Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Признаки и свойства параллельных прямых

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Признаки параллельных прямых

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.

3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a || b.

4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Видео:7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Свойства параллельных прямых

Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.

1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Если a || b, то ∠1 + ∠2 = 180°.

2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:

4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Пятое свойство — это аксиома параллельности прямых:

5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой:

Видео:Теорема 14.2 Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны || Геометрия 7Скачать

Теорема 14.2 Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны || Геометрия 7

Прямая линия. Признаки параллельности прямых линий.

Если две произвольные прямые AB и СD пересечены третьей прямой MN, то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

внешние накрест лежащие углы: 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7.

Описанные углы видны на рисунке:

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Теорема.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сформировавшиеся:

1. внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

2. внешние накрест лежащие углы одинаковы;

3. соответственные углы одинаковы;

4. сумма внутренних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

5. сумма внешних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

Данную теорему иллюстрирует рисунок:

Имеются две параллельные прямые AB и СD, их пересекает третья прямая MN.

1. ∠ 4 = ∠ 6 и ∠ 3 = ∠ 5;

2. ∠ 2 = ∠ 8 и ∠ 1 = ∠ 7;

3. ∠ 2 =∠ 6, ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 8;

4. ∠ 3 + ∠ 6 = 2d и ∠ 4 + ∠ 5 = 2d;

5. ∠ 2 + ∠ 7 = 2d и ∠ 1 + ∠ 8 = 2d.

1. Из середины E того отрезка прямой MN, который размещается между параллельными прямыми, прочертим на СD перпендикуляр EK и продолжим его до пересечения с AB в точке L. Так как перпендикуляр к одной из параллельных есть также и перпендикуляр к другой параллельной, то образовавшиеся при этом треугольники (заштрихованные на чертеже) — оба прямоугольные. Они одинаковы, потому что в них по равной гипотенузе и по одинаковому острому углу при точке E. Из равенства треугольников получаем, что внутренние накрест лежащие углы 4 и 6 одинаковы. Два прочих внутренних накрест лежащих угла 3 и 5 одинаковы, как дополнения до 2d к одинаковым углам 4 и 6 (как смежные с 4 и 6).

2. Внешние накрест лежащие углы равны соответственно внутренним накрест лежащим углам, как углы вертикальные.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.

3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.

4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.

5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам, как углы вертикальные.

Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.

Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:

1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;

или 3. Соответственные углы одинаковые;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;

или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углы

Признаки параллельности прямых

При пересечении двух прямых третьей прямой образуются углы, названия которых приведены в следующей таблице.

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей прямой

РисунокОпределение углов
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельныВнутренние накрест лежащие углы
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельныВнешние накрест лежащие углы
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельныСоответственные углы
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельныВнутренние односторонние углы
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельныВнешние односторонние углы
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Внутренние накрест лежащие углы
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Внешние накрест лежащие углы
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Соответственные углы
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Внутренние односторонние углы
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Внешние односторонние углы
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Перечисленные в таблице углы используются в формулировках признаков параллельности двух прямых.

Определение . Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Замечание . Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.

Видео:Пары углов в геометрииСкачать

Пары углов в геометрии

Признаки параллельности двух прямых

РисунокПризнак параллельности
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельныПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельныПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельныПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельныПрямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельныПрямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

РисунокПризнак параллельности
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельныДве прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Переход свойства параллельности прямых

РисунокПризнак параллельности
Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельныЕсли прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c

Если прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c

Если соответственные углы в сумме дают 180 градусов то прямые параллельны

Задача . Доказать, что биссектрисы внутренних односторонних углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, перпендикулярны.

Решение . Решение этой задачи почти дословно совпадает с решением задачи из раздела нашего справочника «Углы на плоскости» и предоставляется читателю в качестве несложного самостоятельного упражнения.

🔍 Видео

Геометрия 7 класс. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярнымСкачать

Геометрия 7 класс. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярным

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольникСкачать

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольник

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с

Смежные углы. 7 класс.Скачать

Смежные углы. 7 класс.

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

Углы при параллельных прямых и секущей | ЕГЭ 2023 Профильная математикаСкачать

Углы при параллельных прямых и секущей |  ЕГЭ 2023 Профильная математика

Почему сумма углов треугольника 180 градусов?Скачать

Почему сумма углов треугольника 180 градусов?

7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углыСкачать

7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углы
Поделиться или сохранить к себе: