Могут ли векторы быть равными но неколлинеарными

Знакомимся с коллинеарностью.

Для большинства людей искусственный интеллект — это нечто сложное и таинственное. А для математиков это синоним фразы «перемножение матриц». С точки зрения человека, который владеет линейной алгеброй, в искусственном интеллекте нет ничего загадочного.

Мы хотим, чтобы вы тоже смогли понять искусственный интеллект на уровне математики. Для этого у нас идёт цикл статей про линейную алгебру:

Сама тема несложная, но конкретно этот шаг вам ничего не даст в практическом смысле. Но если вам хватит терпения, на базе этих знаний мы уже перейдём к матрицам.

Видео:Вектор. Определение. Коллинеарные векторы. Равные векторы.Скачать

Что за коллинеарность

Представьте два вектора, которые находятся в одной плоскости и располагаются параллельно друг другу. При этом у них может быть разная длина. Такое расположение делает связку векторов коллинеарными, или, по-простому, линейно зависимыми.

И наоборот: если вектора находятся в одной плоскости и располагаются не параллельно друг относительно друга, то их считают линейно независимыми — неколлинеарными. Пока что ничего сложного.

Коллинеарные векторы Неколлинеарные векторы

Видео:9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов

Очевидно, что сложить два коллинеарных вектора очень легко: откладываем второй вектор от начала первого, получится новый вектор. Он будет коллинеарным своим слагаемым, они все будут лежать, грубо говоря, на одной линии.

Можно представить, что вы идёте прямо: каждый ваш шаг — это вектор. Каждый новый шаг — новый вектор. Но если все их сложить, получится один большой прямой вектор длиной как все ваши шаги.

Теперь попробуем сложить пару неколлинеарных векторов. Это как если бы мы сначала сделали шаг немного правее, а потом сделали бы шаг влево. Шага два, но если соединить начало и конец пути, он не будет совпадать с траекториями наших шагов. Появится какой-то новый вектор, с новым направлением, и он будет неколлинеарным по отношению к своим слагаемым.

Также пару неколлинеарных векторов из одной плоскости можно растянуть и развернуть в пространстве. Если их сложить, также появится новый вектор.

У математиков такой вектор называют базисом. Когда базис находится на плоскости или в пространстве, то он может единственным образом превращаться обратно в пару неколлинеарных векторов, которые его сформировали.

Правило работает, когда мы масштабируем и меняем расположение векторов в пространстве. Если мы изменим направление исходных векторов, то получим новый базис.

Базис — понятие из высшей математики, поэтому, если сейчас сложно, не отчаивайтесь. Студенты-математики когда-то тоже отчаивались.

Мы изменили пару неколлинеарных векторов и сформировали из них базис — получили новый фиолетовый вектор с собственной системой координат Теперь мы изменили исходные неколлинеарные векторы и получили новый базис — это оранжевый вектор

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Как определять неколлинеарность

Когда мы работаем с короткими векторами, всё очевидно: нарисовали систему координат, отложили на ней векторы, они либо совпали, либо не совпали. Если совпали — коллинеарные, если нет — неколлинеарные.

А теперь представьте, что вектора настолько огромные, что мы физически не можем их нарисовать и сопоставить. Например,

Как такое нарисовать? Как проверить коллинеарность? Вот тут начинается магия алгебры.

Есть три способа проверки линейной зависимости векторов. Для простоты вычислений проверим эти три способа на вот этих всё ещё простых векторах:

По этим координатам ответим на два вопроса: являются ли предложенные вектора линейно зависимыми (то есть коллинеарными) и можно ли их раскладывать по базису.

Первый способ. Запишем простую систему уравнений: возьмём первую координату каждого вектора и приравняем её ко второй координате каждого вектора, умноженной на неизвестное число λ. Вычислим λ и сравним результаты.

👉 Знак λ здесь по традиции и для удобства. На самом деле это просто некое неизвестное число. Вместо этой буквы могли быть X, Y, Z или N, но так как у нас вектора уже называются X и Y, а N в математике используется для других целей, возьмём λ — это греческая буква «лямбда», давний предок нашей русской буквы «Л».

Составляем систему уравнений:

Вычисляем значение λ:

Сравниваем результат и делаем вывод:

Мы получили разное значение для неизвестного числа λ и поэтому наши векторы будут считаться линейно независимыми. Из них можно получить базис.

Если бы значение λ совпало, то мы бы имели дело с линейно зависимыми векторами.

Второй способ. Проверяем координаты векторов на пропорциональность: берём первую координату первого вектора, делим её на первую координату второго вектора. Повторяем это же действие со вторыми координатами: берём вторую координату первого вектора и делим её на вторую координату второго вектора.

Получаем такую пропорцию:

Считаем значение и сравниваем результат:

Равенство не выполняется, и поэтому между векторами нет зависимости.

Третий способ. Используем четыре элемента наших координат для поиска определителя — скалярной величины, с которой мы подробно познакомимся в следующих статьях во время решения матричных уравнений. Сейчас нам не нужны подробности, и для проверки линейной зависимости достаточно формулы.

Записываем в две строки координаты наших векторов:

Переводим координаты векторов в определитель — добавляем с двух сторон вертикальную черту и получаем простую квадратную матрицу размером 2 на 2:

В полученной матрице две диагонали. Числа −6 и −1 образуют главную диагональ; числа −4 и 5 — вторую диагональ. Чтобы найти определитель, нам нужно умножить числа главной и второй диагонали, а затем вычесть их разницу.

Если из координат вектора мы получили определитель и он не равен нулю, то векторы считаются линейно независимыми и подходят для разложения по базису.

И наоборот: нулевой определитель указывает на линейную зависимость векторов.

Видео:Коллинеарность векторовСкачать

Что из этого нужно запомнить

• С точки зрения векторов важно, они сонаправленные или нет. По-другому — они коллинеарны или нет.
• Коллинеарность влияет на то, что можно делать с этими векторами. Например, неколлинеарные векторы можно разложить по базису.
• Базис — это вектор, который можно разложить на те самые неколлинеарные векторы.
• Коллинеарность легко проверяется через уравнения. Строить векторы на координатной плоскости необязательно.

Видео:Разложение вектора на неколлинеарные вектора.Скачать

Что дальше

Следующий шаг — матрицы. Это те самые, которые лежат в основе всех нейронок и искусственного интеллекта. Матрица — это таблица чисел, с которыми можно проводить различные вычисления.

Видео:Коллинеарные векторы.Скачать

Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).

рис. 1

Видео:Задача 2. Коллинеарны ли векторы с1 и с2, построенные по векторам a и b?Скачать

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Доказательство третего условия коллинеарности

Пусть есть два коллинеарные вектора a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < na_x ; na_y ; na_z >. Найдем их векторное произведение

Видео:89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

Примеры задач на коллинеарность векторов

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y . Если вектора колинеарны то

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Решим это уравнение:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.

Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12

Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12

Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y . Если вектора колинеарны то

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Из этого соотношения получим два уравнения:

Решим эти уравнения:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Понятие вектора. Коллинеарные и равные векторы.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

При первом знакомстве с геометрией мы выясняли, какие геометрические фигуры являются простейшими. К ним относились: точка, прямая и отрезок. Отрезок, как нам уже известно, это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки мы называли концами отрезка. Отрезки обозначаются двумя заглавными латинскими буквами, причём не важно, какой из двух концов мы называем первым.

Рассмотрим такую ситуацию. Я купила в магазине муку и, поместив её в пакет, отправилась по прямой к остановке автобуса. По случайному стечению обстоятельств упаковка с мукой оказалась надорвана и пакет имел дырку. В результате весь мой путь от магазина до остановки был прочерчен просыпавшейся мукой. Получился такой белый отрезок. Но это ведь не простой отрезок, поскольку я шла только в одну сторону! Этот отрезок имел направление: от магазина до остановки. Вот такие направленные отрезки и называются векторами.

Определение. Вектором называется направленный отрезок, построенный по двум точкам, одна из которых считается началом, а другая – концом.

На рисунке представлен вектор с началом в точке и концом в точке . Обозначается он так: . Его уже нельзя обозначить , поскольку точка перемещается в точку , а не наоборот. Также, вектор можно обозначать одной маленькой буквой со стрелкой над ней , тогда на рисунке она располагается между началом и концом вектора.

Вектор, также как и отрезок, имеет длину.

Определение. Длиной вектора называется расстояние между его началом и концом. Другими словами, это длина отрезка, составляющего данный вектор.

Обозначается длина вектора так: или . О нахождении длины вектора поговорим позже.

Если конец вектора совпадает с его началом, то вектор называется нулевым, т.е. его длина равна нулю. Обозначается нулевой вектор так: или .

Отметьте три точки . Сколько векторов с началом и концом в этих точках можно провести? Проиллюстрируйте свой ответ.

Проведите векторы . Какая геометрическая фигура у вас получилась?

Проведите вектор . Что вы можете сказать о длине этого вектора?

На прямой отметьте два вектора с длинами 3 см и 1 см. Какие возможны варианты их расположения?

Начертите прямоугольник, проведите его диагонали. Отметьте все возможные векторы с началом и концом в видимых точках прямоугольника. Запишите их.

Начертите две параллельные прямые и . На прямой отложите вектор , а на прямой – вектор . Какие возможны варианты? Что вы можете сказать об этих векторах?

Рассмотрим теперь задание 6 из предыдущей темы. На двух параллельных прямых должны быть расположены два вектора. Рассмотрим варианты.

. Мы расположили эти векторы так, что они направлены в одну сторону. Такие векторы называются сонаправленными.

. Эти векторы мы расположили так, что они направлены в разные стороны. Такие векторы называются противоположно направленными.

Сонаправленные и противоположно направленные векторы составляют множество векторов, которое называется коллинеарными векторами.

Определение. Коллинеарными называются ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Определение. Сонаправленными называются коллинеарные векторы, если их концы лежат по одну сторону от прямой, проходящей через их начала (направленные в одну сторону). Обозначаются так: или .

Определение. Противоположно направленными называются коллинеарные векторы, если их концы находятся по разные стороны от прямой, проходящей через их начала (направленные в разные стороны). Обозначаются так: или .

В рассмотренных случаях мы заметили, что коллинеарные векторы имели разные длины. Однако, они могут иметь и одинаковую длину. От этого условие коллинеарности не нарушается. Но появляется новая группа векторов.

Определение. Равными называются сонаправленные векторы, имеющие равные длины. Обозначаются так: .

Значит, для того, чтобы векторы были равны, нужно, чтобы они лежали на параллельных прямых (или на одной прямой); были направлены в одну сторону и их длины должны быть равны.

Откладывание вектора от данной точки.

Утверждение. От любой точки плоскости можно отложить вектор, равный данному и, притом, только один.

Через точку проведём прямую , параллельную вектору . В соответствии с аксиомой IX планиметрии, такая прямая единственная.

На прямой от точки можно отложить два отрезка и одинаковой длины, равной длине вектора . Так как они отложены в разные стороны от точки , то векторы и противоположно направленные.

По определению равных векторов .

Для доказательства единственности такого вектора, предположим, что существует ещё один вектор с началом в точке , равный вектору . Пусть это будет вектор

Так как , то по определению равных векторов, они лежат на параллельных прямых. Значит, через точку проходят две прямые и , параллельные вектору . А это противоречит аксиоме IX .

Мы пришли к противоречию потому, что сделали неправильное предположение. Значит, вектор единственный, ч.т.д.

🔥 Видео

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным | МатематикаСкачать

№778. Начертите попарно неколлинеарные векторы а, b и c. Постройте векторы:Скачать

ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам | Геометрия 7-9 класс #85 | ИнфоурокСкачать

10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

№760. Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов х и у справедливоСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ неколлинеарным ВЕКТОРАМ 9 классСкачать

Координаты вектора. 9 класс.Скачать