Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Вход РегистрацияDonate FAQ Правила Поиск

Правила форума

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Основы линейной алгебры

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

05/12/06
126
Нижний Новгород

Здраствуйте. Мне необходимо решить некоторые задания, прочитав курс теории. Сходу разобраться не удалось, и поэтому я не могу вникнуть в формулировки заданий, что вызывает сложности при решении.
Итак, задание номер 1.
Пусть A = — система векторов арифм. пространства.
а) Найти ранг и базу системы А
б) Вектора не входящие в базу выразить через векторы базы.

а1 = (-2, 1, 7, 3)т
а2 = (2, 6, 3, 6)т
а3 = (1, 5, -2, 7)т
а4 = (-1, 2, 12, 2)т

Как решал его я.. Составил матрицу А —

(-2 2 1 -1 )
( 1 . )
( 7 . )
( 3 . )

(0 0 1 -1)
(0 1 0 1)
(1 0 0 1)

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
bot
Заслуженный участник
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

21/12/05
5746
Новосибирск

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
int13
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

05/12/06
126
Нижний Новгород

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
bot
Заслуженный участник
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

21/12/05
5746
Новосибирск

Во всех пунктах, кроме третьего система A отдыхает. Остальные пункты делаются за один проход гауссовыми преобразованиями в том порядке, как Вы это делали в предыдущей задаче:
Назначаете ненулевой элемент ведущим и преобразованиями строк обнуляете все элементы столбца, в котором он стоит, в любой другой строке опять выбираете ведущий и опять делаете то же самое. Прцесс прекратится, когда выбор ведущего станет невозможным. В этот момент при мысленной перестановке строк и столбцов у Вас выделится единичная матрица. Выделенные ведущие укажут номера векторов одной из баз, их количество — размерность оболочки (или ранг, как сказано). Как остальные векторы выражаются через базу, скажут столбцы так же как в решённой Вами задаче.

Линейная оболочка множества векторов — это множество всех линейных комбинаций векторов из B. Линейная оболочка является пространством со всеми вытекающими отсюда понятиями: размерность, базис, .

Относительно нахождения всех баз . задача дурацкая, но из конкретных зависимостей которые Вы найдёте, выразив все векторы через одну из баз, немного покомбинаторив, обычно нетрудно найти все возможные базы.

Пункт в) странный: если ранг B окажется не равным 3, то эквивалентности заведомо нет, а если окажется, то для эквивалентности надо знать эту А.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
int13
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

05/12/06
126
Нижний Новгород

В процессе упрощения этой системы получилась вот такая штука:

( 0 1 0 )
( 0 9.5 5.5)
( 1 14/11 0 )

Причем направляющий элемент взял из всех столбцов кроме среднего, и когда я зануляю среднюю строку получается ( 0 0 0 ), то есть это как понимать.. Либо я не правильно решил, либо любые вектора являются решением?

Добавлено спустя 2 минуты 50 секунд:

Вдогонку, прошу расшифровать мне вот такое задание:
Для данной матрицы А
а) Найти столбцовую базу. Остальные столбцы выразить через нее.
б) Найти строчечную базу. Остальные столбцы выразить через нее.
в) Найти базисный минор.

(-2 1 7 3 )
( 2 6 3 6 )
( 1 5 -2 7)
( -1 2 12 2)

Когда читал теорию, мне показалось, что я видел такое высказывание, что столбцовая и строчечная базы неквадратной матрицы равны, и равны этому же базисному минору. Про конкретно квадратную не помню.
Так вот, что здесь нужно сделать?
Решить. Транспонировать, и снова решить?

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Brukvalub
Заслуженный участник
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

01/03/06
13620
Москва

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Страница 1 из 1[ Сообщений: 6 ]

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того чтобы найти базис системы векторов Av А2. А , необходимо:

1) составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

2) привести эту систему к равносильной разрешенной системе вида

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

  • 3) записать базис системы векторов Б = (АрА2, . А ), включив в него векторы, соответствующие разрешенным неизвестным;
  • 4) записать разложения векторов по базису; коэффициентами разложения вектора А. по этому базису являются координаты соответствующего вектора

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

в разрешенной системе уравнений, т.е.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Система векторов, состоящая из п векторов, ранг которой равен г, может иметь несколько базисов. Число возможных базисов системы векторов определяется как число меньшее или равное числу сочетаний из п по г. Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Пример 3.3. Найти ранг и базис системы векторов

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

разложения векторов по базису, перейти к новому базису и найти число возможных базисов системы.

Решение. Составим систему уравнений A t ay + А2х2 + . + А„хп = 0, которая в координатной записи имеет вид

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Приведение данной системы уравнений с помощью преобразований Жордана к равносильной разрешенной приведено в ниже следующей таблице.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Разрешенная система имеет вид

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

В базис системы векторов включаем 1-й и 2-й векторы Б: = (AVA2), которые соответствуют разрешенным неизвестным х1 и х2. Ранг системы векторов равен числу векторов, вошедших в базис, т.е. г = 2.

Запишем разложения векторов по базису. Коэффициентами разложения вектора А3 являются координаты вектора А’3 = (3, -2), т.е. коэффициенты при х3 в разрешенной системе уравнений (в последних трех строках таблицы), они образуют столбец, расположенный под х3 А3 = ЗЛ1 — 2Аг Аналогично, коэффициентами разложения вектора А4 являются координаты вектора А’4 = (4, 1) А4 = 4Ау + 1 Ат

Для нахождения нового базиса необходимо выбрать новый разрешающий элемент. Пусть этим элементом будет элемент я94 = 1.

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Как найти базис системы векторов примеры. Как найти базис данной системы векторов

Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:

или в развернутом виде Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Будем решать эту систему методом Гаусса, не меняя местами строки и столбцы, и, кроме того, выбирая главный элемент не в верхнем левом углу, а по всей строке. Задача состоит в том, чтобы выделить диагональную часть преобразованной системы векторов .

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Разрешенная система векторов, равносильная исходной, имеет вид

Векторы а 1 1 , а 3 1 , а 4 1 образуют диагональную систему. Следовательно, векторы а 1 , а 3 , а 4 образуют базис системы векторов а 1 , а 2 , а 3 , а 4 , а 5 .

Разложим теперь векторы а 2 и а 5 по базису а 1 , а 3 , а 4 . Для этого сначала разложим соответствующие векторы а 2 1 и а 5 1 по диагональной системе а 1 1 , а 3 1 , а 4 1 , имея в виду, что коэффициентами разложения вектора по диагональной системе являются его координаты x i .

Векторы а 2 и а 5 разлагаются по базису а 1 , а 3 , а 4 с теми же коэффициентами, что и векторы а 2 1 и а 5 1 по диагональной системе а 1 1 , а 3 1 , а 4 1 (те коэффициенты x i ). Следовательно,

Задания. 1 .Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:

2. Найти все базисы системы векторов:

В геометрии вектор понимается как направленный отрезок, причем векторы, полученные один из другого параллельным переносом, считаются равными. Все равные векторы рассматриваются как один и тот же вектор. Начало вектора можно поместить в любую точку пространства или плоскости.

Если в пространстве заданы координаты концов вектора : A (x 1 , y 1 , z 1), B (x 2 , y 2 , z 2), то

Аналогичная формула имеет место на плоскости. Это значит, что вектор можно записать в виде координатной строки. Операции над векторами, – сложение и умножение на число, над строками выполняются покомпонентно. Это дает возможность расширить понятие вектора, понимая под вектором любую строку чисел. Например, решение системы линейных уравнений, а также любой набор значений переменных системы, можно рассматривать как вектор.

Над строками одинаковой длины операция сложения выполняется по правилу

(a 1 , a 2 , … , a n ) + (b 1 , b 2 , … , b n ) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + b n ). (2)

Умножение строки на число выполняется по правилу

l(a 1 , a 2 , … , a n ) = (la 1 , la 2 , … , la n ). (3)

Множество векторов-строк заданной длины n с указанными операциями сложения векторов и умножения на число образует алгебраическую структуру, которая называется n-мерным линейным пространством .

Линейной комбинацией векторов называется вектор Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, где λ 1 , . , λ m – произвольные коэффициенты.

Система векторов называется линейно зависимой, если существует ее линейная комбинация, равная , в которой есть хотя бы один ненулевой коэффициент.

Система векторов называется линейно независимой, если в любой ее линейной комбинации, равной , все коэффициенты нулевые.

Таким образом, решение вопроса о линейной зависимости системы векторов сводится к решению уравнения

Если у этого уравнения есть ненулевые решения, то система векторов линейно зависима. Если же нулевое решение является единственным, то система векторов линейно независима.

Для решения системы (4) можно для наглядности векторы записать не в виде строк, а в виде столбцов.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Тогда, выполнив преобразования в левой части, придем к системе линейных уравнений, равносильной уравнению (4). Основная матрица этой системы образована координатами исходных векторов, расположенных по столбцам. Столбец свободных членов здесь не нужен, так как система однородная.

Базисом системы векторов (конечной или бесконечной, в частности, всего линейного пространства) называется ее непустая линейно независимая подсистема, через которую можно выразить любой вектор системы.

Пример 1.5.2. Найти базис системы векторов = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) и выразить остальные векторы через базис.

Решение . Строим матрицу, в которой координаты данных векторов располагаем по столбцам. Это матрица системы x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Приводим матрицу к ступенчатому виду:

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Базис данной системы векторов образуют векторы , , , которым соответствуют ведущие элементы строк, выделенные кружками. Для выражения вектора решаем уравнение x 1 + x 2 + x 4 = . Оно сводится к системе линейных уравнений, матрица которой получается из исходной перестановкой столбца, соответствующего , на место столбца свободных членов. Поэтому при приведении к ступенчатому виду над матрицей будут сделаны те же преобразования, что выше. Значит, можно использовать полученную матрицу в ступенчатом виде, сделав в ней необходимые перестановки столбцов: столбцы с кружками помещаем слева от вертикальной черты, а столбец, соответствующий вектору , помещаем справа от черты.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Замечание . Если требуется выразить через базис несколько векторов, то для каждого из них строится соответствующая система линейных уравнений. Эти системы будут отличаться только столбцами свободных членов. При этом каждая система решается независимо от остальных.

У п р а ж н е н и е 1.4. Найти базис системы векторов и выразить остальные векторы через базис:

а) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

б) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

в) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, –6, –2).

В заданной системе векторов базис обычно можно выделить разными способами, но во всех базисах будет одинаковое число векторов. Число векторов в базисе линейного пространства называется размерностью пространства. Для n -мерного линейного пространства n – это размерность пространства, так как это пространство имеет стандартный базис = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Через этот базис любой вектор = (a 1 , a 2 , … , a n ) выражается следующим образом:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n ) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n (0, 0, … ,1) = a 1 + a 2 +… + a n .

Таким образом, компоненты в строке вектора = (a 1 , a 2 , … , a n ) – это его коэффициенты в разложении через стандартный базис.

Прямые на плоскости

Задача аналитической геометрии – применение к геометрическим задачам координатного метода. Тем самым задача переводится в алгебраическую форму и решается средствами алгебры.

Когда мы разбирали понятия n -мерного вектора и вводили операции над векторами, то выяснили, что множество всех n -мерных векторов порождает линейное пространство. В этой статье мы поговорим о важнейших связанных понятиях – о размерности и базисе векторного пространства. Также рассмотрим теорему о разложении произвольного вектора по базису и связь между различными базисами n -мерного пространства. Подробно разберем решения характерных примеров.

Навигация по странице.

Видео:Линейная зависимость и линейная независимость векторов.Скачать

Линейная зависимость и  линейная независимость  векторов.

Понятие размерности векторного пространства и базиса.

Понятия размерности и базиса векторного пространства напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что рекомендуем при необходимости обращаться к статье линейная зависимость системы векторов, свойства линейной зависимости и независимости.

Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Приведем некоторые рассуждения, основываясь на этих определениях.

Рассмотрим пространство n -мерных векторов.

Покажем, что размерность этого пространства равна n .

Возьмем систему из n единичных векторов вида

Примем эти векторы в качестве строк матрицы А . В этом случае матрица А будет единичной матрицей размерности n на n . Ранг этой матрицы равен n (при необходимости смотрите статью ). Следовательно, система векторов Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базулинейно независима, причем к этой системе нельзя добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости. Так как число векторов в системе Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуравно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуявляются базисом этого пространства .

Из последнего утверждения и определения базиса можно сделать вывод, что любая система n -мерных векторов, число векторов в которой меньше n , не является базисом .

Теперь переставим местами первый и второй вектор системы Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Легко показать, что полученная система векторов Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базутакже является базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, приняв ее строками векторы этой системы. Эта матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первой и второй строк, следовательно, ее ранг будет равен n . Таким образом, система из n векторов Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базулинейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.

Если переставить местами другие векторы системы Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, то получим еще один базис.

Если взять линейно независимую систему не единичных векторов, то она также является базисом n -мерного векторного пространства.

Таким образом, векторное пространство размерности n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n n -мерных векторов.

Если говорить о двумерном векторном пространстве (то есть, о плоскости), то ее базисом являются два любых не коллинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства являются три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим несколько примеров.

Являются ли векторы базисом трехмерного векторного пространства?

Исследуем эту систему векторов на линейную зависимость. Для этого составим матрицу, строками которой будут координаты векторов, и найдем ее ранг:

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Таким образом, векторы a , b и c линейно независимы и их количество равно размерности векторного пространства, следовательно, они являются базисом этого пространства.

Может ли система векторов быть базисом векторного пространства?

Эта система векторов линейно зависима, так как максимальное число линейно независимых трехмерных векторов равно трем. Следовательно, эта система векторов не может быть базисом трехмерного векторного пространства (хотя подсистема исходной системы векторов является базисом).

Убедитесь, что векторы
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
могут быть базисом четырехмерного векторного пространства.

Составим матрицу, приняв ее строками исходные векторы:
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Найдем :
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Таким образом, система векторов a, b, c, d линейно независима и их количество равно размерности векторного пространства, следовательно, a, b, c, d являются его базисом.

Исходные векторы действительно являются базисом четырехмерного пространства.

Составляют ли векторы базис векторного пространства размерности 4 ?

Даже если исходная система векторов линейно независима, количество векторов в ней недостаточно для того, чтобы быть базисом четырехмерного пространства (базис такого пространства состоит из 4 векторов).

Нет, не составляет.

Видео:Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Разложение вектора по базису векторного пространства.

Пусть произвольные векторы Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуявляются базисом n -мерного векторного пространства. Если к ним добавить некоторый n -мерный вектор x , то полученная система векторов будет линейно зависимой. Из свойств линейной зависимости мы знаем, что хотя бы один вектор линейно зависимой системы линейно выражается через остальные. Иными словами, хотя бы один из векторов линейно зависимой системы раскладывается по остальным векторам.

Так мы подошли к очень важной теореме.

Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Пусть Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу— базис n -мерного векторного пространства. Добавим к этим векторам n -мерный вектор x . Тогда полученная система векторов будет линейно зависимой и вектор x может быть линейно выражен через векторы Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу: , где — некоторые числа. Так мы получили разложение вектора x по базису. Осталось доказать, что это разложение единственно.

Предположим, что существует еще одно разложение , где Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу— некоторые числа. Отнимем от левой и правой частей последнего равенства соответственно левую и правую части равенства :

Так как система базисных векторов Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базулинейно независима, то по определению линейной независимости системы векторов полученное равенство возможно только тогда, когда все коэффициенты равны нулю. Поэтому, , что доказывает единственность разложения вектора по базису.

Коэффициенты называются координатами вектора x в базисе Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

После знакомства с теоремой о разложении вектора по базису, мы начинаем понимать суть выражения «нам задан n -мерный вектор Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу». Это выражение означает, что мы рассматриваем вектор x n -мерного векторного пространства, координаты которого заданы в некотором базисе. При этом мы понимаем, что этот же вектор x в другом базисе n-мерного векторного пространства будет иметь координаты, отличные от .

Рассмотрим следующую задачу.

Пусть в некотором базисе n -мерного векторного пространства нам задана система из n линейно независимых векторов
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
и вектор Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Тогда векторы Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базутакже являются базисом этого векторного пространства.

Пусть нам требуется найти координаты вектора x в базисе Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Обозначим эти координаты как Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Вектор x в базисе Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуимеет представление . Запишем это равенство в координатной форме:

Это равенство равносильно системе из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу:
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Основная матрица этой системы имеет вид
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Обозначим ее буквой А . Столбцы матрицы А представляют собой векторы линейно независимой системы векторов Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, поэтому ранг этой матрицы равен n , следовательно, ее определитель отличен от нуля. Этот факт указывает на то, что система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено любым методом, например, или .

Так будут найдены искомые координаты Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базувектора x в базисе Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Разберем теорию на примерах.

В некотором базисе трехмерного векторного пространства заданы векторы
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Убедитесь, что система векторов также является базисом этого пространства и найдите координаты вектора x в этом базисе.

Чтобы система векторов была базисом трехмерного векторного пространства нужно, чтобы она была линейно независима. Выясним это, определив ранг матрицы A , строками которой являются векторы . Ранг найдем методом Гаусса

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
следовательно, Rank(A) = 3 , что показывает линейную независимость системы векторов .

Итак, векторы являются базисом. Пусть в этом базисе вектор x имеет координаты . Тогда, как мы показали выше, связь координат этого вектора задается системой уравнений
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Подставив в нее известные из условия значения, получим
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Решим ее методом Крамера:
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Таким образом, вектор x в базисе имеет координаты Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

В некотором базисе Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базучетырехмерного векторного пространства задана линейно независимая система векторов
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Известно, что Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Найдите координаты вектора x в базисе Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Так как система векторов Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базулинейно независима по условию, то она является базисом четырехмерного пространства. Тогда равенство Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуозначает, что вектор x в базисе Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуимеет координаты . Обозначим координаты вектора x в базисе Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базукак .

Система уравнений, задающая связь координат вектора x в базисах Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуимеет вид
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Подставляем в нее известные значения и находим искомые координаты :
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Видео:Примеры Линейная зависимость векторов Базис и ранг системы векторовСкачать

Примеры  Линейная зависимость векторов  Базис и ранг системы векторов

Связь между базисами.

Пусть в некотором базисе n -мерного векторного пространства заданы две линейно независимые системы векторов
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
и
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
то есть, они тоже являются базисами этого пространства.

Если Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу— координаты вектора в базисе Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, то связь координат Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базузадается системой линейных уравнений (об этом мы говорили в предыдущем пункте):
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
, которая в матричной форме может быть записана как

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Аналогично для вектора мы можем записать

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Предыдущие матричные равенства можно объединить в одно, которое по сути задает связь векторов двух различных базисов

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Аналогично мы можем выразить все векторы базиса Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базучерез базис Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу:

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Матрицу Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуназывают матрицей перехода от базиса Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базук базису Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, тогда справедливо равенство
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Умножив обе части этого равенства справа на

получим
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Найдем матрицу перехода, при этом не будем подробно останавливаться на нахождении обратной матрицы и умножении матриц (смотрите при необходимости статьи и ):

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Осталось выяснить связь координат вектора x в заданных базисах.

Пусть в базисе вектор x имеет координаты , тогда
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
а в базисе вектор x имеет координаты , тогда
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Так как левые части последних двух равенств одинаковы, то мы можем приравнять правые части:
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
Если умножить обе части справа на

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
С другой стороны
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
(найдите обратную матрицу самостоятельно).
Два последних равенства дают нам искомую связь координат вектора x в базисах и .

Матрица перехода от базиса к базису имеет вид
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу;
координаты вектора x в базисах и связаны соотношениями
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу
или
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Мы рассмотрели понятия размерности и базиса векторного пространства, научились раскладывать вектор по базису и обнаружили связь между разными базисами n-мерного пространства векторов через матрицу перехода.

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.

Лекция 9. Базис векторного пространства.

Краткое содержание: система векторов, линейная комбинация системы векторов, коэффициенты линейной комбинации системы векторов, базис на прямой, плоскости и в пространстве, размерности векторных пространств на прямой, плоскости и в пространстве, разложение вектора по базису, координаты вектора относительно базиса, теорема о равенстве двух векторов, линейные операции с векторами в координатной форме записи, ортонормированная тройка векторов, правая и левая тройки векторов, ортонормированный базис, основная теорема векторной алгебры.

Глава 9. Базис векторного пространства и разложение вектора по базису.

п.1. Базис на прямой, на плоскости и в пространстве.

Определение. Любое конечное множество векторов называется системой векторов.

Определение. Выражение , где
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуназывается линейной комбинацией системы векторов
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, а числа
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуназываются коэффициентами этой линейной комбинации.

Пусть L, Р и S – прямая, плоскость и пространство точек соответственно и
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Тогда
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– векторные пространства векторов как направленных отрезков на прямой L, на плоскости Р и в пространстве S соответственно.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуназывается любой ненулевой вектор
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, т.е. любой ненулевой вектор коллинеарный прямой L:
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Обозначение базиса
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу:
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– базис
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Определение. Базисом векторного пространства
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуназывается любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов пространства
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, где
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– базис
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Определение. Базисом векторного пространства
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуназывается любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов (т.е. не лежащих в одной плоскости) пространства
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– базис
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Замечание. Базис векторного пространства не может содержать нулевого вектора: в пространстве
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупо определению, в пространстве
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базудва вектора будут коллинеарные, если хотя бы один из них нулевой, в пространстве
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базутри вектора будут компланарные, т.е будут лежать в одной плоскости, если хотя бы один из трех векторов будет нулевой.

п.2. Разложение вектора по базису.

Определение. Пусть Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– произвольный вектор,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– произвольная система векторов. Если выполняется равенство

то говорят, что вектор Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупредставлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуявляется базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупо базису
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Коэффициенты линейной комбинации
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуназываются в этом случае координатами вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуотносительно базиса
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– базис
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Возьмем произвольный вектор
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Так как оба вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуколлинеарные одной и той же прямой L, то
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, то найдется (существует) такое число
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, что
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи тем самым мы получили разложение вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупо базису
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базувекторного пространства
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупо базису
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базувекторного пространства
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу:

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, где
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Тогда
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи используя закон дистрибутивности, получаем:

Так как
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, то из последнего равенства следует, что
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, ч.т.д.

2) Пусть теперь Р произвольная плоскость и
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– базис
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Пусть
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупроизвольный вектор этой плоскости. Отложим все три вектора от какой-нибудь одной точки этой плоскости. Построим 4 прямых. Проведем прямую Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, на которой лежит вектор Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, прямую
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, на которой лежит вектор Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Через конец вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупроведем прямую параллельную вектору Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи прямую параллельную вектору Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Эти 4 прямые высекают параллелограмм. См. ниже рис. 3. По правилу параллелограмма
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, и
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– базис Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– базис
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Теперь, по уже доказанному в первой части этого доказательства, существуют такие числа
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, что

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Отсюда получаем:

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи возможность разложения по базису доказана.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Теперь докажем единственность разложения по базису. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупо базису
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базувекторного пространства
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу:
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Получаем равенство

Откуда следует
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Если
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, то
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, а т.к.
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, то
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи коэффициенты разложения равны:
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Пусть теперь
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Тогда
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, где
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. По теореме о коллинеарности двух векторов отсюда следует, что
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Получили противоречие условию теоремы. Следовательно,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, ч.т.д.

3) Пусть
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– базис
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи пусть
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупроизвольный вектор. Проведем следующие построения.

Отложим все три базисных вектора
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи вектор Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуот одной точки и построим 6 плоскостей: плоскость, в которой лежат базисные векторы
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, плоскость
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи плоскость
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу; далее через конец вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупроведем три плоскости параллельно только что построенным трем плоскостям. Эти 6 плоскостей высекают параллелепипед:

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

По правилу сложения векторов получаем равенство:

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. (1)

По построению
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Отсюда, по теореме о коллинеарности двух векторов, следует, что существует число
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, такое что
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Аналогично,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, где
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Теперь, подставляя эти равенства в (1), получаем:

и возможность разложения по базису доказана.

Докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупо базису
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу:

Заметим, что по условию векторы
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базунекомпланарные, следовательно, они попарно неколлинеарные.

Возможны два случая:
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуили
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

а) Пусть
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, тогда из равенства (3) следует:

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. (4)

Из равенства (4) следует, что вектор Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базураскладывается по базису
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, т.е. вектор Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базулежит в плоскости векторов
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи, следовательно, векторы
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базукомпланарные, что противоречит условию.

б) Остается случай
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, т.е.
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Тогда из равенства (3) получаем или

Так как
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– базис пространства векторов лежащих в плоскости, а мы уже доказали единственность разложения по базису векторов плоскости, то из равенства (5) следует, что
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, ч.т.д.

1) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи множеством действительных чисел R.

2) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи декартовым квадратом
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

3) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи декартовым кубом
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базумножества действительных чисел R.

Доказательство. Докажем третье утверждение. Первые два доказываются аналогично.

Выберем и зафиксируем в пространстве
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базукакой-нибудь базис
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи устроим отображение
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупо следующему правилу:

т.е. каждому вектору поставим в соответствие упорядоченный набор его координат.

Так как при фиксированном базисе каждый вектор имеет единственный набор координат, то соответствие, задаваемое правилом (6) действительно является отображением.

Из доказательства теоремы следует, что различные векторы имеют различные координаты относительно одного и того же базиса, т.е. отображение (6) является инъекцией.

Пусть
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупроизвольный упорядоченный набор действительных чисел.

Рассмотрим вектор
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Этот вектор по построению имеет координаты
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Следовательно, отображение (6) является сюръекцией.

Отображение, которое одновременно инъективное и сюръективное является биективным, т.е. взаимно однозначным, ч.т.д.

Теорема. (О равенстве двух векторов.)

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты относительно одного и того же базиса.

Доказательство сразу же вытекает из предыдущего следствия.

п.3. Размерность векторного пространства.

Определение. Число векторов в базисе векторного пространства называется его размерностью.

Обозначение:
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– размерность векторного пространства V.

Таким образом, в соответствие с этим и предыдущими определениями, имеем:

1)
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– векторное пространство векторов прямой L.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– базис
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– разложение вектора
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупо базису
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– координата вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуотносительно базиса
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

2)
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– векторное пространство векторов плоскости Р.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– базис
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– разложение вектора
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупо базису
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– координаты вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуотносительно базиса
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

3)
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– векторное пространство векторов в пространстве точек S.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– базис
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– разложение вектора
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупо базису
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– координаты вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуотносительно базиса
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Замечание. Если
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, то
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи можно выбрать базис
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупространства
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базутак, что
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– базис
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– базис
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. Тогда
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, и
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, .

Таким образом, любой вектор прямой L, плоскости Р и пространства S можно разложить по базису
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу:

Обозначение. В силу теоремы о равенстве векторов, мы можем отождествить любой вектор с упорядоченной тройкой действительных чисел и писать:

Это возможно лишь том случае, когда базис
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуфиксирован и нет опасности спутаться.

Определение. Запись вектора в виде упорядоченной тройки действительных чисел называют координатной формой записи вектора:
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

п.4. Линейные операции с векторами в координатной форме записи.

Пусть
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– базис пространства
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– два его произвольных вектора. Пусть
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– запись этих векторов в координатной форме. Пусть, далее,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– произвольное действительное число. В этих обозначениях имеет место следующая теорема.

Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатной форме.)

2)
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Другими словами, для того, чтобы сложить два вектора нужно сложить их соответствующие координаты, а чтобы умножить вектор на число, нужно каждую координату данного вектора умножить на данное число.

Доказательство. Так как по условию теоремы , , то используя аксиомы векторного пространства, которым подчиняются операции сложения векторов и умножения вектора на число, получаем:

Аналогично доказывается второе равенство.

п.5. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис.

Определение. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу, т.е.
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Обозначение:
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу– векторы Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуортогональны.

Определение. Тройка векторов
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуназывается ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны друг другу, т.е.
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу,
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Определение. Тройка векторов
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуназывается ортонормированной, если она ортогональная и длины всех векторов равны единице:
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу.

Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной.

Определение. Упорядоченная некомпланарная тройка векторов
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, отложенных от одной точки, называется правой (правоориентированной), если при наблюдении с конца третьего вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуна плоскость, в которой лежат первые два вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуи Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, кратчайший поворот первого вектора Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуко второму Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базупроисходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой (левоориентированной).

Здесь, на рис.6 изображена правая тройка векторов
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу. На следующем рис.7 изображена левая тройка векторов
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу:

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

Определение. Базис
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базувекторного пространства
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуназывается ортонормированным, если
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуортонормированная тройка векторов.

Обозначение. В дальнейшем мы будем пользоваться правым ортонормированным базисом
Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу, см. следующий рисунок.

Выражение вида называется линейной комбинацией векторов A 1 , A 2 . A n с коэффициентами λ 1, λ 2 . λ n .

Определение линейной зависимости системы векторов

Система векторов A 1 , A 2 . A n называется линейно зависимой , если существует ненулевой набор чисел λ 1, λ 2 . λ n , при котором линейная комбинация векторов λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +. +λ n *A n равна нулевому вектору , то есть система уравнений: имеет ненулевое решение.
Набор чисел λ 1, λ 2 . λ n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ 1, λ 2 . λ n отлично от нуля.

Определение линейной независимости системы векторов

Система векторов A 1 , A 2 . A n называется линейно независимой , если линейная комбинация этих векторов λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +. +λ n *A n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ 1, λ 2 . λ n , то есть система уравнений: A 1 x 1 +A 2 x 2 +. +A n x n =Θ имеет единственное нулевое решение.

Проверить, является ли линейно зависимой система векторов

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

1. Составляем систему уравнений :

2. Решаем ее методом Гаусса . Преобразования Жордано системы приведены в таблице 29.1. При расчете правые части системы не записываются так как они равны нулю и при преобразованиях Жордана не изменяются.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

3. Из последних трех строк таблицы записываем разрешенную систему, равносильную исходной системе:

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базу

5. Задав по своему усмотрению значение свободной переменной x 3 =1, получаем частное ненулевое решение X=(-3,2,1).

Ответ: Таким образом, при ненулевом наборе чисел (-3,2,1) линейная комбинация векторов равняется нулевому вектору -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Следовательно, система векторов линейно зависимая .

Свойства систем векторов

Свойство (1)
Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из векторов разлагается по остальным и, наоборот, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным, то система векторов линейно зависимая.

Свойство (2)
Если какая-либо подсистема векторов линейно зависимая, то и вся система линейно зависимая.

Свойство (3)
Если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.

Свойство (4)
Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависимая.

Свойство (5)
Система m-мерных векторов всегда является линейно зависимой, если число векторов n больше их размерности (n>m)

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Базис системы векторов

Базисом системы векторов A 1 , A 2 . A n называется такая подсистема B 1 , B 2 . B r (каждый из векторов B 1 ,B 2 . B r является одним из векторов A 1 , A 2 . A n) , которая удовлетворяет следующим условиям:
1. B 1 ,B 2 . B r линейно независимая система векторов;
2. любой вектор A j системы A 1 , A 2 . A n линейно выражается через векторы B 1 ,B 2 . B r

r — число векторов входящих в базис.

Теорема 29.1 О единичном базисе системы векторов.

Если система m-мерных векторов содержит m различных единичных векторов E 1 E 2 . E m , то они образуют базис системы.

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того, чтобы найти базис системы векторов A 1 ,A 2 . A n необходимо:

  • Составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений A 1 x 1 +A 2 x 2 +. +A n x n =Θ
  • Привести эту систему

Популярное

  • Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуКак приготовить вкусный пирог с черемухой – подборка рецептов Человеку, который имеет свой плей л.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуС чем носить женскую кожаную куртку, фото и стильные советы Человеку, который имеет свой плей л.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуКак ухаживать за кожей весной Человеку, который имеет свой плей л.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуЗаеды на губах – причины и симптомы, как лечить? Человеку, который имеет свой плей л.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуПоверхностная закалка (ТВЧ) Закалка твч оборудование Человеку, который имеет свой плей л.

Свежие записи

  • Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуПотрясающие проекты современных учебно-развлекательных центров для детей Человеку, который имеет свой плей л.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуКак выбрать токарный станок по металлу в гараж Человеку, который имеет свой плей л.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуЛучшие упражнения против целлюлита на бедрах и ягодицах Убрать целлюлит на попе упражнения Человеку, который имеет свой плей л.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуШарли или тихие шаги войны Человеку, который имеет свой плей л.

Найти какую нибудь базу системы векторов и все векторы системы не входящие в данную базуЧто можно и нельзя есть в пост? Человеку, который имеет свой плей л.

🔍 Видео

Решение "базисной системы векторов" (2)Скачать

Решение "базисной системы векторов" (2)

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

КАЗАХСТАН - спецпроект Соседи Узбекистана. Выпуск #4Скачать

КАЗАХСТАН - спецпроект Соседи Узбекистана. Выпуск #4

Линейная зависимость векторовСкачать

Линейная зависимость векторов

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

УКРАИНУ ВОЗЬМУТ В КОЛЬЦО! БОЛЕЗНЬ Х. Закрытие границ. Какие территории будут в оккупации? РоссияСкачать

УКРАИНУ ВОЗЬМУТ В КОЛЬЦО! БОЛЕЗНЬ Х. Закрытие границ. Какие территории будут в оккупации? Россия

Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Линейная зависимость и линейная независимость. ТемаСкачать

Линейная зависимость и линейная независимость. Тема

Базис. Разложение вектора по базису.Скачать

Базис. Разложение вектора по базису.

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.
Поделиться или сохранить к себе: