Равенство треугольников по гипотенузе (5 видео)

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют сравнивать прямоугольные треугольники лишь по двум элементам, так как любые два прямых угла равны.

1. Признак равенства по двум катетам

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны

Данный признак следует из первого признака равенства треугольников.

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, т.к. AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁.

2. Признак равенства по катету и острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны

Данный признак следует из второго признака равенства треугольников.

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, т.к. AC = A₁C₁, C = C₁

3. Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Содержание

Теорема
Доказательство
Теорема
Доказательство
Признаки равенства прямоугольных треугольников
35 Comments
Признаки равенства прямоугольных треугольников с примерами решения
Второй признак (по катету и прилежащему острому углу)
Третий признак (по катету и противолежащему острому углу)
Четвертый признак (по гипотенузе и острому углу)
Пятый признак (по катету и гипотенузе).
📺 Видео

Теорема

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого,то такие треугольники равны

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, т.к. BC = B₁C₁, B = B₁

Доказательство

Так как сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 , то в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому данные треугольники равны по второму признаку треугольников, т.е. по стороне(по гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам, что и требовалось доказать.

4. Признак равенства по катету и гипотенузе

Теорема

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, т.к. BC = B₁C₁, AB = A₁B₁

Доказательство

Дано: ABC, A₁B₁C₁, BC = B₁C₁, AB = A₁B₁

Доказать: ABC = A₁B₁C₁

Доказательство:

Рассмотрим данные треугольники:

Так как A = A₁, то ABC можно наложить на A₁B₁C₁ так, что вершина A совместится с вершиной A₁, а стороны AC и AB наложатся соответственно на лучи A₁C₁ и A₁B₁. При этом вершина B совместится с вершиной B₁, потому что AB = A₁B₁. Но тогда вершина C также совместится с вершиной C₁. Действительно, если предположить, что точка C совместится с некоторой другой точкой C₂ луча A₁C₁, то получим равнобедренный треугольник C₁B₁C₂.

В C₁B₁C₂ углы при основании не равны (C₂ — острый, а C₁ — тупой, так как он смежный с углом B₁C₁A₁, который является острым). А это невозможно, так как у равнобедренного треугольника углы у основания равны, следовательно, вершина C совместится с вершиной C₁. А это значит, что полностью совместятся треугольники ABC, A₁B₁C₁, т.е. они равны, что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют доказать равенство треугольников всего по двум парам элементов.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам

Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу

1) Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2) Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу

Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Видео:Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузеСкачать

35 Comments

Спасибо, все коротко и ясно.

спасибо большое) доступно все объяснили

А где пятый признак?

Max, признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу разбивается на два признака: по катету и противолежащему углу и по катету и прилежащему углу, потому что доказывают их отдельно.

Можно написать 5-ый признак равенства прямоугольных треугольников исходя из третьего признака равенства треугольников(не обязательно прямоугольных): если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Спасибо выручили.
Очень рад, что всё так доступно и понятно.

есть еще по катету и противолежащему острому углу

Да, признак равенства по катету и острому углу иногда разбивают на два.

Офигенно! Большое спасибо!

Спс,как раз геометрию не слушал.

В геометрии знание теории — основа. Поэтому желательно слушать)

все нормально конечно ,но было бы лучше если б было доно.

Это разве не нужно доказывать ? Плз ответ, у меня экзамен будет и нужно знать,надо это доказывать или прочитать хватит ?

Роман, если использовать признаки равенства в ходе решения других задач, то каждый раз доказывать их не нужно.

Спасибо у нас злая алгебраических которая ничего не объясняет поэтому никто не понял.

А вы на уроке попробуйте не шуметь. От этого выиграет и класс, и учитель.

Спасибо, помогли подготовиться к зачёту!

Удачно Вам сдать зачёт!

Скоро зачёт,и решил почитать не из учебника,а тут.Итог: Всё быстро и понятно,без так сказать «воды»,вообщем,спасибо

Игорь, удачи Вам на зачёте!

Спасибо большое у меня через 1 месяц экзамен

Илья, желаю Вам успешно сдать экзамен!

Здравствуйте. Хотелось бы к Вам обратиться по имени, но не вижу его. Спасибо Вам за сайт. Доступно, понятно, наглядно! Приятно, что при доказательстве теорем Вы стремитесь к оптимальному, более короткому пути, например в свойстве медиан треугольника. Что же касается признака равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу. Вы объясняли в переписке некоторым людям, что он разбивается на два признака. Тем не менее, Вы оставляете некорректную формулировку: «Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны». При этом поясняющий рисунок соответствует верному случаю и не показывает другой — неверный. Все же нужно согласиться с тем, что это два различных признака с различными формулировками, как у Вас и написано, правда в другом месте, в разделе доказательства.
С уважением,
Олег.

Здравствуйте, Олег!
Спасибо Вам за внимание к моему ресурсу.

Зовут меня Светлана Михайловна. Учу детей математике 28 лет: 16 — в школе, 12 — как репетитор. Сайты (у меня их несколько) создавала для помощи школьникам и их родителям. К сожалению, информация в учебнике не всегда изложена доступно. Очень хочется, чтобы ученики поняли, что математика (в частности, геометрия) — интересный и не такой уж сложный предмет.

Насколько я Вас поняла, Вы предлагаете разделить признаки равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу на два отдельных признака, как это сделано, к примеру, в учебнике Бутузова? Вы считаете, это принципиально важно для дальнейшей работы? Ведь оба признака доказаны.

Спасибо Светлана за такой отличный сайт скоро экзамен помогает надеюсь,что ваш сайт будет продвигаться вперёд,для школьников и родителей! Ещё раз спасибо!?

Никита, желаю Вам успешно сдать экзамен!

Cпасибо Вам огромное, Светлана Михайловна! Полгода геометрии прослушал, сейчас всё понятно. И всё-таки, Олег прав, по катету и острому углу — 2 различные теоремы. Скиньте ссылку на остальные Ваши сайты мне на почту, пожалуйста
С уважением,
Влад

Спасибо) помогло при подготовке к экзаменам.

Здравствуйте, Светлана Михайловна. Давно к Вам не заходил. Я оставил комментарий от 28.04.2018, касающийся теоремы:
Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Вы ответили:
«Насколько я Вас поняла, Вы предлагаете разделить признаки равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу на два отдельных признака…? Вы считаете, это принципиально важно для дальнейшей работы? Ведь оба признака доказаны.»
Да, это важно, поскольку Ваша формулировка неверна. Неверно, что если катет и острый прилежащий угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
С уважением
Олег Леонидович Шлейфман.

Воу, последний комментарий аж 2019 года. Спасибо всё коротко и ясно, как говорится, краткость — сестра таланта!)

Видео:Геометрия 7. Урок 9 - Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Признаки равенства прямоугольных треугольников с примерами решения

Содержание:

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Вы уже знаете три признака равенства треугольников. Поскольку часто приходится иметь дело с прямоугольными треугольниками, то выделяют пять признаков равенства прямоугольных треугольников. Сформулируем и докажем их.

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Второй признак (по катету и прилежащему острому углу)

Дано:

Доказать:

Доказательство:

по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Видео:Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углуСкачать

Третий признак (по катету и противолежащему острому углу)

Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: (рис. 264).

Доказать:

Доказательство:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Из того, что следует, что Тогда по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Четвертый признак (по гипотенузе и острому углу)

Дано: (рис. 265).

Доказать:

Доказательство:

Видео:Признаки равенства прямоугольных треугольников #11Скачать

Пятый признак (по катету и гипотенузе).

Дано: (рис. 266).

Доказать:

Доказательство:

Приложим треугольников А₁В₁С₁ к треугольнику АВС так, чтобы совместились равные катеты А₁С₁ и АС, а вершины В₁ и В лежали по разные стороны от прямой АС. Треугольник А₁В₁С₁ займет положение треугольника АВ₂С. Так как B2CB — развернутый и АВ₂ = АВ, то треугольник В₂АВ — равнобедренный, катет АС — его высота. По свойству равнобедренного треугольника высота, проведенная к основанию, будет и медианой. Тогда В₂С=СВ и треугольники ABC и АВ₂С равны по двум катетам.

Отсюда

Пример:

На рисунке 267

Доказать равенство треугольников: а) АВС и ADC б) АОВ и COD.

Доказательство:

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и ADC. У них гипотенуза АС — общая, катеты AD и ВС равны по условию. Тогда АВС =ADC по катету и гипотенузе.

б) Из равенства треугольников ABC и ADC следует равенство сторон АВ и CD (доказано в пункте а). Тогда АОВ =COD. по катету (АВ = CD) и противолежащему острому углу (AOB =COD как вертикальные).

Пример:

Дан треугольник ABC, АК и СМ — его высоты, проведенные к боковым сторонам, О — точка их пересечения (рис. 268). Доказать, что если треугольники АОМ и СОК равны, то треугольник ABC — равнобедренный.

Доказательство:

Так как AOM =COK как вертикальные, то MAO =KCO (сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°). Из равенства треугольников АОМ и СОК следует равенство гипотенуз АО и СО. Треугольник АОС — равнобедренный,OAC =OCA как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда BAC =BCA как составленные из равных углов. Треугольник ABC равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. Что и требовалось доказать.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Соотношения в прямоугольном треугольнике
Сумма углов треугольника
Внешний угол треугольника
Свойство точек биссектрисы угла
Задачи на построение по геометрии
Угол — определение, виды, как обозначают с примерами
Перпендикулярные прямые в геометрии
Признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.