Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Содержание
  1. Прямая. Параллельные и перпендикулярные прямые.
  2. теория по математике 📈 планиметрия
  3. Обозначения прямой
  4. Признаки параллельности прямых
  5. Аксиома параллельных прямых
  6. Следствия из аксиом параллельных прямых
  7. Перпендикулярные прямые
  8. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  9. Определения параллельных прямых
  10. Признаки параллельности двух прямых
  11. Аксиома параллельных прямых
  12. Обратные теоремы
  13. Пример №1
  14. Параллельность прямых на плоскости
  15. Две прямые, перпендикулярные третьей
  16. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  17. Признаки параллельности прямых
  18. Пример №2
  19. Пример №3
  20. Пример №4
  21. Аксиома параллельных прямых
  22. Пример №5
  23. Пример №6
  24. Свойства параллельных прямых
  25. Пример №7
  26. Пример №8
  27. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  28. Расстояние между параллельными прямыми
  29. Пример №9
  30. Пример №10
  31. Справочный материал по параллельным прямым
  32. Перпендикулярные и параллельные прямые
  33. Построение параллельных прямых
  34. Изображение параллельных прямых с применением угольника и линейки
  35. Изображение параллельных прямых с использованием циркуля и линейки
  36. Изображение параллельной прямой, отдаленной на определенное расстояние от имеющейся
  37. Прочие способы изображения параллельных прямых
  38. Не нашли нужную информацию?
  39. Гарантия возврата денег
  40. Отзывы студентов о нашей работе
  41. 📽️ Видео

Видео:Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.

Прямая. Параллельные и перпендикулярные прямые.

теория по математике 📈 планиметрия

Линия, которую изображают на плоскости при помощи линейки, причем, эта линия не должна быть ограничена точкой ни с одной стороны, называют прямой. Другими словами, прямая не имеет ни начала, ни конца.

Обозначения прямой

Обычно прямые обозначают прописной латинской буквой или двумя заглавными (если на прямой лежат точки). Рассмотрим это на рисунке. Данную прямую мы можем назвать двумя способами: прямая а; прямая АС.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Рассмотрим теперь две прямые на плоскости. Для них существует два случая расположения: пересекаются и не пересекаются.

Если две прямые пересекаются, то есть имеют общую точку, то их называют пересекающимися. На рисунке показаны прямые а и b, которые пересекаются в точке A. Запись с помощью символов для данного рисунка выполняют следующим образом: а ∩ b=А, где ∩ — это знак «пересечение».

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Если две прямые на плоскости не пересекаются, то их называют параллельными прямыми. На рисунке изображены параллельные прямые. Запись осуществляется следующим образом: a | | b, где | | — знак параллельности.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Признаки параллельности прямых

Рассмотрим прямую с, которая пересекает две прямые а и b и образует с ними восемь углов. Такую прямую с называют — секущая. Пары углов, которые образует секущая, также имеют названия. Итак, на данном рисунке изображены эти все прямые и восемь углов.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНеобходимо запомнить названия следующих углов:

  1. накрест лежащие углы: 4 и 5; 3 и 6;
  2. односторонние углы: 4 и 6; 3 и 5;
  3. соответственные углы: 1 и 5; 3 и 7; 2 и 6; 4 и 8.

С данными углами связаны следующие признаки параллельности прямых:

  1. если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны;
  2. если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;
  3. если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны.

Видео:Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)Скачать

Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)

Аксиома параллельных прямых

Вспомним, что аксиомой принято называть утверждения, не требующие доказательств.

Через любые две точки на плоскости проходит прямая и притом только одна.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеАксиома №2 Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной. Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Видео:Перпендикулярные и параллельные прямые. Математика 6 классСкачать

Перпендикулярные и параллельные прямые. Математика 6 класс

Следствия из аксиом параллельных прямых

  • Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНа данном рисунке видно, что а и b параллельные прямые, с – секущая, она пересекает прямую а в точке А, значит и будет пересекать прямую b в некоторой точке С.

  • Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеПо данному рисунку видно, что если прямая CD параллельна АВ и прямая MN параллельна АВ, то CD и MN тоже будут параллельны.

Видео:Эксперт: Кривой угол (7 красных линий)Скачать

Эксперт: Кривой угол (7 красных линий)

Перпендикулярные прямые

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНа рисунке показаны такие прямые а и b. Запись с помощью символов можно сделать следующим образом: а ⊥ b, где « ⊥ » — знак перпендикулярности. Заметим, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНа данном рисунке а ⟂ с, b ⟂ c. Видно, что прямые а и b не пересекаются, то есть они – параллельны.

Видео:6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямые

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Перпендикулярные прямыеСкачать

Перпендикулярные прямые

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, но не принадлежит прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. Говорят, что прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыепересекаются в точке М.
Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Это можно записать так: Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые— знак принадлежности точки прямой, «Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыепараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеперпендикулярны (рис. 12), то пишут Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеb.
  2. Если Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = 90°, то а Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеАВ и b Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеb.
  3. Если Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеОFА = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2). Из равенства этих треугольников следует, что Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеЗ = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые4 и Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые5 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые6.
  6. Так как Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые5 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые6 следует, что Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые6 = 90°. Получаем, что а Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеFF1 и b Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеFF1, а аНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые
2) Заметим, что Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 и Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 следует, что Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеAOF = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 + Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 + Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеl + Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = 180° и Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 + Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = 180° следует, что Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеF и Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3. Кроме того, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 и Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 следует, что Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые4 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеBAF. Действительно, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые4 и Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеFAC равны как соответственные углы, a Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеFAC = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 + Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = 180° (рис. 97, а).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 + Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3= 180°.

4) Из равенств Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые= Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 и Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 + Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 = 180° следует, что Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 + Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеBAF + Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Так как Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = 90°, то и Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = 90°, а, значит, сНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыепараллельны, то есть Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, лучи АВ и КМ.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, то Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые(рис. 161).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, перпендикулярную прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи строят другую перпендикулярную прямую Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, затем — третью прямую Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи т. д. Поскольку прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеперпендикулярны одной прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, то из указанной теоремы следует, что Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, параллельной прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, то Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыетретьей прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 иНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые5,Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые4 иНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 иНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые8,Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 иНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 иНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые6,Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 иНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые7,Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 иНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые5,Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые4 иНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые8 — соответственные углы;
  • Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 иНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые6,Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые4 иНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые5 — внутренние односторонние углы;
  • Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 иНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые7,Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 иНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые— данные прямые, АВ — секущая, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 (рис. 166).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Доказать: Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи продлим его до пересечения с прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыев точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 по условию, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеBMK =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеANM =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеBKM = 90°. Тогда прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 (рис. 167).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Доказать: Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи секущей Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеl +Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = 180° (рис. 168).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Доказать: Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи секущей Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеAOB = Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеBAO=Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеBAK = 26°, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеBAC = 2 •Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеADK +Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1=Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2. Так как Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые||Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые.

Реальная геометрия

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыепроходит через точку М и параллельна прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыев некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые||Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые(рис. 187).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Доказать: Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые||Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые.

Доказательство:

Предположим, что прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыене параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, параллельные третьей прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые||Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2,Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые4. Доказать, что Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыепо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. Так как Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, то Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыепо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, которая параллельна прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыепо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыене пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, которые параллельны прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыепересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, АВ — секущая,Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 иНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Доказать: Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2.

Доказательство:

Предположим, чтоНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыепо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, параллельные прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые— секущая,Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 иНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 — соответственные (рис. 196).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Доказать:Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые— секущая,Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 иНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Доказать:Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеl +Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 +Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 = 180°. По свойству параллельных прямыхНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеl =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3 как накрест лежащие. Следовательно,Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеl +Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, т. е.Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 = 90°. Согласно следствию Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, т. е.Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 = 90°.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеАОВ =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеABD =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеADB =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыепараллельны, то пишут: Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые(рис. 211).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2 =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые3. Значит,Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые1 =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые2.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи АВНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, то расстояние между прямыми Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, А Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, С Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, АВНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, CDНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеCAD =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеравны (см. рис. 285). Прямая Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, проходящая через точку А параллельно прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, которая параллельна прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыебудет перпендикуляром и к прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеBAD +Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Тогда Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, параллельную прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Тогда Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые|| Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеравноудалены от прямых Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыена расстояние Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, то есть расстояние от точки М до прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеравно Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. Но через точку К проходит единственная прямая Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, параллельная Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. Значит, точка М принадлежит прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые.

Таким образом, все точки прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеравноудалены от прямых Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые. Прямая Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеНачертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые— параллельны.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеи Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямыеесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Построение параллельных прямых

Для изображения в пространстве прямых, что параллельны друг другу, с использованием разнообразных инструментов опираются на свойства их параллельности.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Изображение параллельных прямых с применением угольника и линейки

Используем принцип изображения параллельной прямой, что пересекает заданную точку, с использованием чертежного угольника и линейки. Рассмотрим порядок действий при этом способе построения. Допустим, изображены прямая a и точка (M) , не лежащая на ней:

  1. Диагональ угольника совмещаем с прямой a, а вдоль его большого катета фиксируем линейку;
  2. Перемещаем угольник вдоль линейки до того момента, пока диагональ не сравняется с точкой (M) ;
  3. Чертим через точку (M) вдоль диагонали угольника прямую (b) . Она и будет параллельна существующей прямой (a) .
  4. Параллельность этих прямых подтверждается также равностью углов (∝) и (β) .

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Видео:Параллельные и перпендикулярные прямые.Скачать

Параллельные и перпендикулярные прямые.

Изображение параллельных прямых с использованием циркуля и линейки

Также широко применяется способ изображения параллельных прямых с применением линейки и циркуля.

Допустим есть прямая и точка (A) , не лежащая на ней. Необходимо изобразить прямую, параллельную существующей прямой и пересекающую заданную точку (A) .

Часто требуется просто изобразить параллельные прямые без начальных условий. В подобном варианте просто нужно самостоятельно изобразить прямую и поставить точку, не лежащую на этой прямой.

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Итак, порядок изображения параллельной прямой:

  1. Выбираем случайную точку на существующей прямой, дадим ей название, например (B) . Выбираем совершенно любую точку, это не повлияет на результат;
  2. С помощью циркуля чертим круг с центром в точке (B) и радиусом (AB) ;
  3. Ккруг проходит через прямую в точке, которую назовем (C) ;
  4. Начертим еще один круг радиусом (AB) , но уже с центром в точке (C) . Стоит заметить, что этот круг должен в любом случае пересечь точку (B) , если все выполнено верно;
  5. Этим же радиусом чертим круг с центром в точке (A) ;
  6. Этот круг пересечет предыдущий в точке, которую назовем (D) . Также стоит учесть, что и этот круг при верном построении пересечет точку (B) ;
  7. На данном этапе через точки (A) и (D) проводим с использованием линейки прямую, она будет параллельна существующей прямой.

В итоге мы имеем две прямые (BC) и (AD) , параллельные между собой.

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Видео:Урок ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕСкачать

Урок ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

Изображение параллельной прямой, отдаленной на определенное расстояние от имеющейся

Для изображения параллельной прямой, относительно имеющейся, на определенном конкретном расстоянии можно использовать угольник и линейку. (К) примеру, изображена прямая (MN) и задано некое расстояние (a) :

  1. Отмечаем на существующей прямой (MN) случайную точку, например назовем ее (B) ;
  2. Теперь необходимо изобразить прямую через точку (B) , перпендикулярную изображенной прямой. Назовем ее (AB) ;
  3. Откладываем на построенной прямой отрезок (BC) , который равен (a) ;
  4. С использованием линейки и угольника, как описано выше, проведем через точку (C) прямую (CD) , она будет параллельной к прямой (MN) .

Возможно также на прямой (AB) отмерить расстояние (a) от точки (B) в противоположную сторону, проделать все вышеописанное и начертить еще одну прямую параллельно существующей прямой (MN) .

Видео:Эксперт: Совещание (Короткометражка, Русский дубляж)Скачать

Эксперт: Совещание (Короткометражка, Русский дубляж)

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)

Прочие способы изображения параллельных прямых

В чертежной сфере часто применяют способ изображения с использованием рейсшины. Столяры при изготовлении изделий часто используют так называемый инструмент – малку, состоящую из двух планок на шарнирах. Этим инструментом наносят разметку с использованием принципов параллельных прямых.

Не нашли нужную информацию?

Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.

Гарантия низких цен

Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.

Доработки и консультации включены в стоимость

В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.

Вернем деньги за невыполненное задание

Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.

Тех.поддержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.

Тысячи проверенных экспертов

Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Гарантия возврата денег

Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы

Видео:16. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

16. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Отзывы студентов о нашей работе

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Всё сдал!», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

Принимаем к оплате Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые Начертите две параллельные прямые и две перпендикулярные прямые

📽️ Видео

Математика 6 класс: Параллельные и перпендикулярные прямыеСкачать

Математика 6 класс: Параллельные и перпендикулярные прямые

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Как провести множество параллельных или перпендикулярных прямых без транспортира?Скачать

Как провести множество параллельных или перпендикулярных прямых без транспортира?

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямые

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)
Поделиться или сохранить к себе: