Найти координаты вектора x в базисе e1 e2 e3 если он задан (6 видео)

Содержание

Координаты вектора в базисе
5.1.6. Примеры решения задач по теме «Линейные операторы и квадратичные формы»
Доказать что векторы е1 е2 е3 образуют базис и найти координаты вектора Х в этом базисе. Х=(-4,-2,5) е1=(1,-1,1) е2=(-3,0,2) е3=(1,-1,2)
🎬 Видео

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Координаты вектора в базисе

Пример №1 . Даны векторы ε₁(2;1;3), ε₂(3;-2;1), ε₃(1;-3;-4), X(7;0;7). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.
Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить, образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:

E =

2	1	3
3	-2	1
1	-3	-4

∆ = 2*((-2)*(-4) — (-3)*1) — 3*(1*(-4) — (-3)*3) + 1*(1*1 — (-2)*3) = 14
Определитель матрицы равен ∆ =14
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α₁α₂α₃, что имеет место равенство:
X = &#945₁ε₁ + &#945₂ε₂ + &#945₃ε₃
Запишем данное равенство в координатной форме:
(7;0;7) = α(2;1;3) + α(3;-2;1) + α(1;-3;-4)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(7;0;7) = (2α₁;1α₁;3α₁😉 + (3α₂;-2α₂;1α₂😉 + (1α₃;-3α₃;-4α₃😉
(7;0;7) = (2α₁ + 3α₂ + 1α₃;1α₁ -2α₂ -3α₃;3α₁ + 1α₂ -4α₃)
По свойству равенства векторов имеем:
2α₁ + 3α₂ + 1α₃ = 7
1α₁ -2α₂ -3α₃ = 0
3α₁ + 1α₂ -4α₃ = 7
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера.
Ответ:

X =

X = 2ε₁ + ε₂

В системе векторов a₁, a₂, a₃, a₄ найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.

Пример №2 . В системе векторов a₁, a₂, a₃, a₄ найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
a₁=(1;5;3), a₂=(2;1;-1), a₃=(4;2;1), a₄=(17;13;4).

Видео:Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 1Скачать

5.1.6. Примеры решения задач по теме «Линейные операторы и квадратичные формы»

Пусть Е1, Е2, Е3, Е4 – базис в векторном пространстве. Разложить вектор

Выпишите матрицу перехода от старого базиса к новому, столбцами которой являются координаты новых базисных векторов в старом базисе. Строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преобразования старых координат через новые.

Выпишем матрицу перехода от старого базиса к новому, столбцами которой являются координаты новых базисных векторов в старом базисе:

Строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преобразования старых координат через новые.

Координаты вектора Х в старом базисе: Х = (1; 2; -1; 3). Пусть в новом базисе он имеет координаты: X = (X, Y, Z, T). Тогда, используя матрицу Т, найдем связь между старыми и новыми координатами:

Следовательно, в новом базисе Х = (-1; 3; -4; 3).

Найти матрицу А’ оператора А:

Искомая матрица А’ = T-1 A T, где Т – матрица перехода из старого базиса к новому.

Искомая матрица А’ = T-1 A T, где Т – матрица перехода из старого базиса к новому. Составим матрицу Т :

Ответ: .

Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

Для определения собственных чисел составьте характеристическое уравнение:

Координаты собственных векторов RI = (Xi, Yi) должны удовлетворять системе уравнений, коэффициенты которых получены из элементов строк определителя, стоящего в левой части характеристического уравнения, при подстановке LI.

Составим характеристическое уравнение:

Найдем собственные векторы:

1) для L = -2 координаты собственного вектора R1 = (X1, Y1) должны удовлетворять системе уравнений, коэффициенты которых получены из элементов строк определителя, стоящего в левой части характеристического уравнения, при подстановке L = -2:

Если Х1 = 1, то У1 = -1, и R1= (1; -1). Остальные собственные векторы коллинеарны вектору (1; -1), и общий вид собственного вектора, соответствующего L = -2: R1 = С1(1; -1), где С1 – произвольная постоянная.

2) для L = 6 координаты собственного вектора R2 (X2; Y2) удовлетворяют системе:

Пусть Х2 = 3, тогда У2 = 5, и R2 = (3; 5). Соответственно общий вид второго собственного вектора: R2 = С2(3; 5).

Ответ: собственные числа L1 = -2, L2 = 6; собственные векторы R1 = С1(1; -1),

В пространстве 3-мерных векторов задан оператор

Где I – базисный вектор декартовой системы координат.

Выяснить геометрический смысл этого оператора.

Множитель Xi – скалярное произведение, то есть число, поэтому вектор (Xi)I коллинеарен оси Ох.

Оператор А переводит произвольно направленный вектор Х в вектор

KI, коллинеарный оси Ох, поскольку первый множитель – скалярное произведение, то есть число. Из определения скалярного произведения следует, что

Следовательно, А – оператор проектирования на ось Ох.

Оператор осуществляет проектирование вектора Х на ось Ох;

Привести матрицу А линейного оператора к диагональному виду и найти соответствующий базис, если

Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы линейного оператора, задайте базис из линейно независимых собственных векторов R1, R2, R3 , в котором матрица оператора примет диагональный вид, и составьте матрицу перехода к новому базису.

Найдем собственные векторы, соответствующие полученным собственным числам.

Подставим в строки определителя L = 2 и найдем связь между координатами собственного вектора R2 = (X2, Y2, Z2):

Та же зависимость получается для координат третьего собственного вектора R3 = (X3, Y3, Z3). Выберем значения двух координат каждого из этих векторов так, чтобы R2 и R3 были линейно независимы.

Пусть Х2 = 1, У2 = 0, тогда Z2 = -3, и R2 = (1; 0; -3).

Получен базис из линейно независимых собственных векторов R1, R2, R3 , в котором матрица оператора примет диагональный вид.

Составим матрицу перехода к новому базису:

Найдем матрицу, обратную к Т:

Тогда в базисе из собственных векторов матрица оператора

Ответ: в базисе (1; 1; 1), (1; 0; -3), (0; 1; 3) матрица оператора

Линейный оператор А задан в некотором базисе матрицей

Найти собственные числа и собственные векторы оператора А-1 – оператора, обратного к А.

Собственные числа обратного оператора являются обратными к собственным числам данного оператора, а их собственные векторы одинаковы.

Характеристическое уравнение для А:

Найдем матрицу обратного оператора:

Соответствующее характеристическое уравнение:

Составить матрицу квадратичной формы 3Х2 – 10Ху + 8У2 и найти ее собственные числа.

Матрица квадратичной формы А11Х2 + 2А12Ху + А22У2 является

Симметрической (Aij = Aji) и имеет вид:

В нашей задаче А11 = 3, А12 = -5, А22 = 8. Следовательно,

Составим характеристическое уравнение, корнями которого являются собственные числа:

Ответ: матрица квадратичной формы ,

Собственные числа

Найти базис, в котором квадратичная форма 2Х2 + 4Ху + 5У2 будет иметь канонический вид, и указать этот вид.

Канонический вид квадратичной формы:

1) во-первых, не содержит произведения Ху;

2) во-вторых, коэффициенты при Х2 и У2 равны собственным числам матрицы квадратичной формы.

Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, состоит из нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы.

Матрица квадратичной формы

Собственные числа: L1 = 1, L2 = 6.

Для L1 = 1 координаты вектора R1 = <X1, Y1> определяются уравнением

Х1 + 2У1 = 0, Х1 = -2У1. Если У1 = 1, то Х1 = -2, и R1 = C. Найдем значение С из условия, что вектор R1 нормирован, то есть его длина равна 1:

Итак, базис имеет вид:

И в этом базисе квадратичная форма примет вид: L1Х2 + L2У2, то есть Х2 + 6У2.

Ответ: в базисе квадратичная форма имеет канонический вид: Х2 + 6У2.

Указать преобразование координат, приводящее квадратичную форму

8Х2 – 12Ху + 17У2 к каноническому виду.

Матрица преобразования координат имеет вид:

Где R1 = (X1, Y1) и R2 = (X2, Y2) – нормированные собственные векторы.

Найдем базис из нормированных собственных векторов.

Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты новых базисных векторов R1, R2 в старом базисе:

Строки этой матрицы определяют коэффициенты уравнений, выражающих старые координаты через новые:

Где Х, У – координаты в старом базисе, а Х’, Y’ – в новом.

Таким образом, найдено искомое преобразование.

Ответ: .

Привести к каноническому виду квадратичную форму 5Х2 – 12Ху.

Матрица преобразования координат имеет вид:

Где R1 = (X1, Y1) и R2 = (X2, Y2) – нормированные собственные векторы. В новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, причем коэффициенты при Х2 и У2 совпадают с собственными числами матрицы квадратичной формы.

Матрица перехода к базису из собственных векторов:

Подставим найденные выражения в квадратичную форму:

Как и следовало ожидать, в новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, причем коэффициенты при Х2 и У2 совпадают с собственными числами матрицы квадратичной формы.

Найти преобразование координат, приводящее квадратичную форму

X2 + Y2 + 5Z2 – 6Xy + 2Xz – 2Yz к каноническому виду.

Матрица преобразования координат:

Для заданной квадратичной формы

Составим и решим характеристическое уравнение:

(Мы не останавливаемся подробно на способах решения уравнений высших порядков. В данном случае, например, один из корней был найден перебором делителей свободного члена, а затем левая часть разложена на множители.)

Найдем нормированные собственные векторы:

Матрица перехода к новому базису:

Задает преобразование координат:

Заметим, что в новых координатах квадратичная форма примет вид:

Где коэффициенты являются собственными числами, стоящими в той же последовательности, что и соответствующие собственные векторы в матрице Т.

Ответ:

Видео:Координаты в новом базисеСкачать

Доказать что векторы е1 е2 е3 образуют базис и найти координаты вектора Х в этом базисе.
Х=(-4,-2,5)
е1=(1,-1,1)
е2=(-3,0,2)
е3=(1,-1,2)

Даны векторы e1(1;-1;1), e2(-3;0;2), e3(1;-1;2), X(-4;-2;5). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.

Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.

Вычислим определитель матрицы:

Определитель матрицы равен ∆ =-3

Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1, α2, α3, что имеет место равенство:

X = α1e1 + α2e2 + α3e3

Запишем данное равенство в координатной форме:

Используя свойства векторов, получим следующее равенство:

(-4;-2;5) = (1α1;-1α1;1α1;) + (-3α2;0α2;2α2;) + (1α3;-1α3;2α3;)

(-4;-2;5) = (1α1 -3α2 + 1α3;-1α1 + 0α2 -1α3;1α1 + 2α2 + 2α3)

По свойству равенства векторов имеем:

1α1 -3α2 + 1α3 = -4

-1α1 + 0α2 -1α3 = -2

1α1 + 2α2 + 2α3 = 5

Решаем полученную систему уравнений методом Крамера.