Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность

Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.

2) Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

3) Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Площадь квадрата равна произведению его диагоналей» — неверно, т. к. произведение диагоналей квадрата равно 2a 2 .

2) «Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны» — верно, по признаку параллельности прямых.

3) «Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность» — неверно, т. к. вокруг параллелограмма можно описать окружность только если сумма его противоположных углов равна 180°..

Видео:Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Если около параллелограмма можно описать окружность

Если около параллелограмма можно описать окружность, то что можно сказать о его свойствах?

(6-й признак прямоугольника)

Если около параллелограмма можно описать окружность, то он является прямоугольником.

Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность

Дано : ABCD — четырехугольник,

окружность (O; R) — описанная.

Доказать: ABCD — прямоугольник.

1) Поскольку около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна, то

ABCD — параллелограмм (по условию), у которого все углы прямые (по доказанному).

Следовательно, ABCD — прямоугольник (по определению).

Видео:№709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограммСкачать

№709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьАВС.

Доказать: около Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность

Точка О равноудалена от вершин Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВ = Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьАDС, Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьD = Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьАВС, откуда следует Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВ + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьD = Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьАDС + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьАВС = Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность(Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьАDС + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьАDС + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьАВС = 360 0 , тогда Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВ + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьD = Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьBАD + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность

Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВСDвнешний угол Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьСFD, следовательно, Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьBСD = Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВFD + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВFD = Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВАD и Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьFDE = Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьBСD = Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВАD + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЕF = Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность(Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВАD + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЕF), следовательно, Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВСDЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВАD.

Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьBАD = Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВЕD, тогда Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьBАD + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьBСDЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность(Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВЕD + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВЕD + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВАD = 360 0 , тогда Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьBАD + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьBСDЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьBАD + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьBСDЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность180 0 . Но это противоречит условию Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьBАD + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность

По теореме о сумме углов треугольника в Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВСF: Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьС + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВ + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьF = 180 0 , откуда Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьС = 180 0 — ( Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВ + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьF). (2)

Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВ = Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЕF. (3)

Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьF и Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВFD смежные, поэтому Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьF + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВFD = 180 0 , откуда Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьF = 180 0 — Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВFD = 180 0 — Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьС = 180 0 — (Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЕF + 180 0 — Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВАD) = 180 0 — Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЕF — 180 0 + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВАD = Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность(Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВАDЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЕF), следовательно, Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьСЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВАD.

Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьА = Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВЕD, тогда Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьА + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьСЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьЛюбой ли параллелограмм можно описать вокруг окружность(Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВЕD + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьВАD). Но это противоречит условию Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьА + Любой ли параллелограмм можно описать вокруг окружностьС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

🎬 Видео

Любой параллелограмм можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Любой параллелограмм можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

№696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.Скачать

№696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Когда в параллелограмм можно вписать окружность. 15 задание ОГЭСкачать

Когда в параллелограмм можно вписать окружность. 15 задание ОГЭ

Вокруг любого треугольника можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вокруг любого треугольника можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Окружность Параллелограмм РомбСкачать

Окружность Параллелограмм Ромб

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любойСкачать

№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА
Поделиться или сохранить к себе: