Несомненно, циркуль и линейка — весьма полезные и эффективные инструменты, с помощью которых можно «построить», пожалуй, все, что угодно. Однако есть задачи, которые им не под силу. Одна из них — задача о квадратуре круга, которая вместе с трисекцией угла и удвоением куба, считается не только самой сложной, но и наиболее древней задачей, не имеющей решения.
Круг и квадрат одинаковой площади.
Жившие около двух тысяч лет назад египетские и вавилонские математики пытались с помощью циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга, и, судя по древнему папирусу, им это удалось (сторона квадрата должна быть равна 8/9 диаметра круга). В Древней Греции не только геометры, но и философы уделяли много времени задаче, получившей название квадратуры круга, и даже, по свидетельству Плутарха — древнегреческого историка, одному из них — Антифонту — удалось найти решение. Перед тем, как заниматься кругом, философ решил построить квадрат, равновеликий по площади многоугольнику: Антифонт последовательно удваивал стороны многоугольника до тех пор, пока не получилось такое число сторон, что они совпали с дугами окружности. Добившись успеха с многоугольником, философ научно обосновал возможность построить квадрат и для круга, однако никаких доступных свидетельств этого не сохранилось.
Следующим человеком, совершившим существенный переворот в решении задачи о квадратуре круга, был Гиппократ Хиосский, обнаруживший пропорциональность площади круга квадрату его диаметра. Несмотря на то, что это предположение так и осталось гипотезой, именно благодаря ему Гиппократ открыл квадратируемые фигуры (их площади выражались в рациональных числах), которые ограничены пересекающимися окружностями. Ученому удалось получить общий для всех кругов коэффициент пропорциональности, названный позже «гиппократовыми луночками», который мог бы помочь в решении задачи в том случае, если бы круг можно было бы разбить на квадраты.
Некоторые математики пытались использовать для построения квадрата не только циркуль и линейку, но и другие — не только существующие, но и специально изобретенные для этой задачи инструменты, а также специальные кривые, самая известная из которых — квадратриса Динострата, придуманная Гиппием из Элиды. Однако, невзирая на все уловки, задача о квадратуре круга, которая в результате была сведена к поискам точного отношения длины окружности к ее диаметру, не поддалась ни одному пытливому уму. Единственное, что было найдено, так это весьма приблизительное решение задачи: диаметр окружности, в которую вписан квадрат, утраивается и складывается с 1/5 части стороны квадрата.
Немало линеек и циркулей было сломано неутомимыми математиками в поисках решения задачи о квадратуре круга, и только в конце XIX века немецким математиком Ф. Линдеманом было получено доказательство того, что эта знаменитая задача может быть решена только лишь (и никак иначе!) с привлечением дополнительных инструментов. Возможно, именно с этого времени словосочетание «квадратура круга» приобрела метафорическое значение неразрешимой задачи или безнадежного дела.
Видео:Построение правильного квадрата.Скачать
Соответствие круга и квадрата в перспективе.
Анализируя различные положения квадрата и окружности относительно точки зрения и линии горизонта а также правила их изображения в перспективе легко обнаружить общие закономерности. Геометрическая связь этих фигур определяется тем, что вокруг любой окружности можно описать квадрат, а также в любой квадрат можно вписать окружность.
Как вписать окружность в квадрат?
Рассмотрите рисунок 48. Квадрат и вписанная в него окружность имеют общий центр — точку пересечения диагоналей квадрата. Окружность касается сторон квадрата в точках 1,2,3,4.Точки касания делят стороны квадрата пополам. Для того чтобы изобразить вписанную в квадрат окружность (в перспективном рисунке — эллипс) необходимо определить положение осей эллипса и найти точки, задающие его размеры (точки 1 — 4).
 |
Горизонтальный квадрат.
Найдите точки касания на перспективном рисунке горизонтально расположенного квадрата (рис.49): для этого через точку пересечения диагоналей проведите прямые, параллельные сторонам квадрата и уходящие с ними в одну точку схода.
Окружность, лежащая в горизонтальной плоскости, изображается в виде эллипса с вертикальной и горизонтальной осями. Проведите через точку пересечения диагоналей вертикальную линию — малую ось эллипса. Большая ось эллипса перпендикулярна малой оси и проходит через точку, смещенную от пересечения диагоналей квадрата (центра окружности) ближе к зрителю (рис.50). Таким образом, мы получили две оси эллипса и четыре точки, определяющие его габариты. Продолжите рисунок: сначала легкими движениями карандаша наметьте эллипс, затем уточните линию, добиваясь того, чтобы она действительно касалась сторон квадрата в точках 1,2,3,4. Проверьте симметричность полученного эллипса относительно его осей (рис. 51).
 |
 |
| Рис.50 |
перспективный рисунок простых геометрических тел
Вертикальный квадрат.
При вертикальном положении квадрата точки 1,2,3,4найдите, как и в предыдущем примере: проведите через точку пересечения диагоналей квадрата прямые, параллельные его сторонам (рис.52). Несколько сложнее определить направление осей эллипса. Для решения этой задачи представьте, что изображаемый нами эллипс является основанием цилиндра, лежащего на горизонтальной плоскости (рис. 53). Ось цилиндра всегда перпендикулярна большой оси эллипса основания и совпадает с его малой осью. Проведите ось цилиндра через точку пересечения диагоналей квадрата. Ее направление можно найти, опираясь на знание и опыт рисования куба, или взять с натуры, если таковая имеется. Таким образом, мы определили положение малой оси эллипса. А большая ось будет ей перпендикулярна и пройдет через точку, смещенную от пересечения диагоналей — центра окружности — ближе к зрителю (рис.54). На двух осях и по четырем точкам сначала наметьте эллипс легкими линиями, а затем уточните рисунок (рис.55).
Заметим, что эллипс, вписанный в квадрат, часто получается несимметричным относительно осей, а потому его приходится уточнять и, как следствие, изменять очертания квадрата. В этом случае работа идет как бы методом последовательных приближений и исправлений, что трудно и долго. Часто на рисунках остаются не вполне правильные квадраты и не вполне правильные эллипсы, а лишь фигуры, близкие к ним. Правильный эллипс нарисовать легче, чем построить правильный квадрат в перспективе, поэтому задачу грамотного изображения квадрата современная методика рисования предлагает решать с помощью эллипса, вокруг которого описывается квадрат.
Видео:Как вписать квадрат в окружностьСкачать
Квадрат вписанный в окружность
Видео:Как построить квадрат, два способаСкачать
Определение
Квадрат, вписанный в окружность — это квадрат, который находится
внутри окружности и соприкасается с ней углами.
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
квадрата и окружность, вписанная в квадрат.
Видео:Построение 8 угольника циркулемСкачать
Формулы
Радиус вписанной окружности в квадрат
- Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна сторона:
Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен периметр:
Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна площадь:
Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен радиус описанной окружности:
Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна диагональ:
Радиус описанной окружности около квадрата
- Радиус описанной окружности около квадрата, если известна сторона:
Радиус описанной окружности около квадрата, если известен периметр:
Радиус описанной окружности около квадрата, если известнаплощадь:
Радиус описанной окружности около квадрата, если известен радиус вписанной окружности:
Радиус описанной окружности около квадрата, если известнадиагональ:
Сторона квадрата
- Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнаплощадь:
Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнадиагональ:
Сторона квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:
Площадь квадрата
- Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:
Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:
Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:
Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:
Периметр квадрата
- Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:
Периметр квадрата вписанного в окружность, если известенрадиус вписанной окружности:
Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:
Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:
Диагональ квадрата
- Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:
Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:
Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:
Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:
📺 Видео
Деление окружности на равные части. Урок 6. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать
Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромбСкачать
Изображение окружности в перспективе. Эллипс.Скачать
Построение квадрата циркулем по заданной сторонеСкачать
Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать
Построение пятиугольника циркулемСкачать
Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
КАК НАРИСОВАТЬ КРУГ В ИЗОМЕТРИИ (ОВАЛ В ИЗОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ).Скачать
Аксонометрические Проекции Окружности #черчение #окружность #проекции #изометрияСкачать
Как построить правильный шестиугольник.Скачать
Д.О. Технология 8 кл. Аксонометрическая проекция плоскогранных предметов. И.М.МазаеваСкачать
5-Построение окружности, вписанной в квадратСкачать
ВПИСАТЬ И ОПИСАТЬ квадрат в окружность, окружность в квадратСкачать
ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематикаСкачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Круг в перспективеСкачать
