В прямоугольную трапецию авсд вписана окружность с центром о

Условие

В прямоугольную трапецию ABCD с большим основанием AD и прямыми углами A и B вписана окружность с центром в точке O.
a) Докажите, что CO^2 +OD^2 = (BC+AD-AB)^2
б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до точки касания вписанной окружности и меньшего основания, если высота трапеции равна 2 и угол ADC равен 30 градусов.

Решение

1) О — точка пересечения биссектрис.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне CD
равна 180 градусов.
Значит
∠ OCD + ∠ ODC=90 градусов
и ∠ СOD = 90 градусов, треугольник СOD — прямоугольный
По теореме Пифагора
CO^2+OD^2=CD^2
Cм. приложение
По свойству 1^(o)
BC+AD=AB+CD

CO^2 +OD^2 = (BC+AD–AB)^2

2)
Проводим CК ⊥ AD
В прямоугольном треугольнике КCD
катет СК против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы CD.
Значит СD=2*CK=4

Пусть ВС=х, AK=x
AB+CD=BC+AD
2+4=x+(x+2sqrt(3))
x=3-sqrt(3)
BC=3-sqrt(3)
AD=3-sqrt(3)+2sqrt(3)=3+sqrt(3)

Из подобия Δ ВСМ и Δ ADM
d/(h-d)=BC/AD

d=(3-sqrt(3))/3

В прямоугольную трапецию авсд вписана окружность с центром о

В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника AOM, если и

а) Лучи CO и DO являются биссектрисами углов BCD и ADC соответственно, поэтому

то есть прямые CO и DO перпендикулярны.

б) Лучи AO и BO являются биссектрисами прямым углов BAD и ABC соответственно, поэтому треугольник AOB равнобедренный прямоугольный. Значит, Поскольку прямые CO и DO перпендикулярны, получаем:

Следовательно, треугольники AOM и BOC равны и нужно найти площадь одного из них.

Пусть окружность касается сторон AB, BC, CD и AD в точках E, F, G и H соответственно, а её радиус равен r. Тогда

; ;

В прямоугольном треугольнике COD имеем:

;

откуда Значит,