Как найти углы правильного треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

• R – радиус описанной окружности;
• r – радиус вписанной окружности;
• R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Углы равностороннего треугольника

Чему равны углы равностороннего треугольника?

(свойство углов равностороннего треугольника)

Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.

Аналогично, так как AC=BC, ∠A=∠B.

Отсюда следует, что в равностороннем треугольнике все углы равны между собой: ∠A=∠B=∠C

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то ∠A=∠B=∠C=180º:3=60º, то есть каждый угол равностороннего треугольника равен 60º.

Что и требовалось доказать .

Тот факт, что все углы равностороннего треугольника равны между собой, можно рассмотреть также как следствие из теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника. В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол, напротив меньшей стороны — меньший угол. Так как все три стороны правильного треугольника равны, то и все углы тоже равны.

Что такое правильный треугольник

Определение правильного треугольника

Треугольник называется правильным, если все его стороны равны: $AB + AC + BC$ (рис. 1). Правильный треугольник еще называется равносторонним.

Свойства правильных треугольников

1. В правильном треугольнике все углы равны между собой и равны $60^$.
2. Высота в равностороннем треугольнике совпадает с медианой и биссектрисой.
3. Центры пересечения медиан, биссектрис и высот совпадают.
4. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Радиусы $r$ и $R$, вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника, связаны с длиной его стороны $a$ следующими соотношениями:

Примеры решения задач

Задание. Найти, чему равна высота равностороннего треугольника со стороною $a = 4$ см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 2).

Высота в равностороннем треугольнике является так же и медианой, поэтому:

$A H=H C=frac A C=2$

Далее, рассмотрим $Delta B H C$, этот треугольник прямоугольный. По теореме Пифагора:

Ответ. $B H=2 sqrt$ см

Задание. Найти сторону равностороннего треугольника, если его высота равна $3 sqrt$ дм.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 2).

Рассмотрим $Delta B C H$, он прямоугольный. Обозначим $BC = a$, тогда $H C=frac$ . Запишем теорему Пифагора для рассматриваемого треугольника:

Используя введенные обозначения и исходные данные, получим

Решим полученное уравнение относительно $a$:

Ответ. $a = 6$ дм.

Задание. Дан равносторонний треугольник $ABC$, со стороной $a=6 sqrt$ см. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 3).

Радиус $r$ вписанной и радиус $R$ описанной окружностей равностороннего треугольника связаны с его длиной $a$ следующими соотношениями:

Подставляя значение $a=6 sqrt$, получим:

cm>) quad, quad R=frac <sqrtcdot 6 sqrt>=6$ (см)

Ответ. $r = 3$ см , $R = 6$ см