Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора

Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора

В этом разделе рассмотрены числовые характеристики только двумерных случайных величин, поскольку обобщение на случай Найти математическое ожидание двумерного случайного векторане вызывает затруднений.

Пусть ( x , h ) — двумерная случайная величина, тогда M( x , h )=(M( x ), M( h )), т.е. математическое ожидание случайного вектора — это вектор из математических ожиданий компонент вектора.

Если ( x , h ) — дискретный случайный вектор с распределением

y1y2.ym
x1p11p12.p1m
x2p12p12.p2m
...pij.
xnpn1pn2.pnm

то математические ожидания компонент вычисляются по формулам:

Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора, Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора.

Эти формулы можно записать в сокращенном виде.

Обозначим Найти математическое ожидание двумерного случайного вектораи Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора, тогда Найти математическое ожидание двумерного случайного вектораи Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора.

Если p( x , h )(x, y)- совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины ( x , h ), то

Найти математическое ожидание двумерного случайного вектораи Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора.

Поскольку Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора-плотность распределения случайной величины x , то Найти математическое ожидание двумерного случайного вектораи, аналогично, Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора.

Понятие дисперсии обобщается на многомерные случайные величины нетривиальным образом. Это обобщение будет сделано в следующем разделе. Здесь лишь приведем формулы для вычисления дисперсии компонент двумерного случайного вектора.

Если ( x , h ) — двумерная случайная величина, то

D x = M( x M x ) 2 = M x 2 — M( x ) 2 , D h = M( h M h ) 2 = M h 2 — M( h ) 2 .

Входящие в эту формулу математические ожидания вычисляются по приведенным выше формулам.

Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если x — случайная величина и h = x 2 , то h — тоже случайная величина, связанная с x функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической. В разделе, посвященном условным распределениям уже обсуждалась такая зависимость. Из рассмотренных там примеров видно, что информация о значении одной случайной величины (одной компоненты случайного вектора) изменяет распределение другой случайной величины (другой компоненты случайного вектора), а это может, вообще говоря, изменить и числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание, вычисленное по условному распределению, называется условным математическим ожиданием.

Для двумерного дискретного случайного вектора ( x , h ) с распределением

y1y2.ym
x1p11p12.p1m
x2p12p12.p2m
...pij.
xnpn1pn2.pnm

условное математическое ожидание случайной величины x при условии, что случайная величина h принимает значение yj, вычисляется по формуле Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора.

Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины h при условии, что случайная величина x принимает значение xi, равно Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора.

Видно, что условное математическое ожидание случайной величины x является функцией значений случайной величины h , т.е. M( x / h = y) = f1(y) и, совершенно аналогично, M( h / x = x) = f2(x).

Функцию f1(y) называют регрессией случайной величины x на случайную величину h , а f2(x) — регрессией случайной величины h на случайную величину x .

Если p( x , h )(x, y) совместная плотность вероятностей двумерной случайной величины ( x , h ), то

Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора и Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора.

Если между случайными величинами x и h существует стохастическая связь, то одним из параметров, характеризующих меру этой связи является ковариация cov( x , h ). Ковариацию вычисляют по формулам cov( x , h )=M[( x M x )( h — M h )] = M( x h ) — M x M h .

Если случайные величины x и h независимы, то cov( x , h )=0.

Обратное, вообще говоря, неверно. Из равенства нулю ковариации не следует независимость случайных величин. Случайные величины могут быть зависимыми в то время как их ковариация нулевая! Но зато, если ковариация случайных величин отлична от нуля, то между ними существует стохастическая связь, мерой которой и является величина ковариации.

cov( x , x ) = D x ;

Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора;

Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора;

Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора,

Ковариационной матрицей случайного вектора ( x , h ) называется матрица вида

Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора.

Эта матрица симметрична и положительно определена. Ее определитель называется обобщенной дисперсией и может служить мерой рассеяния системы случайных величин ( x , h ).

Как уже отмечалось ранее, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора. Если же случайные величины зависимы, то Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора.

Понятно, что значение ковариации зависит не только от “тесноты” связи случайных величин, но и от самих значений этих величин, например, от единиц измерения этих значений. Для исключения этой зависимости вместо ковариации используется безразмерный коэффициент корреляции Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора.

Этот коэффициент обладает следующими свойствами:

его модуль не превосходит единицы, т.е. Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора;

если x и h независимы, то k( x , h )=0 (обратное неверно!);

если Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора, то случайные величины x и h связаны функциональной зависимостью вида

где a и b- некоторые числовые коэффициенты;

Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора;

Корреляционной матрицей случайного вектора называется матрица

Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора.

Если Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора и Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора, то ковариационная и корреляционная матрицы случайного вектора ( x , h ) связаны соотношением Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора, где Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Видео:Теория вероятностей #18: системы двух случайных величин, двумерное распределениеСкачать

Теория вероятностей #18: системы двух случайных величин, двумерное распределение

Двумерная непрерывная случайная величина

Ранее мы разобрали примеры решений задач для одномерной непрерывной случайной величины. Перейдем к более сложному случаю — двумерной непрерывной случайной величине $(X,Y)$ (или двумерному вектору). Кратко выпишем основы теории.

Видео:Случайный вектор двумерной случайной величиныСкачать

Случайный вектор двумерной случайной величины

Система непрерывных случайных величин: теория

Двумерная непрерывная СВ задается своей функцией распределения $F(x,y)=P(Xlt x, Ylt y)$, свойства которой аналогичны свойствам одномерной ФР. Эта функция должна быть непрерывна, дифференцируема и иметь вторую смешанную производную, которая будет как раз плотностью распределения вероятностей системы непрерывных случайных величин:

Зная плотность совместного распределения, можно найти одномерные плотности для $X$ и $Y$:

Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольную область можно вычислить как двойной интеграл от плотности (по этой области) или через функцию распределения:

$$P(x_1 le X le x_2, y_1 le Y le y_2) = F(x_2, y_2)-F(x_1, y_2)-F(x_2, y_1)+F(x_1, y_1).$$

Как и для случая дискретных двумерных СВ вводится понятие условного закона распределения, плотности которых можно найти так:

Если для всех значений $(x,y)$ выполняется равенство

то случайные величины $X, Y$ называются независимыми (их условные плотности распределения совпадают с безусловными). Для независимых случайных величин выполняется аналогичное равенство для функций распределений:

Для случайных величин $X,Y$, входящих в состав случайного вектора, можно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции по формулам:

В этом разделе мы приведем примеры задач с полным решением, где используются непрерывные двумерные случайные величины (системы случайных величин).

Видео:Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.Скачать

Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.

Примеры решений

Задача 1. Дана плотность распределения вероятностей системы $$ f(x)= left< begin C, mbox O(0,0), A(4,0), B(4,1)\ 0, mbox \ end right. $$ Найти:
$C, rho_1(x), rho_2(y), m_x, m_y, D_x, D_y, cov(X,Y), r_, F(2,10), M[X|Y=1/2]$.

Задача 2. Дана плотность распределения $f(x,y)$ системы $X,Y$ двух непрерывных случайных величин в треугольнике АВС.
1.1. Найдите константу с.
1.2. Найдите $f_X(x), f_Y(y)$ — плотности распределения с.в. Х и с.в. Y.
Выясните, зависимы или нет с.в. Х и Y. Сформулируйте критерий независимости системы непрерывных случайных величин.
1.3. Найдите математическое ожидание и дисперсию с.в. Х и с.в. Y. Поясните смысл найденных характеристик.
1.4. Найдите коэффициент корреляции с.в. Х и Y. Являются ли случайные величины коррелированными? Сформулируйте свойства коэффициента корреляции.
1.5. Запишите уравнение регрессии с.в. Y на Х и постройте линию регрессии в треугольнике АВС.
1.6. Запишите уравнение линейной среднеквадратичной регрессии с.в. Y на Х и постройте эту прямую в треугольнике АВС. $$ f(x,y)=csqrt, quad A(0;0), B(-1;-1), C(-1;0) $$

Задача 3. Интегральная функция распределения случайного вектора (X,Y): $$ F(x)= left< begin 0, mbox x le 0 mbox yle 0\ (1-e^)(1-e^), mbox x gt 0 mbox ygt 0\ end right. $$ Найти центр рассеивания случайного вектора.

Задача 4. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) $$f(x,y)=C e^$$ Найти:
а) постоянный множитель С;
б) плотности распределения составляющих;
в) условные плотности распределения составляющих.

Задача 5. Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: $f(x,y)=1/2 sin(x+y)$ в квадрате $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, вне квадрата $f(x,y)=0$. Найти функцию распределения системы (X,Y).

Задача 6. Определить плотность вероятности, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин $(X,Y)$, заданных в интервалах $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, если функция распределения системы $F(x,y)=sin x sin y$.

Задача 7. Плотность вероятности системы случайных величин равна $$f(x,y) = c(R-sqrt), quad x^2+y^2 lt R^2.$$ Определить:
А) постоянную $c$;
Б) вероятность попадания в круг радиуса $alt R$, если центры обоих кругов совпадают с началом координат.

Задача 8. Совместная плотность вероятности системы двух случайных величин X и Y $$f(x,y)=frac.$$ Найти величину $с$; определить законы распределения $F_1(x)$, $F_2(y)$, $f_1(x)$, $f_2(y)$, $f(x/y)$; построить графики $F_1(x)$, $F_2(y)$; вычислить моменты $m_x$, $m_y$, $D_x$, $D_y$, $K_$.

Видео:Корреляция и ковариация двумерной случайной величиныСкачать

Корреляция и ковариация двумерной случайной величины

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Видео:Математическое ожидание-3 типа задачСкачать

Математическое ожидание-3 типа задач

Системы случайных величин

Назначение сервиса . С помощью сервиса по заданному закону распределения можно найти:

  • ряды распределения X и Y, математическое ожидание M[X], M[Y], дисперсию D[X], D[Y];
  • ковариацию cov(x,y), коэффициент корреляции rx,y, условный ряд распределения X, условное математическое ожидание M[X/Y=yi];

Кроме этого, дается ответ на вопрос, «зависимы ли случайные величины X и Y ?».

  • Шаг №1
  • Шаг №2
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word

Пример №1 . Двумерная дискретная случайная величина имеет таблицу распределения:

Y/X1234
1000,110,120,03
2000,130,090,02
300,020,110,080,01
400,030,110,05q

Найти величину q и коэффициент корреляции этой случайной величины.

Решение. Величину q найдем из условия Σpij = 1
Σpij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0.91+q = 1. Откуда q = 0.09
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.

X10203040
P0.260.240.220.28∑Pi = 1

Математическое ожидание M[X] = 10*0.26 + 20*0.24 + 30*0.22 + 40*0.28 = 25.2
Дисперсия D[X] = 10 2 *0.26 + 20 2 *0.24 + 30 2 *0.22 + 40 2 *0.28 — 25.2 2 = 132.96
Среднее квадратическое отклонение σ(x) = sqrt(D[X]) = sqrt(132.96) = 11.531

Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.

Y1234
P0.050.460.340.15∑Pi = 1

Математическое ожидание M[Y].
M[y] = 1*0.05 + 2*0.46 + 3*0.34 + 4*0.15 = 2.59
Дисперсия D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 — 2.59 2 = 0.64
Среднее квадратическое отклонение σ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0.64) = 0.801

Ковариация cov(X,Y) = M[X·Y] — M[X]·M[Y] = 2·10·0.11 + 3·10·0.12 + 4·10·0.03 + 2·20·0.13 + 3·20·0.09 + 4·20·0.02 + 1·30·0.02 + 2·30·0.11 + 3·30·0.08 + 4·30·0.01 + 1·40·0.03 + 2·40·0.11 + 3·40·0.05 + 4·40·0.09 — 25.2 · 2.59 = -0.068
Коэффициент корреляции rxy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736

Пример 2 . Данные статистической обработки сведений относительно двух показателей X и Y отражены в корреляционной таблице. Требуется:

  1. написать ряды распределения для X и Y и вычислить для них выборочные средние и выборочные средние квадратические отклонения;
  2. написать условные ряды распределения Y/x и вычислить условные средние Y/x;
  3. изобразить графически зависимость условных средних Y/x от значений X;
  4. рассчитать выборочный коэффициент корреляции Y на X;
  5. написать выборочное уравнение прямой регрессии;
  6. изобразить геометрически данные корреляционной таблицы и построить прямую регрессии.

Решение. Упорядоченная пара (X,Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства. Двумерная случайная величина (X,Y) называется также системой случайных величина X и Y.
Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины.
Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:
P(X=xi, Y=yj) = pij, i=1,2. n, j=1,2. m

X / Y2030405060
1120000
1646000
2103620
26004584
3100467
3600003

События (X=xi, Y=yj) образуют полную группу событий, поэтому сумма всех вероятностей pij(i=1,2. n, j=1,2. m), указанных в таблице, равна 1.
1. Зависимость случайных величин X и Y.
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.

X111621263136
P2101157173∑Pi = 100

Математическое ожидание M[X].
M[x] = (11*2 + 16*10 + 21*11 + 26*57 + 31*17 + 36*3 )/100 = 25.3
Дисперсия D[X].
D[X] = (11 2 *2 + 16 2 *10 + 21 2 *11 + 26 2 *57 + 31 2 *17 + 36 2 *3 )/100 — 25.3 2 = 24.01
Среднее квадратическое отклонение σ(x).
Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.

Y2030405060
P69551614∑Pi = 100

Математическое ожидание M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14 )/100 = 42.3
Дисперсия D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14 )/100 — 42.3 2 = 99.71
Среднее квадратическое отклонение σ(y).
Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора
Поскольку, P(X=11,Y=20) = 2≠2·6, то случайные величины X и Y зависимы.
2. Условный закон распределения X.
Условный закон распределения X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0.33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0.67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=20).
M[X/Y=y] = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Условная дисперсия D[X/Y=20).
D[X/Y=y] = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 — 14.33 2 = 5.56
Условный закон распределения X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0.67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0.33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=30).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Условная дисперсия D[X/Y=30).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 — 17.67 2 = 5.56
Условный закон распределения X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0.82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=40).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Условная дисперсия D[X/Y=40).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 — 25.82 2 = 4.51
Условный закон распределения X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0.5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=50).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Условная дисперсия D[X/Y=50).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 — 27.25 2 = 10.94
Условный закон распределения X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0.29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
Условное математическое ожидание M[X/Y=60).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Условная дисперсия D[X/Y=60).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 — 30.64 2 = 12.37
3. Условный закон распределения Y.
Условный закон распределения Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Условное математическое ожидание M[Y/X=11).
M[Y/X=x] = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Условная дисперсия D[Y/X=11).
D[Y/X=x] = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 — 20 2 = 0
Условный закон распределения Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Условное математическое ожидание M[Y/X=16).
M[Y/X=x] = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Условная дисперсия D[Y/X=16).
D[Y/X=x] = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 — 26 2 = 24
Условный закон распределения Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0.27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0.55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0.18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Условное математическое ожидание M[Y/X=21).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Условная дисперсия D[Y/X=21).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 — 39.09 2 = 44.63
Условный закон распределения Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0.79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0.14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0.0702
Условное математическое ожидание M[Y/X=26).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Условная дисперсия D[Y/X=26).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 — 42.81 2 = 34.23
Условный закон распределения Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0.35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0.41
Условное математическое ожидание M[Y/X=31).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Условная дисперсия D[Y/X=31).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 — 51.76 2 = 61.59
Условный закон распределения Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Условное математическое ожидание M[Y/X=36).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Условная дисперсия D[Y/X=36).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 — 60 2 = 0
Ковариация.
cov(X,Y) = M[X·Y] — M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50·26·8 + 60·26·4 + 40·31·4 + 50·31·6 + 60·31·7 + 60·36·3)/100 — 25.3 · 42.3 = 38.11
Если случайные величины независимы, то их ковариации равна нулю. В нашем случае cov(X,Y) ≠ 0.
Коэффициент корреляции.
Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора
Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора
Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:
Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора
Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
Дисперсии:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3))/100 — 42.3 2 = 99.71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 — 25.3 2 = 24.01
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σx = 9.99 и σy = 4.9
и ковариация:
Cov(x,y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50·26·8 + 60·26·4 + 40·31·4 + 50·31·6 + 60·31·7 + 60·36·3)/100 — 42.3 · 25.3 = 38.11
Определим коэффициент корреляции:
Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора
Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора
Запишем уравнения линий регрессии y(x):
Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора
и вычисляя, получаем:
yx = 0.38 x + 9.14
Запишем уравнения линий регрессии x(y):
Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора
и вычисляя, получаем:
xy = 1.59 y + 2.15
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (42.3; 25.3) и точки расположены близко к линиям регрессии.
Значимость коэффициента корреляции.
Найти математическое ожидание двумерного случайного вектора
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=100-m-1 = 98 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим.

Задание. Количество попаданий пар значений случайных величин X и Y в соответствующие интервалы приведены в таблице. По этим данным найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y .
Решение

Пример. Распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) задано таблицей. Найти законы распределения составляющих величин X, Y и коэффициент корреляции p(X, Y).
Скачать решение

Задание. Двумерная дискретная величина (X, Y) задана законом распределения. Найти законы распределения составляющих X и Y, ковариацию и коэффициент корреляции.

🎬 Видео

Функция распределения и плотность распределенияСкачать

Функция распределения и плотность распределения

Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервалСкачать

Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервал

Математическое Ожидание, Дисперсия, Стандартное Отклонение за 5 минутСкачать

Математическое Ожидание, Дисперсия, Стандартное Отклонение за 5 минут

Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределенияСкачать

Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределения

Теория вероятностей #14: математ. ожидание, дисперсия, медиана, мода, начальные моментыСкачать

Теория вероятностей #14: математ. ожидание, дисперсия, медиана, мода, начальные моменты

Теория вероятностей #19: ковариация, корреляция, зависимость двух случайных величинСкачать

Теория вероятностей #19: ковариация, корреляция, зависимость двух случайных величин

Математическое ожидание дискретной случайной величины. 10 класс.Скачать

Математическое ожидание дискретной случайной величины. 10 класс.

Двумерное дискретное распределениеСкачать

Двумерное дискретное распределение

Функция распределения дискретной случайной величиныСкачать

Функция распределения дискретной случайной величины

2.8. Совместное распределение двух случайных величин.Скачать

2.8. Совместное распределение двух случайных величин.

Условные и безусловные распределенияСкачать

Условные и безусловные распределения

Математическое ожидание дискретной случайной величиныСкачать

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Нахождение функции распределения для двумерного случайного вектора по плотностиСкачать

Нахождение функции распределения  для двумерного случайного вектора по плотности

Дисперсия случайной величины/Как найти?Скачать

Дисперсия случайной величины/Как найти?

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение НСВСкачать

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение НСВ
Поделиться или сохранить к себе: