Виды равных углов в треугольнике

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Треугольники

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Определение

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из
трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков,
соединяющих эти точки.

Точки называются вершинами треугольника.
Отрезки называются сторонами треугольника.

  • три угла
  • три вершины
  • три стороны

Видео:Сравнение углов. Виды углов. Чертежный треугольник. 5 класс.Скачать

Сравнение углов. Виды углов. Чертежный треугольник. 5 класс.

Виды углов в треугольнике:

Чтобы лучше понять какие бывают треугольники узнаем
какие бывают углы в треугольниках.

  • Острый угол
    Это любой угол меньше 90°.

Виды равных углов в треугольнике

  • Тупой угол
    Это любой угол больше 90°, но меньше 180°.

Виды равных углов в треугольнике

  • Прямой угол
    Это угол 90°.

Виды равных углов в треугольнике

  • Развернутый угол
    Это угол 180°.

Виды равных углов в треугольнике

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Виды треугольников:

  • Острый треугольник
    Это треугольник в котором все углы острые.

Виды равных углов в треугольнике

  • Тупоугольный треугольник
    Это треугольник в котором один из углов тупой.

Виды равных углов в треугольнике

  • Прямоугольный треугольник
    Это треугольник в котором один из углов прямой.

Виды равных углов в треугольнике

  • Равнобедренный треугольник
    Это треугольник в котором две боковые стороны равны.
    Виды равных углов в треугольнике
  • Равносторонний треугольник
    Это треугольник в котором все стороны равны.
    Виды равных углов в треугольнике

Видео:Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

Признаки равенства треугольников

С помощью признаков равенства треугольников можно
доказать что те или иные треугольники равны между собой.

Видео:Виды треугольниковСкачать

Виды треугольников

Виды треугольников

Треугольники бывают остроугольными, тупоугольными, прямоугольными, разносторонними, равносторонними, равнобедренными.

Определение 1. Треугольник называется остроугольным, если все ее углы острые, т.е. меньше 90° (Рис.1).

Виды равных углов в треугольнике

Определение 2. Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, т.е. больше 90° (Рис.2).

Виды равных углов в треугольнике

Если треугольник тупоугольный, то исходя из того, что сумма всех углов треугольника равна 180°, остальные два угла треугольника будут острыми.

Определение 3. Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой, т.е. равен 90° (Рис.3).

Виды равных углов в треугольнике

Если треугольник прямоугольный, то исходя из того, что сумма всех углов треугольника равна 180°, остальные два угла треугольника будут острыми.

Определение 4. Треугольник называется разносторонним, если длины всех сторон треугольника разные (Рис.4).

Виды равных углов в треугольнике

Определение 5. Треугольник называется равносторонним или правильным, если длины всех сторон равны (Рис.5).

Виды равных углов в треугольнике

Определение 6. Треугольник называется равнобедренным, если длины двух сторон равны (Рис.6).

Виды равных углов в треугольнике

В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона называется основанием.

Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать

Треугольники. 7 класс.

math4school.ru

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Видео:Виды треугольниковСкачать

Виды треугольников

Треугольники

Видео:Виды треугольников. Видеоурок по геометрии 7 классСкачать

Виды треугольников. Видеоурок по геометрии 7 класс

Основные свойства

Виды равных углов в треугольнике

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

Виды равных углов в треугольнике

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

Виды равных углов в треугольнике

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

Виды равных углов в треугольнике

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Виды равных углов в треугольнике

Видео:ТреугольникСкачать

Треугольник

Равенство треугольников

Виды равных углов в треугольнике

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

Виды равных углов в треугольнике

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

Виды равных углов в треугольнике

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Виды равных углов в треугольнике

Видео:Геометрия 7 класс | Вертикальные, смежные, накрест лежащие и другие углы (теория) | МАТЕМАТИКА 2021Скачать

Геометрия 7 класс | Вертикальные, смежные, накрест лежащие и другие углы (теория) | МАТЕМАТИКА 2021

Подобие треугольников

Виды равных углов в треугольнике

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

Виды равных углов в треугольнике

Два треугольника подобны, если:

  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

Виды равных углов в треугольнике

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Виды равных углов в треугольнике

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Виды равных углов в треугольнике

Видео:ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образованиеСкачать

ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образование

Медианы треугольника

Виды равных углов в треугольнике

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

Виды равных углов в треугольнике

  • Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
  • Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

Виды равных углов в треугольнике

Видео:Виды треугольников 3 классСкачать

Виды треугольников 3 класс

Биссектрисы треугольника

Виды равных углов в треугольнике

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Виды равных углов в треугольнике

Длина биссектрисы угла А :

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Виды равных углов в треугольнике

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Высоты треугольника

Виды равных углов в треугольнике

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Виды равных углов в треугольнике

Длина высоты, проведённой к стороне а :

Виды равных углов в треугольнике

Видео:Виды треугольников. 6 классСкачать

Виды треугольников. 6 класс

Серединные перпендикуляры

Виды равных углов в треугольнике

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Видео:7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольников

Окружность, вписанная в треугольник

Виды равных углов в треугольнике

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

Виды равных углов в треугольнике

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

Виды равных углов в треугольнике

Видео:Математика 6 класс. Треугольник. Виды треугольников. ЕГЭ, ОГЭ, ЦТ, экзаменСкачать

Математика 6 класс. Треугольник.  Виды треугольников. ЕГЭ, ОГЭ, ЦТ, экзамен

Окружность, описанная около треугольника

Виды равных углов в треугольнике

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

Виды равных углов в треугольнике

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Расположение центра описанной окружности

Виды равных углов в треугольникеВиды равных углов в треугольникеВиды равных углов в треугольникеЦентр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Видео:Площади треугольников с равным углом.Скачать

Площади треугольников с равным углом.

Равнобедренный треугольник

Виды равных углов в треугольнике

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

Виды равных углов в треугольнике

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Виды равных углов в треугольнике

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Равносторонний треугольник

Виды равных углов в треугольнике

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

Виды равных углов в треугольнике

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Виды равных углов в треугольнике

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

Виды равных углов в треугольнике

Прямоугольный треугольник

Виды равных углов в треугольнике

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

  • два катета;
  • катет и гипотенуза;
  • катет и прилежащий острый угол;
  • катет и противолежащий острый угол;
  • гипотенуза и острый угол.
  • одному острому углу;
  • из пропорциональности двух катетов;
  • из пропорциональности катета и гипотенузы.

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Виды равных углов в треугольнике

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Виды равных углов в треугольнике

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

Виды равных углов в треугольнике

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

Виды равных углов в треугольнике

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

Виды равных углов в треугольнике

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты: Виды равных углов в треугольнике

через катет и острый угол: Виды равных углов в треугольнике

через гипотенузу и острый угол: Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

Радиус вписанной окружности:

Виды равных углов в треугольнике

Вневписанные окружности

Виды равных углов в треугольнике

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О1 , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО1 и C О1 внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О1О2О3 (точки A , B и C – основания высот в Δ О1О2О3 ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О1 , 180°–2 О2 , 180°–2 О3 .

Радиус окружности, описанной около Δ О1О2О3 , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О1О2О3 .

Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для rВиды равных углов в треугольнике

для R – Виды равных углов в треугольнике

для S – Виды равных углов в треугольнике

для самих ra , rb , rсВиды равных углов в треугольнике

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Виды равных углов в треугольнике

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Виды равных углов в треугольнике

Виды равных углов в треугольнике

  • если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ
  • если c 2 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ > 0 );
  • если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

Виды равных углов в треугольнике

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Виды равных углов в треугольнике

Теорема тангенсов (формула Региомонтана):

Поделиться или сохранить к себе: