Найти длины суммы и разности векторов a и b

Сумма и разность векторов

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Найти длины суммы и разности векторов a и b

Геометрическая интерпретация:

Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Найти длины суммы и разности векторов a и b

Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

Формула сложения векторов

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .

<table data-id="250" data-view-id="250_55602" data-title="Формулы сложения векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <ax + bx; ay + by> » data-order=» a + b = <ax + bx; ay + by> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a + b = <ax + bx; ay + by>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz> » data-order=» a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz> «> a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn> » data-order=» a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn> «> a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn>

Свойства сложения векторов

1. Коммутативность: a + b = b + a

2. Ассоциативность: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

3. Прибавление к нулю: a + 0 = a

4. Сумма противоположных векторов: a + (- a ) = 0

Примечание: Вектор – a коллинеарен и равен по длине a , но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

Разность векторов

Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.

Найти длины суммы и разности векторов a и b

Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие:

Формула вычитания векторов

Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .

<table data-id="251" data-view-id="251_83403" data-title="Формулы вычитания векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <ax — bx; ay — by> » data-order=» a — b = <ax — bx; ay — by> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a — b = <ax — bx; ay — by>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz> » data-order=» a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz> «> a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn> » data-order=» a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn> «> a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn>

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Примеры задач

Задание 1
Вычислим сумму векторов и .

Задание 2
Найдем разность векторов и .

Видео:РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ геометрия 9 АтанасянСкачать

РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ геометрия 9 Атанасян

Онлайн калькулятор. Сложение и вычитание двух векторов.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти сумму двух векторов или разность двух векторов для плоских и пространственных задач.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на сложение и вычитание двух векторов и закрепить пройденый материал.

Видео:8 класс, 43 урок, Сумма двух векторовСкачать

8 класс, 43 урок, Сумма двух векторов

Калькулятор для сложения и вычитания двух векторов

Введите значения векторов.

Инструкция использования калькулятора для сложения и вычитания двух векторов

Ввод даных в калькулятор для сложения и вычитания двух векторов

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для сложения и вычитания двух векторов

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Теория. Сложение и вычитание двух векторов

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Задачи на скалярное произведение векторов. Длина суммы и разности векторов. Геометрия 8-9 классСкачать

Задачи на скалярное произведение векторов. Длина суммы и разности векторов. Геометрия 8-9 класс

Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов

Видео:Построить разность векторов.Скачать

Построить разность векторов.

Определения скалярного произведения векторов через угол между ними

Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов Найти длины суммы и разности векторов a и bи Найти длины суммы и разности векторов a и bназывается вектор Найти длины суммы и разности векторов a и b, начало которого совпадает с началом вектора Найти длины суммы и разности векторов a и b, а конец — с концом вектора Найти длины суммы и разности векторов a и b, при условии, что начало вектора Найти длины суммы и разности векторов a и bприложено к концу вектора Найти длины суммы и разности векторов a и b) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

Найти длины суммы и разности векторов a и b

При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть Найти длины суммы и разности векторов a и bи Найти длины суммы и разности векторов a и b— векторы, Найти длины суммы и разности векторов a и b— угол между ними, а Найти длины суммы и разности векторов a и b— сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:

Найти длины суммы и разности векторов a и b,

где Найти длины суммы и разности векторов a и b— угол, смежный с углом Найти длины суммы и разности векторов a и b. У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

Найти длины суммы и разности векторов a и b.

В случае вычитания векторов (Найти длины суммы и разности векторов a и b) происходит сложение вектора Найти длины суммы и разности векторов a и bс вектором Найти длины суммы и разности векторов a и b, противоположным вектору Найти длины суммы и разности векторов a и b, то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и Найти длины суммы и разности векторов a и bи Найти длины суммы и разности векторов a и bи между Найти длины суммы и разности векторов a и bи Найти длины суммы и разности векторов a и bявляются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов:

косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.

Перейдём к примерам.

Видео:Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.

Сложение векторов — решение примеров

Пример 1. Векторы Найти длины суммы и разности векторов a и bи Найти длины суммы и разности векторов a и bобразуют угол Найти длины суммы и разности векторов a и b. Их длины: Найти длины суммы и разности векторов a и bи Найти длины суммы и разности векторов a и b. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Найти длины суммы и разности векторов a и b. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Найти длины суммы и разности векторов a и b.

Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что Найти длины суммы и разности векторов a и b.

Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами:

Найти длины суммы и разности векторов a и b

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Найти длины суммы и разности векторов a и b

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Векторы Найти длины суммы и разности векторов a и bи Найти длины суммы и разности векторов a и bобразуют угол Найти длины суммы и разности векторов a и b. Их длины: Найти длины суммы и разности векторов a и bи Найти длины суммы и разности векторов a и b. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Найти длины суммы и разности векторов a и b. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Найти длины суммы и разности векторов a и b.

Пример 3. Даны длины векторов Найти длины суммы и разности векторов a и bи длина их суммы Найти длины суммы и разности векторов a и b. Найти длину их разности Найти длины суммы и разности векторов a и b.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Найти длины суммы и разности векторов a и b

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Найти длины суммы и разности векторов a и b

Пример 4. Даны длины векторов Найти длины суммы и разности векторов a и bи длина их разности Найти длины суммы и разности векторов a и b. Найти длину их суммы Найти длины суммы и разности векторов a и b.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

Найти длины суммы и разности векторов a и b

Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между Найти длины суммы и разности векторов a и bи Найти длины суммы и разности векторов a и b:

Найти длины суммы и разности векторов a и b

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Найти длины суммы и разности векторов a и b

Пример 5. Векторы Найти длины суммы и разности векторов a и bи Найти длины суммы и разности векторов a и bвзаимно перпендикулярны, а их длины Найти длины суммы и разности векторов a и b. Найти длину их суммы Найти длины суммы и разности векторов a и bи и длину их разности Найти длины суммы и разности векторов a и b.

Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:

Найти длины суммы и разности векторов a и b

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы Найти длины суммы и разности векторов a и bи Найти длины суммы и разности векторов a и b, чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. Найти длины суммы и разности векторов a и b,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. Найти длины суммы и разности векторов a и b,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. Найти длины суммы и разности векторов a и b?

Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

Найти длины суммы и разности векторов a и b

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Найти длины суммы и разности векторов a и b

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Найти длины суммы и разности векторов a и b

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

🔥 Видео

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольника

10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторовСкачать

10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторов

Вычитание векторов. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. Практическая часть. 9 класс.

егэ векторы решу егэ все задания №2 профильСкачать

егэ векторы решу егэ все задания №2 профиль

Геометрия, 9 класс, Правила нахождения координат суммы, разности векторов, произведенияСкачать

Геометрия, 9 класс, Правила нахождения координат суммы, разности векторов, произведения

РАЗБИРАЕМ ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ II 😊#shorts #математика #егэ #задачи #егэ2022 #огэ2022Скачать

РАЗБИРАЕМ ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ II 😊#shorts #математика #егэ #задачи  #егэ2022 #огэ2022

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

410. Построение суммы и разности векторов и и нахождение модуля линейной комбинации векторов.Скачать

410. Построение суммы и разности векторов  и и нахождение модуля линейной комбинации векторов.

Сумма и разность векторов. Длина вектора (профильный ЕГЭ)Скачать

Сумма и разность векторов. Длина вектора (профильный ЕГЭ)

Сумма и разность векторов. Урок 2. Геометрия 9 классСкачать

Сумма и разность векторов. Урок 2. Геометрия  9 класс

Сложение векторов. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Практическая часть. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: