Когда в трапецию можно вписать окружность? Какими свойствами обладает вписанная в трапецию окружность? Где находится центр этой окружности? Чему равен ее радиус?
1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда когда суммы ее противоположных сторон равны.
1) В трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.
2) Обратно, если AD+BC=AB+CD, то в трапецию ABCD можно вписать окружность.
2. Центр вписанной в трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.
O — точка пересечения
биссектрис трапеции ABCD.
3. По свойству биссектрис трапеции, прилежащие к её боковой стороне,
и точка O лежит на средней линии трапеции.
4. Точки касания, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины:
5.
6. Диаметр вписанной в трапецию окружности равен высоте трапеции, радиус — половине высоты:
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
В трапецию вписана окружность
Если в трапецию вписана окружность, в задаче появляется несколько путей, по которым можно повести рассуждение.
1.В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Отсюда следует, что если в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.
AB+CD=AD+BC
2. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Отсюда следует, что
AL=AK
BL=BM
CM=CF
DF=DK
3. Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам.
MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию окружности.
4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.
Рассмотрим базовую задачу.
Найти радиус вписанной в трапецию окружности, если точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной m и n (CF=m, FD=n).
1) ∠ADC+∠BCD=180º (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и BC и секущей CD);
2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90º;
3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике COD ∠COD=90º;
4) таким образом, треугольник COD прямоугольный, а OF — высота, проведенная к гипотенузе, CF и FD — проекции катета OC и OD на гипотенузу. Поскольку высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу,
Отсюда радиус вписанной в трапецию окружности выражается через длины отрезков, как которые боковая сторона делится точкой касания, как
А так как высота трапеции равна ее диаметру, то и высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков:
Задача 45628 Трапеция вписана в окружность. а).
Условие
Трапеция вписана в окружность.
а) Докажите, что трапеция равнобедренная.
б) Найдите высоту трапеции, если её основания равны 14 и 40, а радиус окружности равен 25. [16п9]
Решение
а)
АВСD – трапеция, вписанная в окружность.
Если четырехугольник вписан в олружность, то суммы противолежащих углов четырехугольника равна 180
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180 ° .
Вычитаем из первого равенства третье: ∠ С- ∠ B=0 ° ⇒
Тогда
∠ А+ ∠ В= ∠ A+ ∠ C
∠ A+ ∠ C=180 °
∠ С+ ∠ D=180 ° .
Углы при основаниях равны, трапеция [i]равнобедренная.[/i]
б)
Из треугольника МОС:
MO^2=25^2-7^2=(25-7)*(25+7)=18*32=36*16=6^2*4^2=(24)^2
MO=24
Из треугольника KОD:
DO^2=25^2-20^2=(25-20)*(25+20)=5*45=(15)^2
MO=15
МК=24-15=[b]9[/b] ( cм. рис.2)
О т в е т. 39 или 9 
