьего порядка положителен, а минус наоборот – знак отрицателен.
Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a1=, a2= и a3=
$ = pm left( <2cdotleft( <left( right)cdot2 — 1cdot3> right) — 3left( <left( right)cdot2 — 3cdot3> right) + 2left( <left( right)cdot1 — 3cdotleft( right)> right)> right) = -33$
Так как определитель отрицателен, берем перед ним знак « − ».
Тогда объём параллелепипеда построенного на векторах равен V=33
Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать
Объем параллелепипеда, построенного на векторах онлайн
Объём параллелепипеда равен смешанному произведению векторов на которых он построен:
Поскольку смешанное произведение векторов, может быть отрицательным числом, а объём геометрического тела — всегда число положительное, то при вычислении объёма параллелепипеда, построенного на векторах, результат смешанного произведения берется по модулю:
Таким образом, для того, чтобы вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах, нужно найти смешанное произведение данных векторов, и полученный результат взять по модулю.
Наш онлайн калькулятор, найдет площадь параллелепипеда с описанием подробного хода решения на русском языке.
Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать
Смешанное, векторное и скалярное произведение векторов
Задача:
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA1(-3,-2,5).
Найти:
Решение:
- а) Объем параллелепипеда будем искать через смешанное произведение векторов (AB AD AA1). Мы знаем, что модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенному на этих векторах.
(AB AD AA1) | = |
| = | 20 — 18 + 0 — 0 — 30 + 16 | = | -12 | . |
---|
Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
VABCDA1B1C1D1=12.
б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. SABCD= |[AB AD]|.
[AB AD] | = |
| = | 6i — 8j — 2k | , |
---|
Теперь найдём модуль этого вектора:
SABCD= |[AB AD]|=√ | (36+64+4) | =2√(26). |
---|
[AD AA1] | = |
| = | 9i — 16j — k | , |
---|
SADD1A1= |[AD AA1]|=√(81+256+1)=13√2.
h | = |
| = |
| = |
| = |
| . |
---|
cos(λ1) | = |
| . |
---|
Координаты вектора AB мы имеем, от вектор B1D надо найти. Для этого используем следующую формулу:
B1D = B1A1 + A1A + AD = — AB — AA1 + AD1 = — (4, 3, 0) — (-3, -2, 5) + (2, 1, 2); (Не забывайте, что всё это векторы, надо сложить их соответствующие координаты. )
Сделав вычисления по этой формуле, мы найдём, что вектор B1D имеет координаты (1, 0, -3). Теперь надо найти длину векторов AB и B1D:
|AB|=√(16+9+0)=5, |B1D|=√(1+0+9)=√(10).
Найдём скалярное произведение векторов AB и B1D, (AB B1D)=4*1 + 3*0 + 0*(-3)=4.
Теперь, имея все данные мы можем подставить их в нашу формулу:
cos(λ1) | = |
| = |
| . |
---|
д) Что бы найти cos(λ2), мы используем то, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами до этих плоскостей. А как мы знаем, векторное произведение — это и есть перпендикуляр до плоскости перемножаемых векторов. Поэтому в роле перпендикуляра к плоскости ADD1A1 мы можем взять вектор [AD AA1], который мы нашли в пункте б), и знаем, что его координаты (9, -16, -1), точно также и для плоскости ABCD — вектор [AB AD] с координатами (6, -8, -2).
Теперь нам остаётся, как в предыдущем варианте найти только косинус угла между двумя векторами, координаты которых нам известны.
cos(λ2) | = |
| = |
| . |
---|
Вот таким не хитрым способом мы и нашли косинус угла между гранями ABCD и ADD1A1.
📸 Видео
Найти угол между векторами и площадь параллелограмма, построенного на этих векторахСкачать
Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать
§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать
Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать
Как находить угол между векторамиСкачать
18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать
9 класс, 17 урок, Угол между векторамиСкачать
Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать
Формула объёма прямоугольного параллелепипеда (для 3В)Скачать
Найти объем параллелепипеда (геометрия от bezbotvy)Скачать
100 тренировочных задач #135 Угол между векторамиСкачать
Математика 5 Объем Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать
Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторахСкачать
Вычислить синус угла между векторамиСкачать
Косинус угла между векторами. Коллинеарность векторовСкачать