На прямой взяты 8 точек а на параллельной ей прямой 5 точек на (6 видео)

Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

На прямой взяты 8 точек,а на параллельной ей прямой-5 точек.Сколько существует треугольников,вершинами которых являются данные точки?

Треугольники могут быть двух «типов» — со стороной лежащей на одной прямой, и со стороной, лежащей на другой прямой.
На одной прямой выбрать 2 точки для стороны треугольника можно способами, на другой способами.
Если сторона треугольника (две вершины) лежит на первой прямой, то третья вершина может лежать в одной из 5 точек на другой прямой. Таких треугольников всего 28*5 = 140.
Если сторона треугольника (две вершины) лежит на второй прямой, то третья вершина может лежать в одной из 8 точек на первой прямой. Таких треугольников всего 10*8 = 80.
Всего треугольников может быть 140+80 = 220.

Если ответ по предмету Математика отсутствует или он оказался неправильным, то попробуй воспользоваться поиском других ответов во всей базе сайта.

Видео:Отрезок, луч, прямаяСкачать

Проблемное задание «Трехточечники».

В предыдущем пункте мы рассмотрели несколько задач на расположение точек и прямых, при решении которых следовало проявить интуицию и смекалку. Каждая задача рассматривалась сама по себе, и для ее решения следовало выдвигать какую-то нестандартную идею или идеи.

Следующие задачи объединены в одно яркое проблемное задание «Трехточечники» общей идеей, которая относится к разделу математики, называемому комбинаторной геометрией. В этой серии каждая задача реализует отдельный случай более общей задачи: «Дано целое положительное число р (р > 3). Как расположить на плоскости точки, чтобы никакие четыре из них не принадлежали одной прямой и чтобы было максимальное число прямых, каждая из которых проходит через три из имеющихся данных точек? »

Рассмотрим решения задач этого проблемного задания, которые могут быть предложены не только на уроках геометрии, но и при углубленном обучения математике в самых разных формах.

В этих задачах мы имеем дело с так называемыми «трехточечными прямыми», т. е. прямыми, содержащими по три из заданных точек, причем через каждую заданную точку проходит тоже по три прямых.

Задача 5.67 (5 точек и 2 прямые). Как провести две прямые и отметить на них пять точек, чтобы на каждой прямой было по три точки?

Выше мы отметили, что для двух прямых на плоскости возможны следующие случаи их взаимного расположения: а) прямые параллельны; б) прямые пересекаются. Для случая а) решение данной задачи невозможно, так как мы в соответствии с условием задачи имеем 5 точек. В случае б) обе прямые имеют одну общую точку. Таким образом, у нас остаются еще четыре точки, которые можно расположить по две на каждой прямой (рис. 5.84).

Задача 5.68 (6 точек и 4 прямые). Можно ли шесть деревьев посадить в четыре ряда так, чтобы в каждом ряду было по три дерева?

Каждый ряд можно принять за прямую, а деревья за точки.

Начнем с анализа случаев взаимного расположения четырех прямых. Все они изображены на рис. 5.86:

1) четыре прямые на плоскости имеют одну общую точку;
2) четыре прямые не имеют общих точек;
3) три прямые не имеют общих точек, а четвертая расположена так, что с каждой из трех имеет по одной общей точке;
4) две прямые не имеют общих точек между собой, а две другие имеют одну общую точку;
5) две прямые не имеют общих точек, и две другие прямые также не имеют общих точек;
6) две пересекающиеся прямые пересекают две другие пересекающиеся прямые.

Сравнив полученные результаты, можно прийти к обобщению: четыре прямые на плоскости могут иметь одну общую точку; три общие точки; четыре общие точки, пять общих точек, шесть общих точек; не иметь общих точек.

Используя полученные результаты, перейдем к решению задачи.

1. Если прямые пересекаются в одной точке, то решение невозможно. Мы должны иметь 9 точек, а у нас их 6.
2. Пусть все прямые параллельны (рис. 5.87, а). Тогда, чтобы на каждой прямой было по три точки, необходимо 12 точек, а у нас их всего 6. Значит, этот случай отпадает.
3. Пусть три прямые параллельны между собой, а четвертая пересекает их (5.87, б). Тогда на одной из прямых мы имеем уже три точки. Для того чтобы на каждой прямой было по три точки, нам необходимо еще шесть точек. Таким образом, в этом случае задача не может иметь решения.

4. Прямые попарно параллельны (рис. 5.87, в). Тогда на каждой прямой у нас уже по две точки. Нам нужно еще четыре точки. Итого, нужно восемь точек, а по условию задачи их шесть.
5. Три прямые пересекаются в одной точке, а четвертая параллельна одной из них (рис. 5.87, г). В этом случае нам необходимо 8 точек, чтобы на каждой прямой было по 3 точки, а дано только 6 точек.
6. Две прямые параллельны между собой, а две другие пересекаются между собой и пересекают параллельные прямые (рис. 5.87, д). В этом случае на пересекающихся прямых уже по три точки есть. Остается добавить по точке на параллельные прямые. Итого требуется семь точек вместо имеющихся шести.
7. Можно уменьшить количество точек на единицу, для этого надо вместо двух параллельных прямых взять две пересекающиеся прямые, как показано на рис. 5.87, е.

На этом рисунке имеется шесть точек и четыре прямые и на каждой прямой по три точки. Это и есть решение задачи.

Задача 5.69 (7 точек и 5 прямых). Можно ли семь точек расположить на пяти прямых так, чтобы на каждой прямой было по три точки?

Выполним следующие построения. Начертим прямую 1 и отметим на ней точки A_lt А₂, А₃. Возьмем точку А₄, не лежащую на прямой (рис. 5.88, а). Проведем три различные прямые l₂, h и 1₄ через точку А₄, и точки Ai, А₂, А₃ (рис. 5.88, б). Мы получим четыре точки и четыре прямые.

Можно продолжать строить точки и прямые и стремиться к нужному результату, но возникает нестандартная идея — проведение параллельной прямой.

Наш опыт изучения взаимного расположения точек и прямых позволяет нам выполнить следующие построения. Проведем прямую 1₅, параллельную прямой 1, она пересечет три другие прямые в точках А₅, А₆, А₇, и в итоге получим, что на каждой из пяти прямых имеем по три точки, а всего семь точек (рис. 5.88, в).

Задача 5.70 (7 точек и 6 прямых). Можно ли семь тюльпанов посадить так, чтобы образовалось шесть рядов по три тюльпана в каждом?

Каждый ряд представляет собой прямую, а каждый тюльпан — точку.

Так как в условии задачи говорится о шести прямых, то мы будем строить решение в зависимости от всевозможных случаев взаимного расположения этих прямых на плоскости.

1. Все прямые пересекаются в одной точке (рис. 5.89, а). В этом случае решение невозможно.
2. Все шесть прямых параллельны между собой. Если на каждой прямой взять по точке, а на одной из них две точки (рис. 5.89, б), то мы имеем семь точек, но остальные условия не выполняются.

5.5. Формирование интереса к изучению геометрии 383

3. Пять прямых параллельны между собой, а шестая пересекает их. Тогда на каждой из пяти прямых будет по точке, а на двух из них по две точки (рис. 5.89, в). Данный случай не дает решения.
4. Четыре прямые параллельны между собой, и две прямые, пересекающие их, параллельны между собой. В этом случае имеем восемь точек пересечений (рис. 5.89, г), а в условии требуется использовать только семь точек.
5. Четыре параллельные между собой и две пересекающиеся между собой прямые, которые пересекают эти четыре прямые, их точка пересечения не принадлежит ни одной из четырех параллельных прямых (рис. 5.89, д). В этом случае получаем девять точек пересечения. Этот случай не удовлетворяет условиям задачи.
6. Четыре параллельные между собой и две пересекающиеся между собой прямые, которые пересекают эти четыре прямые, и их точка пересечения принадлежит одной из четырех параллельных прямых (рис. 5.89, е). Здесь мы расположили семь точек, но у нас на каждой из прямых не по три точки.
7. Три параллельные между собой и еще три параллельные между собой прямые, пересекающие первые три прямые (рис. 5.89, ж). В этом случае имеем девять точек пересечения, что больше, чем в условии задачи.
8. Три прямые параллельны между собой, еще две оставшиеся параллельные между собой прямые их пересекают, седьмая прямая проходит через точки этих двух параллельных прямых с тремя другими (рис. 5.89, з). В этом случае на двух прямых у нас по две точки, поэтому этот случай не удовлетворяет условию задачи.
9. Три прямые параллельные между собой, а три другие пересекаются в точке, лежащей на любой из параллельных прямых. Получаем семь точек пересечения, но на одной из прямых только одна точка (рис. 5.89, и). Поэтому этот случай нас не устраивает.
10. Три прямые параллельны между собой, а три другие пересекаются в точке, не лежащей ни на одной из параллельных прямых. В этом случае имеем десять точек пересечения (рис. 5.89, к), что не удовлетворяет условию задачи.
11. Три прямые параллельны между собой (/_ь1₂ и 1₃), а прямые U и 1_Ъ параллельны между собой и пересекаются с прямыми li, 1₂ и 1₃. Прямая 1_б пересекает 1 и 1₅ в той же точке. В этом случае у нас получается девять точек пересечения (рис. 5.89, л), что не удовлетворяет условию задачи.
12. Три прямые параллельны между собой (1_Ъ 2₂ и ^з)> ап Р ямые Z₄ и 1₅ параллельны между собой и пересекаются с прямыми 1₂и 1₃. Прямая 1₆ пересекает l_lf 1₂,1₃,1₄ и 1₅ в разных точках. В этом случае имеем одиннадцать точек пересечения (рис. 5.89, м), что не удовлетворяет условию задачи.
13. Начертим три пересекающиеся между собой в различных точках прямые. Из вершин полученного треугольника проведем еще три прямые, которые будут пересекаться в одной точке (рис. 5.89, н). В этом случае условие задачи выполняется.

Задача 5.71 (7 точек и 7 прямых). Докажите, что семь прямых и семь точек нельзя расположить на плоскости так, чтобы через каждую точку проходило три прямых и на каждой прямой лежало три точки.

1. Предположим, что такое расположение семи точек и семи прямых существует. Будем называть эти прямые и точки данными. Тогда через каждую данную точку проходят ровно три данных прямых и на каждой данной прямой лежат три данные точки.
2. Докажем, что прямая, проходящая через любые две данные точки МиР, является данной (требуется доказать).
3. Так как точка М данная, то через нее проходят три данные прямые, и на каждой из прямых есть еще по две данные точки. Это следует из п. 1.
4. Одной из шести точек должна быть точка Р, так как данных точек всего семь. Это следует из пп. 1, 3.

5. Прямая МР является данной. Это следует из пп. 3, 4.

Аналогично доказывается, что любые две данные прямые пересекаются в данной точке.

6. Пусть А, В, С — данные точки, лежащие на данной прямой L так, что В лежит между А и С, D — та из остальных данных точек, которая ближе к L.
7. По доказанному прямые AD, BD, CD — данные.
8. По условию через точку В проходит еще одна прямая, отличная от BD. Это следует из п. 1.
9. Эта прямая пересекает отрезок АП или отрезок CD в некоторой данной точке Е, которая ближе к прямой L, чем точка D. Это следует из п. 8.
10. Пункт 9 противоречит п. 6, а значит, наше исходное предположение неверно и такого расположения семи точек и семи прямых не существует.

Это пример сложной задачи и сложного доказательства, однако оно не требует никаких новых знаний.

Задача 5.72 (8 точек и 7 прямых). Можно ли восемь точек расположить на семи прямых так, чтобы на каждой прямой лежали только три точки?

Ранее мы рассматривали аналогичную задачу для 7 точек и 6 прямых. Рассмотрим, как нам надо изменить конфигурацию, изображенную на рис. 5.89, н, чтобы получить искомый результат.

Нам достаточно провести прямую 1₇ через точки А₄ и А₅. Эта прямая пересечет прямую 1₅ в точке А₈ (рис. 5.91).

Семь прямых могут вообще не иметь точек пересечения, пересекаться в одной точке, иметь от шести до двадцати одной точки пересечения.

Задача 5.73 (9 точек и 8 прямых). Как расположить девять точек на восьми прямых так, чтобы на каждой прямой было по три точки?

Решение этой задачи мы будем проводить постепенно, начиная с рассмотрения двух прямых.

Из условия задачи видим, что если бы все прямые были параллельны между собой, то у нас не хватило бы точек, чтобы на каждой из прямых было по три точки. Поэтому хотя бы две из этих прямых должны пересекаться между собой, например прямые fa и 1₂ пересекаются в точке А_х (рис. 5.92, а).

Возьмем точку А₂ на прямой fa. Из этой точки можно провести как прямую, которая будет пересекать прямую 1₂, так и прямую, параллельную 1₂. Предположим, что прямая Z₃ параллельна прямой 1₂ (рис. 5.92, б). На прямой fa расположены две точки,

а на прямых 1₂ и 1₃ — по одной. Если мы не будем использовать для проведения новых прямых уже существующие точки, то количество прямых будет меньше количества точек.

Проведем прямую 1₄, например, через точку А₂ (рис. 5.92, в). Мы получили, что через точки А_х и А₃ проходят по две прямые, а через точку А₂ — три прямые. Мы провели четыре прямые и разместили три точки.

Чтобы при проведении прямой Z₅ количество точек увеличилось на одну, проведем ее через точку А₃ параллельно прямой 1_Х (рис. 5.92, г).

Если теперь прямую Z₆ мы проведем через точки А_х и А₄, то количество точек увеличится на одну (рис. 5.92, д). Теперь на прямых 1₄ и 1₆ у нас по три точки.

Прямую I’j мы можем провести через точку А₄ параллельно прямой 1₄ (рис. 5.92, ё). Получим семь точек и семь прямых, на каждой из которых, за исключением прямых 1₃ и Z₅, по три точки.

Проведем прямую 1₈ через точку А_х так, чтобы она была параллельна прямой 1₄ (рис. 5.92, е). Получим девять точек и восемь прямых таких, что на каждой из них по три точки.

Здесь показан один из вариантов поисковой деятельности, которую мы наблюдали во время эксперимента. Конечно же, могут быть другие варианты поиска.

Задача 5.74 (9 точек и 9 прямых, конфигурация Паскаля). Как расположить девять точек, которые лежат по три на девяти прямых, причем через каждую точку проходит по три данных прямых?

Приведем один из вариантов построения требуемой конструкции.

1. Построим прямую 1 и отметим на ней три точки А_х, А₂, А₃(рис. 5.93, а).
2. Проведем через точку А_х прямую 1₂ (рис. 5.93, б).
3. Через точку А₂ проведем прямую 1₃, которая будет пересекать прямые 1_Х и 1₂ в точках А₂ и А₄ соответственно (рис. 5.93, в).

Мы видим, что на прямых 1₂ и 1₃ у нас по две точки пересечения, а на прямой 1_Х отмечена одна точка А₃, через которую пока не проходит ни одной прямой.

4. Проведем прямую 1₄ через точки А₃ и А₄ (рис. 5.93, в). Имеем три прямые 1₂,1₃,1₄, на каждой из которых по две точки, и одну прямую 1_Х, на которой лежат три точки. Через точку А₄ проходят три прямые.

5.5. Формирование интереса к изучению геометрии 389

5. Проведем прямую 1₅, параллельную прямой 1_Ъ чтобы на каждой из прямых 1₂,/₃ и 1₄ получить еще по одной точке, тогда на каждой из этих прямых будет по три точки (рис. 5.93, г).

6. Проведем через точки А₃ и А₆ прямую Z₆. Теперь через точки А₃, А₄, А₆ у нас проходят по три прямые, а через точки А_ьА₂, А₅₎ А₇ — по две прямые (рис 5.93, д).
7. Проведем через точки А₂ и А₇ прямую 1₇ (рис. 5.93, ё). Теперь через точки А₂, А₃, А₄, А₆, А₇ у нас проходят по три прямые и через точки Ai, А₅ — две прямые.

Мы имеем пять точек, через которые проходят по три прямые: А_ь А₂, А₃, А₄, А₇, три прямые 1₃,1₅, которые пересекаются в трех точках с другими прямыми.

8. Проведем через точки Ах и А₆ прямую 1₈. Но тогда через точку А₆ проходят четыре прямые (рис. 5.93, ж), а через точку А₅ проходят только две прямые.
9. Уберем прямую 1₃ и проведем через точки А₂ и А₅ прямую /₉ (рис. 5.93, з). Теперь через точки А_ь А₂, А_3; А₅, А₆, А₇ проходят по три прямые, а через точки А₈, А₄, А₉ по две прямые.
10. Расположим точки А₅, А₆, А₇ на прямой 1_Ъ так, чтобы после проведения прямых 1₂,1₄,1₆ точки А₄,А₈,А₉ легли на одну прямую. Проведем прямую 1ю через эти три точки (рис. 5.93, и).

Мы получили девять прямых и девять точек, удовлетворяющих условию задачи.

Задача 5.75 (9 точек и 10 прямых). В книге «Математический цветник» [113] Стефан Барр сформулировал следующую задачу:

Задача простая: деревья в саду. Девять деревьев по три в ряду.

Их посадить нужно в десять рядов. Задача простая. Ответ ваш готов?

Возьмем конфигурацию Паскаля. Там было более жесткое условие на количество прямых, проходящих через каждую точку. В этой задаче у нас количество прямых больше на одну по сравнению с конфигурацией Паскаля. Поэтому проведем еще одну прямую через точки А₂, А₄, А₆ (рис. 5.94).

Эта задача и ее решение имеют очень важные и серьезные продолжения.

Читатель, знакомый с проективной геометрией, без труда сообразит, что решение данной задачи можно использовать в качестве чертежа при доказательстве знаменитой теоремы Паппа: «Если три точки А, В, С лежат на одной прямой, а три точки D, Е, F — на другой прямой (прямые не обязательно должны быть параллельны, как на рис. 5.95), то точки пересечения G, Н, I противоположных сторон шестиугольника AFBDCE, вершины которого попеременно лежат то на прямой АВС, то на прямой DEF, также лежат на одной прямой».

Задача о посадке деревьев самым тесным образом связана с разделом проективной геометрии, который изучает отношение инцидентности (точка инцидентна любой проходящей через нее прямой, прямая инцидентна любой лежащей на ней точке). Чертеж, с помощью которого в курсах проективной геометрии обычно доказывают знаменитую теорему Дезарга, позволяет решить две задачи о посадке деревьев: как посадить 25 деревьев в 10 рядов по 6 деревьев в каждом ряду и как посадить 19 деревьев в 9 рядов по 5 деревьев в каждом ряду. Задача о деревьях уводит нас в «глубокие воды» комбинаторики. Общего метода, позволяющего решить любые задачи подобного типа, пока не существует, и эта область занимательной математики изобилует нерешенными вопросами.

Задача 5.76 (10 точек и 10 прямых, конфигурация Дезарга). Как расположить десять точек, которые лежат по три на десяти прямых, причем через каждую точку проходит только по три таких прямых?

Конфигурация Дезарга изображена на рис. 5.96.

Конфигурацию Дезарга можем представить следующим образом. Возьмем треугольную пирамиду и отметим середины ее ребер (рис. 5.97).

Точками назовем вершины пирамиды и середины ее ребер, а прямыми — его ребра и середины ребер, лежащих в одной грани. Прямой-ребру принадлежат лежащие на нем вершины и его середина.

Убедитесь, что получилась модель конфигурации Дезарга.

Какие тройки точек нашей модели являются треугольниками? Это вершины, лежащие в одной грани, или вершина и середины прилегающих к ней ребер, или середины ребер, прилегающих к одной вершине. Хотя с точки зрения обычных преобразований пирамиды — поворотов и симметрии (рис. 5.98), эти треугольники не равноправны, достаточно добавить еще одно преобразование Т (оно показано на рис. 5.99), чтобы убедиться в равноправности всех треугольников и тем самым в правильности ответа.

Задача 5.77 (10 точек и 12 прямых). Как расположить десять точек на двенадцати прямых так, чтобы на каждой лежало по три точки?

У нас четное количество точек и прямых, поэтому, возможно, фигура должна получиться симметричной.

1. Один из способов построить такую фигуру — расположить четыре точки в вершинах квадрата, а пятую — в центре квадрата (рис. 5.100, а). В результате мы получим прямые А_гА₃ и А₂А₄, на которых лежат по три точки, причем через точки А_ьЛ₂, А_{3 А₅ иА₆, А_ъ и А₇} (рис. 5.100, б).
3. Мы уже использовали 8 прямых и 7 точек. Если убрать две прямые А_гА₂ и А%А₄, то будет использована половина прямых из того числа, которое было дано (рис. 5.100, в). Нам надо расположить еще три точки так, чтобы они были симметричны относительно прямой, проходящей через точку А₅. Все семь точек у нас расположены симметрично, и поэтому можно считать, что они зафиксированы.

394 Глава 5. Мотивация обучения математике в школе

4. Попробуем провести прямые через А₃ и А₆, А₄ и А₇ (рис. 5.100, г). Нужно разместить на них еще три точки. Одну из этих точек расположим на оси симметрии квадрата, проходящей через точку А₅. Эта точка будет точкой пересечения прямых А]А₇ и AzAq (рис. 5.100, д). Обозначим ее через А₈.

Мы имеем восемь прямых, на каждой из которых кроме прямых А5А7, АзА₆, А4А7, А$А₆ отмечены по три точки.

5. Возьмем в качестве двух оставшихся точек точки пересечения А5А7 иАзА₆, А4А₇ иА5А₆ (рис. 5.100, е).
6. Мы провели десять прямых. Две оставшиеся прямые проведем через А₄ и А₈, А₃ и А₈. При этом может оказаться так, что точка А₉ не попадет на прямую А4А₈, а точка А₁₀ не попадет на прямую АзА₈. Поэтому точки А₆ и А₇ будем смещать одновременно вдоль прямых А _хА₄ и А2А3 так, чтобы они оказались на прямых А₄А₈ и АзА₈. В результате получим конфигурацию, изображенную на рис. 5.100, ж.

Задача 5.78 (11 точек и 16 прямых). Можно ли 11 точек расположить на 16 прямых так, чтобы на каждой прямой лежали только три точки?

1. Возьмем конфигурацию из задачи 5.96 (10 точек и 12 прямых) и добавим еще одну точку на оси симметрии A$A₃. Обозначим ее через А_п.
2. Проведем четыре прямые через эту точку. Одну из них проведем через А₃ и А₄, вторую — через А₄ и А_п, третью — через А₂ иА_п, а на четвертой прямой эта точка уже лежит, так как мы ее выбрали на оси симметрии А$А₈.

3. Если точки А₉ и А₁₀ не попадут на прямые А_гА_п и АзАц соответственно, нам надо будет сдвинуть точки А₆ и А7 так, чтобы точки Ад и Аю оказались на прямых AjAn и А₂А_п. В результате получаем конфигурацию, изображенную на рис. 5.101.

На этапе осознания сути основной проблемы задания учитель может предложить учащимся следующие вопросы-подсказки: могут ли три точки располагаться так, чтобы через них проходила единственная прямая? Могут ли четыре точки располагаться так, чтобы через них проходили две прямые так, чтобы на каждой прямой было по три точки? Могут ли пять точек располагаться так, чтобы через них проходили две прямые, содержащие каждая по три точки? Могут ли шесть точек располагаться так, чтобы через них проходили три прямые, содержащие по три точки?

Эти задачи относятся к области математики, называемой комбинаторной геометрией. Поэтому решения задач из данного исследовательского задания направлены в основном на формирование такого элемента исследовательской деятельности, как организация полного или сокращенного перебора (различных гипотез решения и возможных вариантов решения), а также обобщение полученного результата.

Также очень важно развить понимание того, что надо использовать какие-то симметрии. Полезно, чтобы учащиеся попробовали разнообразные способы симметричных расположений точек. Симметрии могут быть относительно прямой или относительно точки.

Выполнив чертежи к каждому из этих вопросов, учащиеся подходят ко второму этапу исследования — самостоятельному поиску принципиального решения проблемы.

Задача 5.79 (13 точек и 12 прямых). Рассадите 13 декоративных кустов в 12 рядов по 3 куста в каждом ряду.

Примем кусты за точки, а ряды за прямые. Тогда нам надо расположить 13 точек и 12 прямых по 3 точки на каждой прямой. Попробуем вновь воспользоваться симметрией. Число 13 наводит на мысль, что нам надо попробовать разместить шесть точек в вершинах правильного шестиугольника и соединить попарно противоположные вершины, а одну точку разместить в центре (рис. 5.102).

Нам осталось разместить еще шесть точек и провести три прямые. Если мы возьмем эти точки на серединах сторон шестиугольника, а потом соединим противолежащие точки, получим конфигурацию, изображенную на рис. 5.103.

На третьем этапе исследования учителю необходимо провести дискуссию в классе по обсуждению найденных решений и проведению обобщения проблемы построения трехточечных прямых.

Все приведенные задачи можно обобщить так: есть целое число точек р (р > 3). Как можно расположить их на плоскости, чтобы никакие четыре из них не лежали на одной прямой и чтобы максимальное число прямых проходило через три из данных точек? (Последнее требование при решении нашей серии задач учитывается не всегда.) Полное описание этой проблемы можно найти в книге «Математический цветник».

Рассмотрим некоторые обобщения, которые можно сделать после выполнения этого задания.

Дано целое положительное число р (р > 3). Как расположить на плоскости точки, чтобы никакие четыре из них не принадлежали одной прямой и чтобы было максимальное число прямых, проходящих через три из имеющихся точек каждая? Интересующее нас максимальное число трехточечных прямых обозначим 1<р).

Эта задача относится к области математики, называемой комбинаторной геометрией. На вышеприведенных рисунках показаны некоторые варианты решения задачи, отвечающие значениям р = 3, 4, . 11. Все они оптимальны, т. е. содержат в точности 1(р) прямых, проходящих через три точки каждая. Кроме проиллюстрированных рисунками значений (/(3) = 1, Z(4) = 1, /(5) = 2, /(6) = 4, /(7) = 6, /(8) = 7, /(9) = 10, /(10) = 12, /(11) = 16) науке известны еще только два значения функции /(/?).

Перечислим некоторые особенности рассмотренной нами части общей задачи:

• четыре точки в нашей системе ничем не лучше трех, так как /(3) = /(4);
• иногда одно решение содержится в другом: так, рисунок, характеризующий значение /(10), содержится в рисунке, характеризующем /(11);

• решения, показанные на приведенных выше рисунках, не всегда единственны, на рис. 5.104 показано другое расположение 1(8) прямых, полученное из расположения, отвечающего /(7) = 6, дополнительную точку можно поставить на прямой произвольно.

В книге «Математический цветник» можно найти изображения еще двух решений для р = 12 и р = 16, но это уже очень сложно получаемые и трудно изображаемые конфигурации. Интересно, что эти последние две конфигурации исчерпывают все известные значения 1(р). Важно ощущать, что мы приблизились к проблеме, которая в математике еще открыта для исследования.