На рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Докажите, что AB + CD = BC + AD.

Видео:16) Четырехугольник АВСD описан около окружности, AD=7, DC=12, BC=13. Найдите AB. Математика огэ.Скачать

16) Четырехугольник АВСD описан около окружности, AD=7, DC=12, BC=13. Найдите AB. Математика огэ.

Ваш ответ

Видео:Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

решение вопроса

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,680
  • разное 16,822

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:2128 в четырёхугольник ABCD вписана окружность AB = 7 BC = 12 CD = 9Скачать

2128 в четырёхугольник ABCD вписана окружность AB = 7 BC = 12 CD = 9

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

На рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

На рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

На рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

На рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

На рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

На рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

На рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

На рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбНа рисунке четырехугольник abcd описан около окружностиВ любой ромб можно вписать окружность
КвадратНа рисунке четырехугольник abcd описан около окружностиВ любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникНа рисунке четырехугольник abcd описан около окружностиВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммНа рисунке четырехугольник abcd описан около окружностиВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидНа рисунке четырехугольник abcd описан около окружностиВ любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияНа рисунке четырехугольник abcd описан около окружностиВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб
На рисунке четырехугольник abcd описан около окружности
КвадратНа рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

В любой квадрат можно вписать окружность

ПрямоугольникНа рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

ПараллелограммНа рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

ДельтоидНа рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

ТрапецияНа рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Видео:Геометрия На рисунке четырехугольник ABCD – параллелограмм, угол BEC = углу DFA. Докажите, чтоСкачать

Геометрия На рисунке четырехугольник ABCD – параллелограмм, угол BEC = углу DFA. Докажите, что

Окружность, вписанная в четырехугольник

Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.

На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.

На рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.

Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что ( small AB+CD=AD+BC ).

На рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то

( small AM=AQ=a, ) ( small BM=BN=b, ) ( small CN=CP=c, ) ( small DQ=DP=d )
( small AB+CD ) ( small=AM+BM+CP+DP ) ( small =a+b+c+d, )(1)
( small AD+BC) ( small=AQ+DQ+BN+CN) ( small=a+d+b+c. )(2)

Из равенств (1) и (2), следует:

( small AB+CD=AD+BC. ) На рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть ( small AB+CD=AD+BC. ) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.

На рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.

Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.

Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.

Проведем касательную C1D1 к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.

Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC1D1. Следовательно, по теореме 1, имеем:

( small AB+C_1D_1=AD_1+BC_1. )(3)

Но по условию данной теоремы:

( small AB+CD=AD+BC. )(4)

Вычтем из равенства (4) равенство (3):

( small CD-C_1D_1) (small=AD-AD_1+BC-BC_1 )
( small CD-C_1D_1=DD_1+CC_1 )
( small CD=DD_1+CC_1+C_1D_1)

Получили, что в четырехугольнике CC1D1D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).

Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.

Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).

На рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.

Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.На рисунке четырехугольник abcd описан около окружности

Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.

🎥 Видео

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Вписанные и описанные четырехугольники | Дядя Артем | ОГЭ по математикеСкачать

Вписанные и описанные четырехугольники | Дядя Артем | ОГЭ по математике

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольник

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ ЕГЭ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕСкачать

ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ ЕГЭ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Задача повышенной трудности - Атанасян #891Скачать

Задача повышенной трудности - Атанасян #891

ЕГЭ 2023 Ященко 9 вариант ФИПИ школе полный разбор!Скачать

ЕГЭ 2023 Ященко 9 вариант ФИПИ школе полный разбор!

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABC

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 40 и CD = 10 вписан в окружность. Диагонали #огэ #математикаСкачать

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 40 и CD = 10 вписан в окружность. Диагонали #огэ #математика
Поделиться или сохранить к себе: