Найти объем параллелепипеда углы между векторами

Объём параллелепипеда

Объём параллелепипеда, построенного на трех векторах

Найти объем параллелепипеда углы между векторами

где координаты векторов в соответствии с рисунком

Найти объем параллелепипеда углы между векторами

вычисляются следующим образом

Знак плюс берется, когда определитель третьего порядка положителен, а минус наоборот – знак отрицателен.

Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a1=, a2= и a3=

$ = pm left( <2cdotleft( <left( right)cdot2 — 1cdot3> right) — 3left( <left( right)cdot2 — 3cdot3> right) + 2left( <left( right)cdot1 — 3cdotleft( right)> right)> right) = -33$

Так как определитель отрицателен, берем перед ним знак « − ».

Тогда объём параллелепипеда построенного на векторах равен V=33

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Объем параллелепипеда, построенного на векторах онлайн

Объём параллелепипеда равен смешанному произведению векторов на которых он построен:

Найти объем параллелепипеда углы между векторами

Поскольку смешанное произведение векторов, может быть отрицательным числом, а объём геометрического тела — всегда число положительное, то при вычислении объёма параллелепипеда, построенного на векторах, результат смешанного произведения берется по модулю:

Таким образом, для того, чтобы вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах, нужно найти смешанное произведение данных векторов, и полученный результат взять по модулю.

Наш онлайн калькулятор, найдет площадь параллелепипеда с описанием подробного хода решения на русском языке.

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Смешанное, векторное и скалярное произведение векторов

Задача:

Найти объем параллелепипеда углы между векторамиДан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA1(-3,-2,5).
Найти:

Решение:

  • а) Объем параллелепипеда будем искать через смешанное произведение векторов (AB AD AA1). Мы знаем, что модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенному на этих векторах.
(AB AD AA1)=
430
212
-3-25
=20 — 18 + 0 — 0 — 30 + 16=-12.

Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
VABCDA1B1C1D1=12.
б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. SABCD= |[AB AD]|.

[AB AD]=
ijk
430
212
=6i — 8j — 2k,

Теперь найдём модуль этого вектора:

SABCD= |[AB AD]|=√(36+64+4)=2√(26).
[AD AA1]=
ijk
212
-3-25
=9i — 16jk,

SADD1A1= |[AD AA1]|=√(81+256+1)=13√2.

  • в) Что бы найти длину высоты, проведенной из вершины A1 на грань ABCD, используем формулу для нахождения объема параллелепипеда V=h SABCD. С этой формулы видим:
    h=
    V
    SABCD
    =
    12
    2√(26)
    =
    6
    √(26)
    =
    3√(26)
    13
    .
  • г) Косинус угла λ1, между ребром AB и диагональю B1D будем высчитывать с помощью скалярного произведения векторов
    cos(λ1)=
    (AB B1D)
    |AB| * |B1D|
    .

    Координаты вектора AB мы имеем, от вектор B1D надо найти. Для этого используем следующую формулу:
    B1D = B1A1 + A1A + AD = — AB — AA1 + AD1 = — (4, 3, 0) — (-3, -2, 5) + (2, 1, 2); (Не забывайте, что всё это векторы, надо сложить их соответствующие координаты. )
    Сделав вычисления по этой формуле, мы найдём, что вектор B1D имеет координаты (1, 0, -3). Теперь надо найти длину векторов AB и B1D:
    |AB|=√(16+9+0)=5, |B1D|=√(1+0+9)=√(10).
    Найдём скалярное произведение векторов AB и B1D, (AB B1D)=4*1 + 3*0 + 0*(-3)=4.
    Теперь, имея все данные мы можем подставить их в нашу формулу:

    cos(λ1)=
    4
    5√(10)
    =
    2√(10)
    25
    .

    д) Что бы найти cos(λ2), мы используем то, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами до этих плоскостей. А как мы знаем, векторное произведение — это и есть перпендикуляр до плоскости перемножаемых векторов. Поэтому в роле перпендикуляра к плоскости ADD1A1 мы можем взять вектор [AD AA1], который мы нашли в пункте б), и знаем, что его координаты (9, -16, -1), точно также и для плоскости ABCD — вектор [AB AD] с координатами (6, -8, -2).
    Теперь нам остаётся, как в предыдущем варианте найти только косинус угла между двумя векторами, координаты которых нам известны.

    cos(λ2)=
    6*9 + (-8)*(-16) + (-2)*(-1)
    2√(26) * 13√(2)
    =
    46√(13)
    169
    .

    Вот таким не хитрым способом мы и нашли косинус угла между гранями ABCD и ADD1A1.

    📸 Видео

    Найти угол между векторами и площадь параллелограмма, построенного на этих векторахСкачать

    Найти угол между векторами и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах

    Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

    Площадь параллелограмма, построенного на данных векторах

    §20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

    §20 Нахождение объёма параллелипипеда

    Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

    Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

    Как находить угол между векторамиСкачать

    Как находить угол между векторами

    18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

    18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

    11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать

    11 класс, 5 урок, Угол между векторами

    Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

    Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

    Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

    Нахождение угла между векторами  через координаты. 9 класс.

    9 класс, 17 урок, Угол между векторамиСкачать

    9 класс, 17 урок, Угол между векторами

    Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

    Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

    Формула объёма прямоугольного параллелепипеда (для 3В)Скачать

    Формула объёма прямоугольного параллелепипеда (для 3В)

    Найти объем параллелепипеда (геометрия от bezbotvy)Скачать

    Найти объем параллелепипеда (геометрия от bezbotvy)

    100 тренировочных задач #135 Угол между векторамиСкачать

    100 тренировочных задач #135 Угол между векторами

    Математика 5 Объем Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать

    Математика 5 Объем  Объем прямоугольного параллелепипеда

    Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторахСкачать

    Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах

    Вычислить синус угла между векторамиСкачать

    Вычислить синус угла между векторами

    Косинус угла между векторами. Коллинеарность векторовСкачать

    Косинус угла между векторами.  Коллинеарность векторов
  • Поделиться или сохранить к себе: