Найдите сумму векторов ab ad aa1

Смешанное, векторное и скалярное произведение векторов

Задача:

Найдите сумму векторов ab ad aa1Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA1(-3,-2,5).
Найти:

Решение:

  • а) Объем параллелепипеда будем искать через смешанное произведение векторов (AB AD AA1). Мы знаем, что модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенному на этих векторах.
(AB AD AA1)=
430
212
-3-25
=20 — 18 + 0 — 0 — 30 + 16=-12.

Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
VABCDA1B1C1D1=12.
б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. SABCD= |[AB AD]|.

[AB AD]=
ijk
430
212
=6i — 8j — 2k,

Теперь найдём модуль этого вектора:

SABCD= |[AB AD]|=√(36+64+4)=2√(26).
[AD AA1]=
ijk
212
-3-25
=9i — 16jk,

SADD1A1= |[AD AA1]|=√(81+256+1)=13√2.

  • в) Что бы найти длину высоты, проведенной из вершины A1 на грань ABCD, используем формулу для нахождения объема параллелепипеда V=h SABCD. С этой формулы видим:
    h=
    V
    SABCD
    =
    12
    2√(26)
    =
    6
    √(26)
    =
    3√(26)
    13
    .
  • г) Косинус угла λ1, между ребром AB и диагональю B1D будем высчитывать с помощью скалярного произведения векторов
    cos(λ1)=
    (AB B1D)
    |AB| * |B1D|
    .

    Координаты вектора AB мы имеем, от вектор B1D надо найти. Для этого используем следующую формулу:
    B1D = B1A1 + A1A + AD = — AB — AA1 + AD1 = — (4, 3, 0) — (-3, -2, 5) + (2, 1, 2); (Не забывайте, что всё это векторы, надо сложить их соответствующие координаты. )
    Сделав вычисления по этой формуле, мы найдём, что вектор B1D имеет координаты (1, 0, -3). Теперь надо найти длину векторов AB и B1D:
    |AB|=√(16+9+0)=5, |B1D|=√(1+0+9)=√(10).
    Найдём скалярное произведение векторов AB и B1D, (AB B1D)=4*1 + 3*0 + 0*(-3)=4.
    Теперь, имея все данные мы можем подставить их в нашу формулу:

    cos(λ1)=
    4
    5√(10)
    =
    2√(10)
    25
    .

    д) Что бы найти cos(λ2), мы используем то, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами до этих плоскостей. А как мы знаем, векторное произведение — это и есть перпендикуляр до плоскости перемножаемых векторов. Поэтому в роле перпендикуляра к плоскости ADD1A1 мы можем взять вектор [AD AA1], который мы нашли в пункте б), и знаем, что его координаты (9, -16, -1), точно также и для плоскости ABCD — вектор [AB AD] с координатами (6, -8, -2).
    Теперь нам остаётся, как в предыдущем варианте найти только косинус угла между двумя векторами, координаты которых нам известны.

    cos(λ2)=
    6*9 + (-8)*(-16) + (-2)*(-1)
    2√(26) * 13√(2)
    =
    46√(13)
    169
    .

    Вот таким не хитрым способом мы и нашли косинус угла между гранями ABCD и ADD1A1.

    Содержание
    1. Правило параллелепипеда. Разложение вектора
    2. Правило параллелепипеда
    3. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
    4. Дан параллелепипед abcda1b1c1d1 найдите вектор ca1 + ad + d1c1 найдите вектор ab — aa1 — c1b1 найдите вектор bc1 в виде разности двух векторов, один из которых вектор d1b?
    5. Вектор m противоположно направлен вектору b и имеет длину вектора a ?
    6. Даны векторы x и y Найдите координаты векторов?
    7. Найдите координаты вектора a + b если 1)вектор a , вектор b 2)вектор a, вектор b ?
    8. Найдите скалярное произведение векторов а и b, если векторы a и b противоположно направлены и |вектора a| = 3, |вектор b| = 1?
    9. Даны векторы а(0, 4) и b( — 3, — 2)?
    10. Даны векторы а(3 ; 4) и b(6 ; 8)Найдите угол между этими векторами?
    11. Даны некомпланарные векторы a, b, c?
    12. Даны векторы ?
    13. PABCD — пирамида, ABCD — параллелограмм, вектор PA = вектору a, вектор PB = вектору b, вектор PC = вектору с?
    14. Дан вектор А(1 ; 4 3) Найдите абсолютную величину вектора 3а?
    15. 📹 Видео

    Видео:Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

    Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.

    Правило параллелепипеда. Разложение вектора

    Вы будете перенаправлены на Автор24

    Видео:№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинамиСкачать

    №358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами

    Правило параллелепипеда

    Для правила сложения трех векторов рассмотрим следующую задачу.

    Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Доказательство.

    Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

    Так как $overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow$

    Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения сложения трех векторов. Чтобы найти сумму трех векторов $overrightarrow,overrightarrow и overrightarrow$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $overrightarrow=overrightarrow$, $overrightarrow=overrightarrow$ и $overrightarrow=overrightarrow$ и построим параллелепипед на этих векторах. Тогда вектор диагонали $overrightarrow$ и будет суммой этих трех векторов. Это правило называется правилом параллелепипеда для сложения трех векторов.

    Видео:Правило параллелепипеда для векторовСкачать

    Правило параллелепипеда для векторов

    Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

    Вспомним сначала, какие векторы называются компланарными.

    Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.

    Произвольный вектор $overrightarrow

    $ можно разложить по трем некомпланарным векторам $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$ с единственными коэффициентами разложения.

    Математически это можно записать следующим образом

    Доказательство.

    Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$. Выберем произвольную точку $O$ и построим следующие векторы:

    [overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow и overrightarrow

    =overrightarrow]

    Рассмотрим следующий рисунок:

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку $P$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow$. Пусть эта прямая пересекает плоскость $OAB$ в точке $P_1$. Далее, проведем через точку $P_1$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow$. Пусть эта прямая пересекает прямую $OA$ в точке $P_2$ (смотри рисунок выше).

    Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

    Так как векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то

    Так как векторы $overrightarrow

    $ и $overrightarrow$ коллинеарны, то

    Так как векторы $overrightarrow

    $ и $overrightarrow$ коллинеарны, то

    Тогда, получаем, что

    Существование разложения доказано.

    Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора $overrightarrow

    $ по векторам $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$:

    Вычтем эти разложения друг из друга

    Из этого получаем

    Теорема доказана.

    Дан параллелепипед abcda1b1c1d1 найдите вектор ca1 + ad + d1c1 найдите вектор ab — aa1 — c1b1 найдите вектор bc1 в виде разности двух векторов, один из которых вектор d1b?

    Геометрия | 5 — 9 классы

    Дан параллелепипед abcda1b1c1d1 найдите вектор ca1 + ad + d1c1 найдите вектор ab — aa1 — c1b1 найдите вектор bc1 в виде разности двух векторов, один из которых вектор d1b.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Ответ : а) сс1 ; б) а1с ; в) bc1 = d1c1 — d1b.

    Объяснение : Правила : СУММА.

    Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего — с концом второго и так далее, сумма же n векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом n — го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную).

    Для получения вектора разности (c) = (a — b) начала векторов соединяются и началом вектора разности (c) будет конец вектора (b) (вычитаемое), а концом — конец вектора (a) (уменьшаемое).

    Тогда : Вектор ca1 + ad + d1c1 = ca1 + a1d1 + d1c1 = сс1 (вектор ad = вектору а1d1)Вектор ab — aa1 — c1b1 = a1b — c1b1 = d1c — d1a1 = a1c (вектор a1b = вектору d1c).

    Вектор bc1 = d1с1 — d1b.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

    Вычитание векторов. 9 класс.

    Вектор m противоположно направлен вектору b и имеет длину вектора a ?

    Вектор m противоположно направлен вектору b и имеет длину вектора a .

    Найдите координаты вектора m.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Видео:8 класс, 43 урок, Сумма двух векторовСкачать

    8 класс, 43 урок, Сумма двух векторов

    Даны векторы x и y Найдите координаты векторов?

    Даны векторы x и y Найдите координаты векторов.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

    Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

    Найдите координаты вектора a + b если 1)вектор a , вектор b 2)вектор a, вектор b ?

    Найдите координаты вектора a + b если 1)вектор a , вектор b

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

    Сложение векторов. 9 класс.

    Найдите скалярное произведение векторов а и b, если векторы a и b противоположно направлены и |вектора a| = 3, |вектор b| = 1?

    Найдите скалярное произведение векторов а и b, если векторы a и b противоположно направлены и |вектора a| = 3, |вектор b| = 1.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Видео:10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторовСкачать

    10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторов

    Даны векторы а(0, 4) и b( — 3, — 2)?

    Даны векторы а(0, 4) и b( — 3, — 2).

    Найдите векторы с = 2а — b.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Видео:10 класс, 44 урок, Правило параллелепипедаСкачать

    10 класс, 44 урок, Правило параллелепипеда

    Даны векторы а(3 ; 4) и b(6 ; 8)Найдите угол между этими векторами?

    Даны векторы а(3 ; 4) и b(6 ; 8)

    Найдите угол между этими векторами.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

    ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

    Даны некомпланарные векторы a, b, c?

    Даны некомпланарные векторы a, b, c.

    Известно, что d = a — 2b + 3c.

    Найдите разложение по векторам a, b, c вектора d1, если векторы d и d1 сонаправлены, а длина вектора d1 в три раза больше длины вектора d.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Видео:Пример 60. Найти сумму векторовСкачать

    Пример 60. Найти сумму векторов

    Даны векторы ?

    Найдите координаты вектора p = — 1 2a + 2b — c.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Видео:№327. На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, нСкачать

    №327. На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, н

    PABCD — пирамида, ABCD — параллелограмм, вектор PA = вектору a, вектор PB = вектору b, вектор PC = вектору с?

    PABCD — пирамида, ABCD — параллелограмм, вектор PA = вектору a, вектор PB = вектору b, вектор PC = вектору с.

    Выразите вектор PD = вектору х через векторы а, в, с.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Видео:ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

    ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

    Дан вектор А(1 ; 4 3) Найдите абсолютную величину вектора 3а?

    Дан вектор А(1 ; 4 3) Найдите абсолютную величину вектора 3а.

    Вы зашли на страницу вопроса Дан параллелепипед abcda1b1c1d1 найдите вектор ca1 + ad + d1c1 найдите вектор ab — aa1 — c1b1 найдите вектор bc1 в виде разности двух векторов, один из которых вектор d1b?, который относится к категории Геометрия. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    40 + 90 = 130 градусов Ответ : D.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    1. 1)2, 4, 12, — 34, 48, 40. 2) — 3, 15, — 1, 17, — 63. 3) — 3, 12, 48, 15, — 63. 4)40, 15. 3. Р = (а + b) * 2 S = a * b 4. M = 700n.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    1. По свойству острых углов треугольника угол А = 90 — 60 = 30 градусов 2. По свойству углов прямоугольного треугольника катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы = > ВС = 4 кореньиз3 3. По теореме Пифагора : AB² = AC² + BC..

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Пусть х — 1 сторона, тогда х + 6 — 2 сторона. Х + х + х + х + 6 + 6 = 60 4х + 12 = 60 4х = 60 — 12 4х = 48 х = 48 / 4 х = 12 — 1 сторона, следовательно вторая сторона — 12 + 6 = 18 Ответ : 12см, 18см.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Х + х + (х + 6) + (х + 6) = 60 4х = 48 х = 12 12 + 6 = 18 ответ : 12 и 18.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Решение задачи во вложении.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Второй угол = 40° * 2 = 80° третий угол = 180 — 40 — 80 = 60°.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Сравнить углы можно двумя способами : наложением или измерением их величин. Рассмотрим, как сравнивать углы путём наложения. Дано два угла, ∠BOAи ∠COA : Чтобы выяснить, равны они или нет, наложим один угол на другой так, чтобы вершина одного угла с..

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    2х + 3х + 5х = 180 10х = 180 х = 18 2х = 36 3х = 54 5х = 90 Ответ : прямоугольным.

    Найдите сумму векторов ab ad aa1

    Сумма отношений равна : 2 + 3 + 5 = 10 Одна часть равна : 180 : 10 = 18° Первый угол : 2 * 18 = 36° Второй : 3 * 18 = 54° Третий : 5 * 18 = 90° Ответ : прямоугольный треугольник.

    📹 Видео

    №786. Отрезки AA1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA1, BB1, СС1Скачать

    №786. Отрезки AA1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA1, BB1, СС1

    18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

    18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

    44. Правило параллелепипедаСкачать

    44. Правило параллелепипеда

    №359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.Скачать

    №359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.

    Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

    Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

    Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать

    Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.
  • Поделиться или сохранить к себе: