В трапецию вписана окружность докажите (4 видео)

Вписанная в трапецию окружность

Когда в трапецию можно вписать окружность? Какими свойствами обладает вписанная в трапецию окружность? Где находится центр этой окружности? Чему равен ее радиус?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда когда суммы ее противоположных сторон равны.

1) В трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

2) Обратно, если AD+BC=AB+CD, то в трапецию ABCD можно вписать окружность.

2. Центр вписанной в трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

O — точка пересечения

биссектрис трапеции ABCD.

3. По свойству биссектрис трапеции, прилежащие к её боковой стороне,

и точка O лежит на средней линии трапеции.

4. Точки касания, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины:

6. Диаметр вписанной в трапецию окружности равен высоте трапеции, радиус — половине высоты:

Содержание

Узнать ещё
В трапецию вписана окружность
Задача 45628 Трапеция вписана в окружность. а).
Условие
Решение
🌟 Видео

Видео:№710. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.Скачать

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Геометрия Докажите, что диаметр окружности вписанной в равнобедренную трапецию есть среднееСкачать

В трапецию вписана окружность

Если в трапецию вписана окружность, в задаче появляется несколько путей, по которым можно повести рассуждение.

1.В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Отсюда следует, что если в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.

AB+CD=AD+BC

2. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Отсюда следует, что

AL=AK

BL=BM

CM=CF

DF=DK

3. Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам.

MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию окружности.

4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.

Рассмотрим базовую задачу.

Найти радиус вписанной в трапецию окружности, если точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной m и n (CF=m, FD=n).

1) ∠ADC+∠BCD=180º (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и BC и секущей CD);

2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90º;

3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике COD ∠COD=90º;

4) таким образом, треугольник COD прямоугольный, а OF — высота, проведенная к гипотенузе, CF и FD — проекции катета OC и OD на гипотенузу. Поскольку высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу,

Отсюда радиус вписанной в трапецию окружности выражается через длины отрезков, как которые боковая сторона делится точкой касания, как

А так как высота трапеции равна ее диаметру, то и высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков:

Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

Задача 45628 Трапеция вписана в окружность. а).

Условие

Трапеция вписана в окружность.

а) Докажите, что трапеция равнобедренная.
б) Найдите высоту трапеции, если её основания равны 14 и 40, а радиус окружности равен 25. [16п9]

Решение

а)
АВСD – трапеция, вписанная в окружность.

Если четырехугольник вписан в олружность, то суммы противолежащих углов четырехугольника равна 180

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180 ° .

Вычитаем из первого равенства третье: ∠ С- ∠ B=0 ° ⇒

Тогда
∠ А+ ∠ В= ∠ A+ ∠ C

∠ A+ ∠ C=180 °
∠ С+ ∠ D=180 ° .

Углы при основаниях равны, трапеция [i]равнобедренная.[/i]

б)
Из треугольника МОС:
MO^2=25^2-7^2=(25-7)*(25+7)=18*32=36*16=6^2*4^2=(24)^2
MO=24
Из треугольника KОD:
DO^2=25^2-20^2=(25-20)*(25+20)=5*45=(15)^2
MO=15

МК=24-15=[b]9[/b] ( cм. рис.2)

О т в е т. 39 или 9