Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВписанные четырехугольники и их свойства
Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьТеорема Птолемея

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Окружность, описанная около параллелограмма
Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность
Окружность, описанная около параллелограмма
Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Докажем, что справедливо равенство:

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

откуда вытекает равенство:

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэСкачать

Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэ

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьАВС.

Доказать: около Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Точка О равноудалена от вершин Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВ = Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьАDС, Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьD = Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьАВС, откуда следует Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВ + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьD = Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьАDС + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьАВС = Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность(Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьАDС + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьАDС + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьАВС = 360 0 , тогда Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВ + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьD = Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьBАD + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВСDвнешний угол Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьСFD, следовательно, Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьBСD = Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВFD + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВFD = Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВАD и Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьFDE = Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьBСD = Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВАD + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьЕF = Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность(Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВАD + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьЕF), следовательно, Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВСDВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВАD.

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьBАD = Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВЕD, тогда Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьBАD + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьBСDВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность(Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВЕD + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВЕD + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВАD = 360 0 , тогда Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьBАD + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьBСDВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьBАD + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьBСDВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность180 0 . Но это противоречит условию Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьBАD + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

По теореме о сумме углов треугольника в Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВСF: Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьС + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВ + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьF = 180 0 , откуда Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьС = 180 0 — ( Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВ + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьF). (2)

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВ = Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьЕF. (3)

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьF и Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВFD смежные, поэтому Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьF + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВFD = 180 0 , откуда Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьF = 180 0 — Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВFD = 180 0 — Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьС = 180 0 — (Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьЕF + 180 0 — Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВАD) = 180 0 — Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьЕF — 180 0 + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВАD = Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность(Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВАDВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьЕF), следовательно, Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьСВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВАD.

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьА = Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВЕD, тогда Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьА + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьСВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность(Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВЕD + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьВАD). Но это противоречит условию Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьА + Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружностьС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .

. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .

. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Вокруг какого четырехугольника нельзя описать окружность

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.

📺 Видео

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Окружность и четырехугольникСкачать

Окружность и четырехугольник

Геометрия Можно ли описать окружность около четырехугольника ABCD если AB = 4 см AD = 3 см BD = 6смСкачать

Геометрия Можно ли описать окружность около четырехугольника ABCD если AB = 4 см AD = 3 см BD = 6см

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Геометрия Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжениеСкачать

Геометрия Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжение

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Геометрия Найдите диагональ AC четырехугольника ABCD если около него можно описать окружность и ABСкачать

Геометрия Найдите диагональ AC четырехугольника ABCD если около него можно описать окружность и AB

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 класс

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Вписанные и описанные окружности в четырёхугольникиСкачать

Вписанные и описанные окружности в четырёхугольники
Поделиться или сохранить к себе: