Методика изучения окружности и круга в школьном курсе планиметрии (8 видео)

Методическая разработка на тему «Окружность и круг»
методическая разработка по геометрии (7 класс) на тему

В данной работе собран теоретический материал, необходимый для решения задач по данной теме. Изложение материала довольно сжатое, но вся необходимая теоретическая база присутствует. Текст вполне доступен для понимания учащихся 8-9 класса, часть теоретических сведений проиллюстрирована. Также имеются задачи с приведенным решением и тест для подготовки к экзамену в 9 классе или сдачи ЕГЭ в 11 классе.

Содержание

Скачать:
Предварительный просмотр:
Методика изучения круга и окружности
Методика изучения окружности в школьном курсе
—>Сайт учителя начальных классов Горскиной Тамары Васильевны —>
Теория обучения
Федеральное агентство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Содержание
Дипломная работа: Изучение метода координат в курсе геометрии основной школы
📺 Видео

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
metodichka.doc	735.5 КБ

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Предварительный просмотр:

МБОУ «СОШ №47» г.Чебоксары

на тему «Окружность и круг» Содержание

Основные понятия, связанные с окружностью и кругом
Основные теоремы и свойства, связанные с окружностью и кругом
Основные формулы, связанные с окружностью и кругом
Примеры решения задач на тему «Окружность и круг»
Примерный тест для подготовки к ЕГЭ
Урок на тему «Площадь круга и его частей»

Тема «Окружность и круг» довольно обширна. Она тесно взаимосвязана со многими другими темами и широко применяется при решении задач как в планиметрии, так и в стереометрии (иногда — как вспомогательная). В 11 классе при решении задач с телами вращения очень часто приходится переходить к планиметрии. В таких случаях без знаний об окружности и круге не обойтись. Таким образом, успешность изучения тел вращения зависит от уровня усвоения знаний об окружности и круге кроме всего прочего.

В учебниках тема «Окружность и круг» в основном разбивается на блоки, и различные ее составляющие изучаются в разных классах. Так, например, в учебнике Погорелова эта тема изучается с 7 по 9 класс, как, впрочем, и в учебнике Атанасяна.

Целью данной работы является систематизация, обобщение и сжатое изложение темы «Окружность и круг», которая в школьных учебниках дается в течение трех лет; рассмотрение некоторых видов задач по данной теме.

Задачами данной методической разработки стали:

Ввести понятия, связанные с окружностью и кругом
Рассмотреть основные теоремы и свойства по данной теме
Сгруппировать все данные в удобной для использования и компактной форме
Показать решение некоторых видов задач по данной теме
Разработать тест для подготовки к ЕГЭ
Подготовить план урока на тему «Площадь круга и его частей»

Основные понятия, связанные с окружностью и кругом.

Окружностью называется множество всех точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии r от одной точки О этой плоскости. Точка О называется центром окружности, а расстояние r любой точки окружности от центра — радиусом окружности. На рисунке1 OA-радиус, BD-диаметр, BC-хорда.

Радиусом окружности называется любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром.

Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметром называется хорда, проходящая через центр.

Кругом называется множество всех точек окружности вместе с ее внутренней областью.

Секущая –это прямая, проходящая через две точки окружности.

Касательная –это прямая, проходящая через одну точку окружности.

Общей касательной двух окружностей называется прямая, являющаяся касательной к обеим окружностям одновременно.

Общая касательная двух окружностей называется внешней , если центры данных окружностей лежат по одну сторону от нее.

Общая касательная двух окружностей называется внутренней , если центры данных окружностей лежат по разные стороны от нее.

Две пересекающиеся окружности называются ортогональными , если касательные к ним в точках их пересечения взаимно перпендикулярны.

Центральным углом окружности называется угол с вершиной в центре окружности.

Вписанным в окружность углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Дугой окружности называется объединение множества точек окружности с двумя точками, произвольно взятыми на окружности.

Радианной (градусной) мерой дуги называется радианная (градусная) мера соответствующего ей центрального угла.

Окружность называется вписанной в N-угольник, если она касается всех его сторон.

Окружность называется описанной около N-угольника, если она проходит через все его вершины.

Круговым сектором называется часть круга, заключенная внутри соответствующего центрального угла.

Круговым сегментом называется часть круга, отсекаемая от него хордой.

Основные теоремы и свойства, связанные с окружностью.

Диаметр перпендикулярен хорде, не являющейся диаметром, тогда и только тогда, когда он проходит через середину хорды.
Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от ее центра.
Хорды данной окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные центральные углы
Свойство касательной : если прямая касается окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Признак касательной : прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная ее радиусу, проведенному в эту точку, касается окружности
Две окружности касаются друг друга тогда и только тогда, когда касательные к окружностям в их общей точке совпадают.
Если точка М лежит на дуге АВ, то AM + МВ= АВ.
Две дуги одной окружности или двух окружностей с равными радиусами равны тогда и только тогда, когда они имеют равные градусные меры.
Две дуги окружности, заключенные между параллельными секущими, равны.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. В частности, вписанные в окружность углы, опирающиеся на полуокружность, прямые.
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды, равно произведению отрезков другой хорды.
Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.
Если хорды и окружности пересекаются в точке В, то , где АС и — дуги, расположенные внутри угла ABC и вертикального угла (рис.2).
Если две секущие и окружности пересекаются в точке В, внешней относительно этой окружности, то ABC = ( АС — ), где АС и — дуги, расположенные внутри угла ABC u АС > (рис.3).
Если ВА — хорда, а ВС — касательная к окружности в точке В, то ABC = АВ, где АВ — дуга окружности, расположенная внутри угла ABC.
Если секущая и касательная к окружности в точке С пересекаются в точке В, то ABC = ( А С– АС), где А С и АС — дуги, заключенные между сторонами угла ABC и А С > AC (рис.4).
Если касательные к окружности в точках А и C пересекаются в точке В, то ABC= ( АМС — АС), где АМС и АС — соответственно большая и меньшая дуги окружности с общими концами А и С.
Если через точку М проведена касательная к окружности в точке А и секущая, которая пересекает окружность в точках В и С, то МА г = MB • МС (рис.5).
Если через точку М, внешнюю относительно окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках А и В, а вторая — в точках С и D, то .
Пусть точка А расположена внутри круга радиуса R на расстоянии а от его центра, ВВ — произвольная хорда, проходящая через А. Тогда произведение постоянно и (рис.6).
Пусть точка А расположена вне круга радиуса R на расстоянии а от его центра; прямая, проходящая через А, пересекает окружность в точках В и В . Тогда произведение отрезков постоянно и = a 2 -R 2
В треугольнике радиус R описанной окружности и радиус r вписанной окружности связаны с расстоянием d между их центрами соотношением d 2 = R 2 – 2Rr.
Описанная (вписанная) окружность для данного четырехугольника существует тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов (сторон) равны.
Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

основные формулы, связанные с окружностью и кругом.

Длина окружности: L =
Длина дуги, соответствующей центральному углу :
Площадь круга: S= R
Площадь сектора с центральным углом :

Примеры решения задач на тему «Окружность и круг».

№1. Докажем, что если a и b – катеты, с –гипотенуза прямоугольного треугольника, а r- радиус вписанной окружности , то .

Решение: Выполним необходимые дополнительные построения: из Центра О вписнной окружности проведем радиусы OD, OE и OF в точки касания. Тогда OD BC, OE AC, OF AB (рис.7). ODCE-квадрат (все углы прямые и OE=OD). Значит, CE=CD=r, BD=a-r, AE=b-r. Но BD=BF, а AE=АF. Значит, BD=a-r, AF=b-r, AB=BF+AF, т.е. с=(a-r)+(b-r), откуда находим, что .

№2.В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC=b и углом при основании α. Вторая окружность касается первой окружности и основания треугольника в его середине D и расположена вне треугольника. Найдем радиус второй окружности (рис.8).

Решение: Воспользуемся тем, то AD*DC=BD*DK. Так как AD=DC=b/2, BD=(b/2)tgα, DK=2r, то получаем , откуда .

№3. Определить площадь сегмента, если его периметр равен p , а дуга равна (рис.9).

Решение : Пусть AB-хорда, ограничивающая сегмент, l- длина дуги AB.

, где R-радиус окружности. Из теоремы косинусов

Из (1) и (2) получаем , .

№4. На отрезке AB и на каждой его половине построены как на диаметрах полукруги (по одну сторону от AB). Считая радиус большого полукруга равным R, найти сумму площадей криволинейных треугольников, образовавшихся при построении круга, касательного к трем данным полукругам.

Решение : Воспользуемся рисунком 10. Пусть S-площадь большего полукруга, S1 и S2-площади дух других полукругов, R-радиус большего полукруга,S3 и r-площадь и радиус круга, касательного к трем данным полукругам, S4-искомая площадь. S1=S2,S1+S2= .S= . Рассмотрим . = r+R/2, =R/2, =R-r. По теореме Пифагора , отсюда r=R/3.

№5. Две окружности радиуса R пересекаются так, что каждая из них проходит через центр другой. Две другие окружности того же радиуса имеют центры в точках пересечения первых двух окружностей. Найти площадь, общую всем четырем кругам.(рис.11)

Решение : (т.к. BCD-равносторонний, ).

Примерный тест для подготовки к ЕГЭ.

Вершины треугольника ABC лежат на окружности с центром O, угол BAC равен 80º, дуга AC равна 110º. Найдите величину угла BOA.

1) 90º 2) 45º 3)85º 4) 170º

Из круга диаметром 10 см вырезан сектор с дугой 36º. Найдите площадь оставшейся части круга.

1) 2,5π 2)22,5π 3) 90π 4) 10π

3. Найдите длину окружности, в которую вписан квадрат с площадью 4.

4. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу на отрезки 2 и 3. Найдите радиус окружности.

1) 0,5 2) 1 3)2 4) 3

5. В окружность с центром O и радиусом 3 вписан квадрат ABCD. Найдите площадь треугольника AMD, где M- середина OD.

1) 2,25 2) 2,5 3) 2,75 4) 3

6. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если радиус окружности, описанной около него, 2,5 , а площадь треугольника 6.

7. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке P. Отрезок AP на 3 см больше BP, CD=7см, CP=2см. Найдите длину отрезка AP.

8. Три окружности, радиусы которых 6 см, 2 см и 4 см, касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через центры данных окружностей.

6. Урок на тему «Площадь круга и его частей».

Цели урока: Ввести понятия круга, кругового сектора и кругового сегмента, учить распознавать и изображать эти фигуры, вывести формулы для нахождения площади этих фигур.

Оборудование : доска, мел, чертежные инструменты, карточки с дополнительными задачами.

Вступительное слово учителя, объявление темы и цели урока.
Актуализация опорных знаний.
Изучение нового материала
Закрепление изученного материала
Подведение итогов урока

1 Вступительное слово учителя.

Наиболее сложными задачами в курсе школьной геометрии, я считаю, являются задачи на нахождение каких-либо величин в шаре. Многие из них сводятся к задачам на тему окружность и круг. Не менее важным, чем нахождение длин отрезков и величин углов является нахождение площадей. В задания ЕГЭ входят задачи, решение которых потребует от вас знаний о том, что такое круг, как найти его площадь, что такое круговой сектор и круговой сегмент и как найти их площади. Узнать все это и является целью нашего сегодняшнего урока. Запишем в тетрадях тему «Площадь круга и его частей».

2 Актуализация опорных знаний.

Прежде, чем мы с вами определим новые понятия, давайте вспомним, что такое круг; какой круг называется вписанным в многоугольник и описанным около многоугольника; что такое дуга окружности; что такое центральный угол окружности.

3 Изучение нового материала

Докажем теорему о площади круга.

Теорема Площадь S круга радиусом R выражается формулой S= R .

Доказательство . Пусть F — круг радиусом R, a Q —описанный около него правильный n-угольник, Р — периметр, a S — площадь многоугольника Q. Тогда , откуда .

Когда число n не ограниченно возрастает (например, удваивается), величина Р сколь угодно мало отличается от длины L окружности данного круга, а площадь S сколь угодно мало отличается от S. Тогда число сколь угодно мало отличается от величины . С другой стороны, мы уже получили, что .Значит, числа и от-личаются сколь угодно мало. Это возможно лишь в том случае, когда эти числа равны, т.е. .

Отсюда и получаем, что .

А теперь дадим понятия кругового сектора и кругового сегмента.

Круговым сектором называется часть круга, заключенная внутри соответствующего центрального угла.

Круговым сегментом называется часть круга, отсекаемая от него хордой.

Так как площадь всего круга равна R , то площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 1º равна R /360. Поэтому площадь сектора, ограниченного дугой с градусной мерой α выражается формулой .

Чтобы вычислить площадь сегмента нужно из площади соответствующего сектора вычесть площадь треугольника, если α 180º.

4 Закрепление изученного материала

На мишени имеются четыре окружности с общим центром. Радиусы которых соответственно равны 1, 2, 3, 4. Найдите площадь наименьшего круга, а также площадь каждого из трех колец мишени.

Решение: площадь наименьшего круга =π

Площадь первого кольца =3 π

Площадь второго кольца = 5 π

Площадь третьего кольца =7 π

Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой в 60º. Найдите площадь оставшейся части круга.

Решение: Оставшийся сектор будет иметь дугу в 300º.

Дополнительные задачи с карточки (задачи взяты из примеров решения задач данной методической разработки); в классе решаются №1 и №3:

№1 Определить площадь сегмента, если его периметр равен p , а дуга равна (рис.9).

Решение : Пусть AB-хорда, ограничивающая сегмент, l- длина дуги AB.

, где R-радиус окружности. Из теоремы косинусов

Из (1) и (2) получаем , .

№2. На отрезке AB и на каждой его половине построены как на диаметрах полукруги (по одну сторону от AB). Считая радиус большого полукруга равным R, найти сумму площадей криволинейных треугольников, образовавшихся при построении круга, касательного к трем данным полукругам.

№3. Две окружности радиуса R пересекаются так, что каждая из них проходит через центр другой. Две другие окружности того же радиуса имеют центры в точках пересечения первых двух окружностей. Найти площадь, общую всем четырем кругам.(рис.11)

Решение : (т.к. BCD-равносторонний, ).

5 Подведение итогов урока

Итак, мы с вами сегодня изучили понятия круговой сектор и круговой сегмент, научились находить их площади и площадь круга. Домашнее задание №1128 из учебника и №2 из карточки.

В практике преподавания математики в средней школе понятие окружности и круга возникает неоднократно.

В 7 классе дети знакомятся с понятием окружности, ее элементами, учатся выполнять построения с помощью окружностей.

В 8 классе даются понятия касательной, хорды, их свойства в окружности, центральные и вписанные углы, вписанные и описанные окружности и т.д.

В 9 классе изучается длина окружности, площадь круга, круговые сегменты и секторы и др.

Но на этом изучение этих фигур не заканчивается. В 11 классе прослеживается тесная взаимосвязь окружности и круга с пространственными фигурами.

Кроме того, геометрические задачи на окружность и круг не редко присутствуют в заданиях ЕГЭ. Данный материал может служить пособием для подготовки к сдаче ЕГЭ, т.к. материал изложен достаточно кратко и четко и его изучение (повторение) не займет много времени.

Таким образом, поставленные и решенные задачи в данной методической разработке имеют большое значение при составлени промежуточного контроля и при подготовке к ЕГЭ.

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Методика изучения круга и окружности

При знакомстве учащихся с окружностью и кругом учащимся напоминают, что для вычерчивания отрезков пряных линий служит линейка, и рассказывают, что для вычерчивания окружности есть специальный инструмент — циркуль (сопровождается показом).

Другая ножка циркуля движется, и ее конец (мел, карандаш) вычерчивает линию. Эту линию называют окружностью. Очень важно сразу подчеркнуть, что окружность есть граница круга.

При этом уместно напомнить детям, что границей многоугольника является замкнутая ломаная линия.

Полезно показать учащимся, как можно вычертить окружность с помощью веревки, планки и т.п.

С целью уточнения знаний об окружности и круге полезно рассмотреть такие задачи и упражнения:

Проведите окружность и раскрасьте круг.
Назовите точки принадлежащие окружности и точки, не принадлежащие окружности.

Назовите точки:

принадлежащие кругу;
принадлежащие окружности;
не принадлежащие кругу;
принадлежащие кругу, но не принадлежащие окружности.

При выполнении упражнений полезно использовать различные определения окружности.

Окружность — граница круга.

Окружность —линия, вычерчиваемая с помощью циркуля.

Известно, что навык вычерчивания окружности формируется медленно и требует выполнения большого числа упражнений. Эти упражнения могут выполнятся и на уроках труда, ради, рисования, природоведения.

Например, соединив точки, лежащие на окружности, c центром и сравнив полученные отрезки, дети убеждаются в равенстве этих отрезков.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Методика изучения окружности в школьном курсе

Видео:7 класс, 21 урок, ОкружностьСкачать

—>Сайт учителя начальных классов Горскиной Тамары Васильевны —>

—>Приветствую Вас Гость

В какой мере Вы считаете себя подготовленным к тому, чтобы выполнять перечисленные ниже виды учебной деятельности? (Отметьте по одному варианту в каждой строке)

В какой мере Вы знакомы с каждой из перечисленных ниже педагогических технологий? (Отметьте по одному варианту в каждой строке)

—>

—> —>Меню сайта —>
—>

—> —>Категории раздела —>

—>

Математика [5]

Русский язык [3]

Литературное чтение [2]

Окружающий мир [1]

Технология [1]

—> —>Наш опрос —>
—> —>

Видео:Как найти центр круга с помощью подручных средств? ЛЕГКО.Скачать

Теория обучения

—> —>Статистика —>

МКОУ «Болоховская основная общеобразовательная школа № 2»

Формирование представлений об окружности и круге у младших школьников.

Учитель начальных классов Горскина Т.В.

Одной из основных задач изучения элементов геометрии в начальных классах является расширение и уточнение представлений учащихся о геометрических фигурах, развитие пространственного мышления и формирование практических навыков.

Ученики проявляют большой интерес к геометрическим фигурам и их свойствам, поэтому перечень геометрических понятий, с которыми знакомятся младшие школьники в программе про математике расширился. Например, в IIIклассе ученики знакомятся с понятиями круг и окружность. Знакомство с этими фигурами осуществляется на уровне представлений. Ученики должны научиться узнавать круг и окружность; знать, что окружность – это линия, являющаяся границей круга; уметь строить с помощью циркуля окружность; знать, что такое радиус окружности (круга). Для решения этих учебных задач используются различные практические упражнения. При их подборе, выборе методов и приемов работы с ними необходимо учитывать те подходы к определению окружности и круга, которые имеют место в школьном курсе геометрии.

В школьной трактовке окружность определяется разными способами:

а) окружностью называется замкнутая кривая линия, все точки которой равноудалены от определенной точки, находящейся внутри окружности;

б) окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

При знакомстве с окружностью в III классе лучше опираться на первое определение, используя метод практических работ в сочетании с беседой.

Покажем, как можно познакомить третьеклассников с понятием «окружность».

На доске нарисованы различные фигуры.

— Какие из нарисованных на доске фигур можно назвать линиями? (Все.) уточните, какие из линий являются ломаными, а какие кривыми? (Линии 2 и 4 – ломанные; линии 1, 3, 5, 6, 7, 8 и 9 –это кривые.) Распределите кривые линии на две группы: замкнутые и не замкнутые. Какие фигуры будут в первой группе, а какие во второй? (Замкнутые кривые – это линии 3, 6, 7 и 8; незамкнутые кривые линии – 5 и 9.) В фигурах 3, 6 и 8, которые являются замкнутыми кривыми линиями, расставлены точки. Можно ли утверждать, что расстояния от точки О до точек А, В, С и D в каждой фигуре одинаковые? (В фигуре 6 расстояние от точки О до точек А, В, С и D неодинаковые, а в фигурах 3 и 8 – одинаковые.)

К доске приглашаются три ученика. Они должны убедить класс в том, что расстояние от точки О до точек А, В, С и D в фигурах 3 и 8 одинаковое, а в фигуре 6 – разное. Ученики могут воспользоваться линейкой или циркулем.

Остальные ученики класса сравнивают фигуры 6 и 8. (Сходство: это замкнутые кривые линии; в центре каждой фигуры отмечена точка О; на фигурах отмечены точки А, В, С и D. Отличия: расстояние от точки О до точек А, В, С и D в фигуре 6 – разные, в фигуре 8 – одинаковые.)

— Как вы думаете, почему фигура 8 является окружностью, а фигура 6 не является? ( В фигуре 8 расстояния от точки О до точек А, В, С и D одинаковые, а в фигуре 6 – разные.) Назовите существенные признаки окружности. (Кривая замкнутая линия; расстояния от точки О, которая расположена в центре, до точек на окружности одинаковые. ) можно ил назвать окружностями фигуры 9, 5 и 7 ? (Нет. Фигуры 9 и 5 не являются замкнутыми кривыми, а фигура 7 не имеет центра.) Чем отличаются окружности 3 и 8? (Расстоянием от точки О до точек окружности.) Если мы отметим любую точку на окружности 8 и измерим расстояние от точки О (центра окружности) до данной точки, то будет ли оно таким же как и расстояние от точки О до точек А, В, С и D ? (Да.) Расстояние от центра окружности О до любой точки на окружности называется радиусом и обозначается латинской буквой R. Используя циркуль, постройте в тетрадях две окружности с одинаковым радиусом, равным два сантиметра.

Учитель предлагает учащимся закрасить ту часть тетради, которая ограничена первой окружностью. В это время учитель вывешивает на доске большой лист бумаги с таким же рисунком, как у учащихся.

— Как вы думаете, закрашенной фигуре принадлежат только точки окружности или ей принадлежат и другие точки? (Так как первая фигура закрашена, то ей принадлежат все точки окружности, а также точки, которые находятся внутри окружности.) Первая фигура называется круг. Послушайте стихотворение и постарайтесь разрешить возникающий спор между кругом и окружностью.

Встретились окружность с кругом.

Спорить стали вот о чем.

Кто главнее всех в округе?

Кто сначала, кто потом?

Круг сказал, что он главнее:

“Я большой и, посмотри,

Весь заполнен в середине,

Есть по краю и внутри”.

Тут воскликнула окружность:

“Жить не сможешь без меня!

Я ведь линия сплошная,

И граница я твоя!”

Долго спорили фигуры,

Кто из них кого главней,

И соседей опросили,

И знакомых, и друзей,

Но закончить этот спор

Не смогли и до сих пор.

В чью же пользу и без ссор

Разрешится этот спор?

Ученики высказывают свои мнения о том, кого они считают главнее.

Окружность и круг являются древнейшими геометрическими фигурами. Ученые придавали окружности большое значение, так как считали ее самой совершенной линией. Согласно Аристотелю, все планеты и звезды должны двигаться по окружности. Это ошибочное мнение было опровергнуто около 400 лет назад. Самым важным элементом окружности древние ученые считали радиус. Слово радиус в переводе с латинского обозначает луч. В древности не было этого термина, использовали слова прямая от центра. Ученые древности утверждали, что из данной точки данным радиусом можно описать окружность. А сколько окружностей можно описать из одной точки с разными радиусами? (Много.)

Очень важное значение при усвоении понятий окружность и круг имеют задания, направленные на воспроизведение знаний и их применение. На этом этапе репродуктивные задания нужно заменить на задания творческие. Ниже предлагаются несколько таких заданий.

Работа в парах. Ученики, сидящие за одной партой, составляют словесные портреты круга и окружности и читают их друг другу.

Сад «Окружностей и кругов». С помощью кругов и окружностей ученики должны нарисовать сказочный сад.

Геометрические орнаменты.

Продолжите орнаменты на всю ширину страницы.

Придумайте свои орнаменты, где бы использовались круги, окружности или части из них.

Составление загадок о круге, об окружности.

Математическое исследование.

Ученикам предлагается выступить в роли ученого – исследователя. Надо: а) соединить отрезком две точки окружности таким образом, чтобы данный отрезок проходил и через центр окружности; б) написать выражение, по которому можно найти длину этого отрезка, если известен радиус окружности.

После выполнения данного задания учитель сообщает, что отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр, называется диаметром окружности (круга).

Как чертили в старину. Ученикам предлагается представить себе, что они попали в прошлое и им нужно нарисовать окружность, при условии что циркуль еще не изобрели.
Разрежьте торт, верх которого имеет форму круга, на 4 равные части; на 8 равных частей.

Догадайся, как можно начертить две окружности, чтобы они:

а) не имели общих точек;

б) имели одну общую точку;

в) имели две общие точки.

Это задание можно предложить учащимся для групповой работы. Для ее проверки ученики получают листы со следующими рисунками:

Как могут располагаться относительно друг друга окружность и прямая? Начерти различные случаи. (Окружность и прямая могут: а) не иметь общих точек; б) иметь одну общую точку; в) иметь две общие точки.)

Видео:#165. КАК ПРАВИЛЬНО ИЗУЧАТЬ ГЕОМЕТРИЮСкачать

Федеральное агентство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

04.05.2015, 19:57

Вид материала

Документы

Видео:ТОП-3 конструкции с окружностями для №16 из ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

Содержание

1. Учебная и воспитательная цель.
2. Вопросы (задачи), подлежащие исследованию.
3. Краткие теоретические или справочно-информационные материалы.
4. Рекомендации студентам по подготовке к лабораторной работе с указанием литературы.
5. Оборудование и дидактические материалы.
6. Краткое содержание работы, выполняемой студентами в ходе занятия.
II Операционно-исполнительский этап.
Лабораторная работа №3
1. Учебная и воспитательная цель.
2. Вопросы (задачи), подлежащие исследованию.
3. Рекомендации студентам по подготовке к лабораторной работе с указанием литературы.
4. Оборудование и дидактические материалы.
5. Краткое содержание работы, выполняемой студентами в ходе занятия.
II Операционно-исполнительский этап.
IV Домашнее задание (самостоятельная работа студентов).
1. Учебная и воспитательная цель.
3. Рекомендации студентам по подготовке к лабораторной работе с указанием литературы.
4. Оборудование и дидактические материалы.
III Рефлексивно-оценочный этап.
Федеральное агентство по образованию
.
Полное содержание

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего, 409.09kb.
Федеральное агентство по образованию, 1104.6kb.
Министерство спорта, туризма и федеральное агентство по молодёжной политики РФ образованию, 2622.05kb.
Федеральное агентство воздушного транспорта федеральное государственное образовательное, 204.23kb.
«Основы финансовой математики», 846.63kb.
Федеральное агентство морского и речного транспорта РФ федеральное государственное, 2741.44kb.
Федеральное агентство по образованию, 1608.35kb.
Федеральное агентство по образованию федеральное государственное образовательное учреждение, 13.45kb.
Федеральное агентство по образованию федеральное государственное образовательное учреждение, 177.08kb.
Федеральное агентство по образованию, 47.63kb.

Тема: Изучение темы «Окружность» с использованием ЦОР
«Открытая математика.2.5. Планиметрия»

1. Учебная и воспитательная цель.

формирование навыков работы с обучающими программами;
создание условий для активной самостоятельной работы студентов;
развитие умений добывать необходимую информацию, перерабатывать ее и передавать в другой форме;
рассмотреть методику изучения темы «Окружность» с использованием НИТ и ЦОР
развитие умений организовывать исследовательскую работу учащихся средствами ЦОР «Открытая математика.2.6. Планиметрия»
формирование позитивной мотивации к использованию ЦОР в преподавании геометрии.

2. Вопросы (задачи), подлежащие исследованию.

Исследование дидактических и методических возможностей использования материалов ЦОР «Открытая математика.2.6. Планиметрия» при организации изучения темы «Окружность».
Содержательный анализ материалов ЦОР «Открытая математика.2.6. Планиметрия» по теме «Окружность».
Возможности организации исследовательской работы учащихся средствами ЦОР «Открытая математика.2.6. Планиметрия» по теме «Окружность».

3. Краткие теоретические или справочно-информационные материалы.

Обязательный минимум содержания основных образовательных программ.

Окружность и круг.

Центр, радиус, диаметр окружности и круга. Дуга, хорда. Сектор. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Касательная и секущая. Величина углов: центрального, вписанного, с вершиной внутри и вне окружности. Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника.

Правильные многоугольники. Вписанные и описанные многоугольники.

Длина окружности и длина дуги. Число π.

Требования к уровню подготовки выпускников основной школы

Применять полученные знания для вычисления величин углов, связанных с окружностью, длин отрезков хорд, секущих и касательных.

Проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования.

Место и время изучения темы «Окружность» в школьном курсе геометрии (по учебнику «Геометрия, 7-9» автора Атанасяна Л. С. и др.)

Тема «Окружность» (17ч)

Касательная к окружности (3ч). Центральные и вписаны углы (4ч). Четыре замечательные точки треугольника (3ч). Вписанная и описанная окружности (4ч). Решение задач (2ч) Контрольная работа (1ч).

Тема «Длина окружности и площадь круга»

4. Рекомендации студентам по подготовке к лабораторной работе с указанием литературы.

Место и время изучения темы «Окружность» в школьном курсе геометрии. Цели изучения темы. Требования к ЗУНам учащихся.

Провести сравнительный анализ содержания и методики изучения данной темы по различным учебникам школьного курса геометрии

Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах :Метод. Рекомендации к учебнику. :КН. Для учителя /Л. С. Атанасян и др.-6 изд. – М.: Просвещение, 2003.-255с.
И. Шарыгин 500 задач геометрического стандарта. // «Математика», приложение к г. «Первое сентября», 2003 № 38
Педагогические технологии :Учебное пособие/ Авт.-Сост. Т.П. Сальникова. – М.: ТЦ Сфера, 2005.-128с.
Зив Б. Г., Мейлер В. М. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 200. – 144с.
Ю. А. Глазков И.К. Варшавский. Тесты. Геометрия 8 класс. – М.: Центр тестирования МО РФ, 2001.-16с.
Учебник «Геометрия, 7–9», авторы Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кодомцев и др.
Учебник «Геометрия, 7-9», авторы Л. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик и др.
Учебник «Геометрия, 7-9», авторы И. М. Смирнова, В. А. Смирнов
Учебник «Геометрия, 7-9», автор И. Ф. Шарыгин

5. Оборудование и дидактические материалы.

ЦОР «Открытая математика.2.5. Планиметрия»;
Задания к изучаемым разделам компьютерной программы.

6. Краткое содержание работы, выполняемой студентами в ходе занятия.

I Ориентировочно-мотивационный этап.

Студентам сообщается тема, задачи занятия.

Место и время изучения темы «Окружность» в школьном курсе геометрии. Цели изучения темы.

II Операционно-исполнительский этап.

Задание1: Изучив материал программы, заполните таблицу

Краткая запись свойства

Чертеж

Доказательство

Для образца, с первым понятием и заполнением первой строки таблицы, проводится фронтальная работа:

Учитель сам формулирует определение угла, вписанного в окружность (или предлагает учащимся найти это определение в теоретическом материале ЦОРа)
Работа с моделью 6.1 «Углы, вписанные в окружность» (Демонстрация, исследование зависимости величины вписанного угла и дуги, на которую он опирается. Формулировка гипотезы (теоремы) об измерении вписанного угла. Уточнение формулировки этой теоремы)
Доказательство теоремы об измерении вписанного угла (используем чертеж 6.2.3). При возникновении затруднений обращаемся к доказательству соответствующей теоремы 6.1, предлагаемого в ЦОР.
Заполняем первую строку таблицы.

Работа в группах:

1 группа: «Угол между хордами» (Работа с моделью 6.2. «Хорды окружности»)

2 группа: «Угол касательной и хордой, проведенной в точку касания» (Работа с моделью 6.3. «Касательная и секущая»)

3 группа: «Угол между секущими» (Работа с моделью 6.3. «Касательная и секущая»)

Сформулируйте теорему об измерении соответствующего угла.
Докажите эту теорему (самостоятельно или используя теоретический материал ЦОР).
Заполните соответствующие строки таблицы.
Обращаясь к модели, проведите исследовательскую работу и выявите свойства отрезков хорд, секущих и касательных к окружности.

По окончании работы в группах, по желанию учащиеся воспроизводят заполненную таблицу, корректируют записи.

Задание 2: Студентам предлагается выполнить тест самопроверки из ЦОР «Открытая математика 2.5. Планиметрия» по теме «Окружность» с последующей коррекцией.

III Рефлексивно-оценочный этап.

Обсуждение возможностей данного ЦОР при изучении темы «Окружность». Выявление плюсов и минусов его использования.
Оценка предлагаемого теста самоконтроля, его заданий.
Рассмотреть различные варианты использования данного ЦОР при изучении темы «Окружность»

IV Домашнее задание (самостоятельная работа студентов).

Разработать и представить фрагмент учебного занятия по теме «Окружность» с использованием ЦОР «Открытая математика.2.5. Планиметрия»

Лабораторная работа №3

Продолжительность 2 часа

Тема: Обучение решению задач на уроках геометрии с применением компьютерных средств обучения.

(На примере темы «Векторы. Элементы аналитической геометрии»).

1. Учебная и воспитательная цель.

формирование навыков работы с обучающими программами;
создание условий для активной самостоятельной работы студентов;
развитие умений добывать необходимую информацию, перерабатывать ее и передавать в другой форме;
рассмотреть дидактические и методические возможности ЦОР «Открытая математика.2.6. Планиметрия» при обучении решению задач;
развитие методических умений студентов в области использования в преподавании НИТ и ЦОР
формирование позитивной мотивации к использованию ЦОР в преподавании геометрии.

2. Вопросы (задачи), подлежащие исследованию.

Исследование дидактических и методических возможностей использования материалов ЦОР «Открытая математика.2.6. Планиметрия» при обучении учащихся решать задачи.
Содержательный анализ материалов ЦОР «Открытая математика.2.6. Планиметрия» по теме «Векторы».
Возможности организации исследовательской работы учащихся средствами ЦОР «Открытая математика.2.6. Планиметрия» по теме «Окружность».

3. Рекомендации студентам по подготовке к лабораторной работе с указанием литературы.

Место и время изучения темы «Векторы» в школьном курсе геометрии. Цели изучения темы. Требования к ЗУНам учащихся.

Провести сравнительный анализ предлагаемых задач и упражнений по данной теме в основных школьных учебниках.

Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах :Метод. Рекомендации к учебнику. :КН. Для учителя /Л. С. Атанасян и др.-6 изд. – М.: Просвещение, 2003.-255с.
И. Шарыгин 500 задач геометрического стандарта. // «Математика», приложение к г. «Первое сентября», 2003 № 38
Педагогические технологии :Учебное пособие/ Авт.-Сост. Т.П. Сальникова. – М.: ТЦ Сфера, 2005.-128с
Зив Б. Г., Мейлер В. М. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 200. – 144с.
Ю. А. Глазков И.К. Варшавский. Тесты. Геометрия 8 класс. – М.: Центр тестирования МО РФ, 2001.-16с.
Учебник «Геометрия, 7–9», авторы Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кодомцев и др.
Учебник «Геометрия, 7-9», авторы Л. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик и др.
Учебник «Геометрия, 7-9», авторы И. М. Смирнова, В. А. Смирнов
Учебник «Геометрия, 7-9», автор И. Ф. Шарыгин

4. Оборудование и дидактические материалы.

ЦОР «Открытая математика.2.5. Планиметрия»;
Задания к изучаемым разделам компьютерной программы.

5. Краткое содержание работы, выполняемой студентами в ходе занятия.

I Ориентировочно-мотивационный этап.

Студентам сообщается тема, задачи занятия.

Место, время, требования к ЗУНам учащихся при изучении данной темы. Особенности изучения данной темы в школьном курсе геометрии.

II Операционно-исполнительский этап.

Задание1: Студентам предлагается рассмотреть материал ЦОР «Открытая математика.2.6. Планиметрия»; на предмет обучения учащихся умению решать задачи по данной теме.

Студентам необходимо обратить внимание на содержание следующих разделов ЦОР по данной теме:

содержание теоретического материала, необходимого для решения задач;
соответствие теоретического материала с соответствующим материалом школьного учебника;
какие типы задач и на развитие каких ЗУН ориентированы задания из разделов «Задачи с решениями», «Вопросы», «Задачи», «тест самопроверки»;
в какой мере рассматриваемые задачи охватывают весь класс задач по данной теме.

Задание 2: Разработать план-конспект урока решения задач (с использованием на уроке НИТ) по темам (по выбору студентов, работа выполняется группой студентов по 2-4 человека):

«Действия над векторами»;
«Скалярное произведение векторов»;
«Применение векторов к решению задач и доказательству теорем»;
«Уравнение прямой»;
«Уравнение окружности»;
«Смешанные задачи на уравнения прямой и окружности».

III Рефлексивно-оценочный этап.

Обсуждение возможностей данного ЦОР при обучении решению задач по теме «Векторы. Элементы аналитической геометрии»). Выявление плюсов и минусов его использования.
Обсуждение одного из разработанных планов-конспектов урока, с последующей рекомендательной корректировкой.

IV Домашнее задание (самостоятельная работа студентов).

Учитывая рекомендации, по разработанному плану-конспекту урока составить конспект урока по выбранной теме

Лабораторная работа №4

Продолжительность 2 часа

Тема: Изучение темы «Четырехугольники» с использованием ЦОР
«Открытая математика 2.6. Планиметрия»

1. Учебная и воспитательная цель.

формирование навыков работы с обучающими программами;
создание условий для активной самостоятельной работы студентов;
развитие умений добывать необходимую информацию, перерабатывать ее и передавать в другой форме;
рассмотреть дидактические и методические возможности ЦОР «Открытая математика.2.6. Планиметрия» при обучении решению задач;
развитие методических умений студентов в области использования в преподавании НИТ и ЦОР;
отработка методов, форм, способов организации учебных занятий различного типа.

Вопросы (задачи), подлежащие исследованию.

3. Рекомендации студентам по подготовке к лабораторной работе с указанием литературы.

Провести сравнительный анализ предлагаемых задач и упражнений по данной теме в основных школьных учебниках.

Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах :Метод. Рекомендации к учебнику. :КН. Для учителя /Л. С. Атанасян и др.-6 изд. – М.: Просвещение, 2003.-255с.

И. Шарыгин 500 задач геометрического стандарта. // «Математика», приложение к г. «Первое сентября», 2003 № 38
Педагогические технологии :Учебное пособие/ Авт.-Сост. Т.П. Сальникова. – М.: ТЦ Сфера, 2005.-128с
Зив Б. Г., Мейлер В. М. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 200. – 144с.
Ю. А. Глазков И.К. Варшавский. Тесты. Геометрия 8 класс. – М.: Центр тестирования МО РФ, 2001.-16с.
Учебник «Геометрия, 7–9», авторы Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кодомцев и др.
Учебник «Геометрия, 7-9», авторы Л. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик и др.
Учебник «Геометрия, 7-9», авторы И. М. Смирнова, В. А. Смирнов
Учебник «Геометрия, 7-9», автор И. Ф. Шарыгин

4. Оборудование и дидактические материалы.

5. Краткое содержание работы, выполняемой студентами в ходе занятия.

I Ориентировочно-мотивационный этап.

Студентам сообщается тема, задачи занятия.

II Операционно-исполнительский этап.

Каждому из студентов предлагается одна из ниже перечисленных тем:

«Четырехугольники»;
«Параллелограмм и его свойства»;
«Признаки параллелограмма»;
«Трапеция»;
«Прямоугольник»;
«Ромб»;
«Квадрат»;
«Вписанные четырехугольники»;
«Описанные четырехугольники».

По выбранной теме, используя ЦОР, ответить на вопросы:

в какой мере представленный в ЦОР теоретический материал соответствует материалу школьного учебника по данной теме;
в какой мере раскрывается объем изучаемого понятия;
в какой мере представлена наглядность у изучаемому материалу;
на каких этапах изучения данной темы, на ваш взгляд, наиболее эффективно использование данного ЦОР;
в чем вы видите преимущества использования данного ЦОР по сравнению с традиционным изложением материала;
оцените дидактические возможности предлагаемых задач к изучаемому материалу.

III Рефлексивно-оценочный этап.

Обсуждение ответов на вопросы

IV Домашнее задание (самостоятельная работа студентов).

Использовать результаты выполнения заданий лабораторной в разработке методического проекта. Подготовить презентацию выполненного методического проекта и его защиту.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КРАСНОЯРКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.В.П.АСТАФЬЕВА»

Кафедра геометрии и методики ее преподавания_________________________

Комплект учебно-методических материалов

к учебному модулю __«Использование ЦОР в преподавании
школьного курса планиметрии»

КВ3 «Формирование приемов поиска решения задач по геометрии»

032100.00 _Математика с дополнительной специальностью Информатика

(код ОКСО) (наименование)

Цель: Зафиксировать уровень сформированности основных компетенций студентов перед началом изучения модуля «Использование ЦОР в преподавании школьного курса планиметрии»

Продолжительность входного контроля – 40 мин

В ходе входного контроля вам следует ответить на вопросы анкеты.

Просим Вас дать полные, искренние ответы на вопросы анкеты. От точности ответов будет зависеть правильность последующих выводов и предложений.

Ваше согласие с предложенными вариантами ответов обозначаете, ставя знак «+» или «×» в соответствующую суждению клетки таблицы, или обводя кружком соответствующую суждению цифровую позицию. При ответах Вы можете выбирать одно или несколько (в зависимости от указаний в анкете) суждений, с которыми согласны.

Проверьте, что вы написали ваше имя и фамилию на каждом из использованных листов входного контроля. Если вы не сделаете этого, то вашу работу будет невозможно идентифицировать.

Как Вы считаете, что в первую очередь должна давать школа современному школьнику?

Прежде всего

В меньшей степени

Совсем нет

Затрудняюсь ответить

Прочные знания

Весомый культурный багаж

Развитие способностей

Готовность к поступлению в Вуз

Опыт социального взаимодействия и общения

Готовность к осознанному выбору профессии

Опыт общественной деятельности

Умение жить и действовать в современном мире

Умение ориентироваться в информационных ресурсах и использовать их в своей учебной и внеучебной деятельности

Что-то другое. (Напишите, что именно)

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В какой мере, по Вашему мнению, вы овладели основными профессиональными компетенциями? (Отметьте по одному варианту в каждой строке)

хорошо

средне

плохо

Затрудняюсь ответить

Знание преподаваемого предмета

Умение организовать деятельность учащихся по овладению знаниями, умениями и навыками в области преподаваемого предмета

Владение современными образовательными технологифми

Готовность и способность к личностному и профессиональному саморазвитию

Наличие такта, терпения и толерантности в отношении к учащимся, готовность принять и поддержать их

Понимание своеобразия и относительной автономности саморазвития учащегося, особенностей психологии каждого ребенка

Способность взаимодействовать с детьми, взрослыми, умение обеспечить внутригрупповое и межгрупповое общение, уладить конфликты в детском сообществе и др.

Знание и понимание особенностей современной общеобразовательной и профильной школы

Готовность к использованию информационных технологий в педагогической деятельности

хорошо

удовлетворительно

плохо

Затрудняюсь ответить

Планировать учебный материал

Определять учебные и воспитательные цели изучаемого материала

Рассказывать (объяснять) учебный материал

Вести эвристическую беседу с учащимися по новому материалу

Реализовывать межпредметные связи

Организовывать насыщенную работу учащихся на уроке

Вести опрос и оценивать ответы учащихся

Использовать в учебном процессе компьютерную технику

Использовать инновационные методы обучения

Формировать у учащихся умения самостоятельной учебной деятельности

Формировать интерес к своему предмету

Не знаком

Знаком в общих чертах

Знаком хорошо

Использовал в период педпрактики

Информационные технологии

Технологии развивающего обучения

Проектные технологии

Личностно-ориентированные технологии

Коллективный способ обучения

Другие (напишите) ____________________________________________________________________

В какой мере (по Вашему личному опыту), каждая из перечисленных ниже форм контроля выявляет уровень и полноту ваших знаний, умений и навыков? (Отметьте по одному варианту в каждой строке)

В значительной мереЛишь частичнонедостаточноЗатрудняюсь ответить1Зачеты

2Письменные контрольные работы

3Опросы

4Текущее тестирование по печатному материалу

5Текущее компьютерное тестирование

6Тестирование с целью выявления «остаточных знаний»

7Другие (напишите) ____________________________________________________________________

Как Вы считаете, существует ли в настоящее время необходимость в использовании НИТ в преподавании школьных предметов? (Напишите)

Как Вы считаете, использование НИТ в обучении в какой мере способствует: (отметьте по одному варианту в каждой строке)

значительно	средне	отрицательно	Затрудняюсь ответить
1	Повышению эффективности и качества процесса обучения
2	Развитию логического мышления учащихся
3	Развитию наглядно-образного и пространственного мышления учащихся
4	Развитию коммуникативных способностей учащихся
5	Развитию умений осуществлять исследовательскую деятельность
6	Формирование информационной культуры, умений осуществлять обработку информации
7	Активизации познавательной деятельности учащихся
8	Организации дифференцированного обучения
9	Организации индивидуального обучения
10	Развитию и углублению межпредметных связей
11	Повышению наглядности, визуализации процессов и объектов

В каких перечисленном ниже видах учебной деятельности наиболее целесообразным ,на Ваш взгляд, является применение возможностей ЦОР? (Отметьте один, или несколько вариантов ответов)

Актуализации знаний учащихся;
Обобщение и систематизация знаний;
Изучение нового материала;
Отработка навыков решения задач, применения знаний на практике;
Контроль знаний, умений и навыков;
Исследовательская работа;
Самостоятельное изучение материала;
Самоконтроль;
Самокоррекция;
Построение изображений, создание чертежей;
Выполнение заданий вычислительного характера.

Знакомы ли Вам программные продукты, которые могли бы быть использованы при обучении математике? (отметьте один вариант ответа)
1. Да, знакомо более трех таких ЦОР;
2. Знаю об их существовании, но не работал с ними, но есть такое желание;
3. Знаю об их существовании, но не работал с ними, и нет такого желания;
4. Затрудняюсь ответить
Знакомы ли Вам использования НИТ в практике преподавания геометрии? (отметьте один вариант ответа)
1. Да;
2. Нет.
Имеете ли Вы опыт использования НИТ в практике преподавания геометрии? (отметьте один вариант ответа)
1. Очень часто использую;
2. Небольшой;
3. Не имею;
4. Затрудняюсь ответить.
Если в Вашей практике имеется опыт использования НИТ в процессе преподавания, то в каком качестве вами были использованы материалы ЦОР? (Отметьте один, или несколько вариантов ответов)
1. Расширение знаний по справочному материалу ЦОР;
2. Организация контроля знаний учащихся;
3. Разработка дидактического материала к уроку;
4. Наглядный материал для демонстрации процессов и объеков;
5. Отбор материала для обеспечения содержания урока;
6. Составление индивидуальных программ обучения для каждого ученика;
7. Организация исследовательской работы учащихся.
В чем Вы видите преимущества использования НИТ и ЦОР в преподавании геометрии? (Напишите)

В чем Вы видите преимущества использования НИТ и ЦОР в преподавании геометрии? (Напишите) ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Есть ли у Вас потребность в повышении своей компетентности в области использования НИТ и ЦОР в преподавании геометрии? (Напишите) ________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Архивы заданий анкеты в электронном виде

Заведующий кафедрой __________________________ Ф.И.О.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КРАСНОЯРКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.В.П.АСТАФЬЕВА»

Кафедра _геометрии и методики ее преподавания_________________________

Комплект учебно-методических материалов

к учебному модулю: __«Использование ЦОР в преподавании школьного курса планиметрии»

КВ3 «Формирование приемов поиска решения задач по геометрии»

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ

032100.00 _Математика с дополнительной специальностью Информатика

(код ОКСО) (наименование)

I. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ, ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Рецензия цифрового образовательного ресурса (ЦОР)

Рекомендации по проведению работы.

Работа предназначена для развития умений студентов оценивать дидактические, методические, технические и эргономические качества ЦОР, что будет способствовать формированию и развитию осознанного выбора среди многообразия имеющегося программного продукта наиболее эффективных в решении определенного круга задач.

Работа проводится после проведения семинара по знакомству с возможностями ЦОР «Открытая математика 2.6. Планиметрия» ООО «Физикон».

Рецензия ЦОР проводится по следующей форме:

Оценка качества цифрового образовательного ресурса

1. К какому типу вы бы отнесли данный ресурс (возможно несколько вариантов ответов):

энциклопедия, словарь, справочное пособие;
электронное учебное пособие;
тестовая система;
электронное учебно-методическое пособие (помощь учителю);
тренажер и система контроля знаний;
административная система;
демонстрационно-иллюстративный материал;
электронная книга;
развлекательно-образовательный ресурс;
развивающая игра.

2. Соответствует ли содержание ресурса современным представлениям знаний по данному предмету:

3. Как бы вы оценили полноту охвата дисциплины, которой посвящен данный ресурс:

дисциплина представлена полно, детально освещены все вопросы дисциплины, изучаемые в школьном курсе;
представлена достаточно полно, рассмотрены вопросы по данной теме и более полно освещены основные из них;
рассмотрена поверхностно, не охвачены многие основные моменты.

4. Представлена ли создателями ресурса информация о его целевой аудитории (для кого предназначен ресурс):

указан уровень знаний, к котрому относится содержание ресурса (для начинающих, продолжающих, тех кто углубленно изучает тему, и т.п.);
указан возраст целевой аудитории (для учителей, студентов, детей, учеников 5-7 классов и т.п.);
такая информация не предоставлена.

5. Соответствует ли ресурс нуждам целевой аудитории:

да, полностью;
да, частично;
не соответствует.

6.Присутствуют ли следы небрежного отношения к ресурсу при его создании, например, синтаксические, орфографические и пунктуационные ошибки:

7. Приведена ли библиография для подтверждения достоверности информации:

8. Информация об авторе ресурса:

автор является признанным авторитетом в данной области;
автор ресурса является специалистом в данной области (учитель, преподаватель);
автор компетентен в данной теме, но не является педагогом;
автор – просто человек, интересующийся данной проблемой;
нет информации об авторах.

II. Представление учебной информации.

Наличие графики, анимации, элементов моделирования, наглядных изображений, примеров:
1. на данном ресурсе присутствует достаточное количество наглядных примеров, которые способствую разъяснению предложенного материала и наилучшему его усвоению;
2. на данном ресурсе слишком много графических, анимационных и т.п. элементов, отвлекающих и затрудняющих восприятие основной информации;
3. специфика ресурса не предусматривает наличия подобных элементов, примеров;
4. на ресурсе нет или недостаточно наглядных графический или других примеров, использование которых помогло бы получить более полное представление о данном материале.

Логика и доступность представления материала:

материал изложен четко, доступно, легко для понимания;
информация изложена слегка хаотично, но особых проблем с восприятием материала не возникает;
все изложено сумбурно, и понять то, что имел в виду автор, сложно.

Использованы ли какие-нибудь новые неординарные подходы к представлению темы:

да;
нет.

Можно ли применять данный ресурс на таких уроках, как:
1. урок-объяснение;
2. урок-закрепление;
3. тестирование и контроль знаний;
4. самостоятельное изучение материала на уроке;
5. самостоятельное изучение материала дома;
6. практикум, лабораторная работа;
7. творческая работа при осуществлении проекта;
8. факультатив, кружок или другие внеклассные мероприятия по предмету.

Ресурс помогает решать учебно-методическую задачу развития:
1. критического мышления;
2. навыков работы с большими объемами информации;
3. навыков самостоятельной работы с учебным материалом;
4. навыков работы в команде;
5. умения поставить задачу и решить ее;
6. навыков самоконтроля;
7. мотивации к учению;
8. другое __________________________________________________.

Можно ли рекомендовать данный ресурс для использования в школе или для самообучения:
1. да;
2. нет.

Наличие удобной организационной структуры (схемы):
1. удобная для работы с ресурсом структура;
2. неудобная структура, легко запутаться в том, что откуда следует.

Дизайн ресурса:

визуальный ряд перегружен эффектами, лишними элементами, которые мешают восприятию содержания;
умеренный дизайн, который своими эффектами перегруженностью визуального яда не отвлекает от содержания;
дизайнер с этим ресурсом не работал.

Выбор и организация графических компонентов ресурса преследуют:

эстетическую цель;
функциональную цель;
обе вышеупомянутые цели.

Следует ли ресурс общепринятым принципам, которые делают информацию доступной для визуального восприятия (сочетание цветов, размер шрифта и т.п.):

да;
нет.

Следует ли ресурс общепринятым принципам дизайна текста (подбор стиля заголовка, умеренное смешение стилей и размеров шрифта, использование только заглавных или только прописных букв и т.д.):

да;
нет.

Надежность всех ссылок:

все ссылки рабочие и ведут туда, куда указывает название или аннотация;
некоторые ссылки ведут на несуществующие страницы;
некоторые ссылки ведут не на те страницы, которые указаны в названии или аннотации к ссылке.

Поддерживается ли единый стиль и формат на всех страницах ресурса:

да;
нет.

Что создано на ресурсе для привлечения и поддержания внимания пользователей:

использование элементов интерактивности (возможность выбрать или ввести правильный ответ и тут же получить оценку);
обратная связь с авторами (создателями ресурса).

Удобство навигации, наличие возможности попасть с любой страницы ресурса на любой раздел, уровень, страницу:

такая возможность есть;
такая возможность отсутствует.

V. Технические характеристики ЦОР.

1. Требуется ли какое-то дополнительное программное обеспечение для работы с данным ресурсом или некоторыми его частями:

2. Предполагаются ли какие-либо повышенные системные требования для более эффективной работы с ресурсом:

Ваше обобщенное впечатление о ЦОР (его особенности, возможности применения в реальном учебном процессе).

Рекомендации по проведению теста.

Тест предназначен для фиксирования процесса развития ключевых компетенций студентов в процессе изучения содержания модуля «Использование ЦОР в преподавании школьного курса планиметрии»

Тест состоит из 2 частей.

1 часть состоит из заданий теста самопроверки ЦОР «Открытая математика 2.6. Планиметрия» ООО «Физикон».по теме «Площадь четырехугольника». Цель выполнение заданий этой части теста – диагностика предметной подготовки студентов по данной теме.

2 часть состоит из заданий, назначение которых – фиксирование методических умений студентов.

На выполнение теста рекомендуется выделить 80-90 мин.

Инструкция по выполнению теста.

Тест состоит из 2 частей

1 часть состоит из заданий теста самопроверки ЦОР «Открытая математика 2.6. Планиметрия» ООО «Физикон».по теме «Площадь четырехугольника». Эти задания оценивают ваше умение решать задачи по данной теме.

2 часть состоит из заданий, которые оценивают ваше умение использовать ЦОР «Открытая математика 2.6. Планиметрия» ООО «Физикон» в организации контроля знаний учащихся по теме «Площадь четырехугольника», а также исследование дополнительных возможностей использования задачного материала по этой теме в преподавании.

К каждому заданию предлагается несколько вариантов ответа, из которых верными могут быть один или несколько. Отметьте те варианты ответа, которые , на Ваш взгляд, наиболее полно и точно отвечают требованиям вопроса. Не спешите с выбором ответа, внимательнее вчитывайтесь в сущность предлагаемых вопросов. Не торопитесь перейти к следующему вопросы, поскольку вернуться к пропущенным заданиям нельзя.

По окончании выполнения теста подведите итог, посмотрите результат вашей работы.

Видео:Самая сложная планиметрия в ЕГЭ | Досрок ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Дипломная работа: Изучение метода координат в курсе геометрии основной школы

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

Изучение метода координат

в курсе геометрии основной школы

студентка V курса математического факультета

Гольцева Ольга Вячеславовна

кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ М.В. Крутихина

кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ И.В. Ситникова

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой М.В. Крутихина

«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина

Глава 1 Теоретические основы использования метода координат в основной школе. 5

1.1 Основные положения изучения метода координат в школе. 5

1.2 Анализ школьных учебников. 7

1.3 Суть метода координат. 11

Глава 2 Методические основы изучения метода координат. 14

2.1 Этапы решения задач методом координат. 14

2.2 Задачи, обучающие координатному методу. 15

2.3 Виды задач, решаемых координатным методом. 25

2.4 Опытное преподавание. 30

Библиографический список. 39

В геометрии применяются различные методы решения задач – это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, векторный, метод координат и другие. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический, а из других наиболее высокое положение занимает метод координат потому, что он тесно связан с алгеброй. Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений. Координатный метод этого не требует: решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи.

Можно с уверенностью говорить о том, что изучение данного метода является неотъемлемой частью школьного курса геометрии. Но нельзя забывать, что при решении задач координатным методом необходим навык алгебраических вычислений и не нужна высокая степень сообразительности, а это в свою очередь негативно сказывается на творческих способностях учащихся. Поэтому необходима методика изучения метода координат, позволяющая учащимся научиться решать разнообразные задачи координатным методом, однако не показывающая этот метод как основной для решения геометрических задач. Этим и определяется актуальность выбранной темы: «Изучение метода координат в школьном курсе геометрии основной школы».

Объект исследования данной работы – это процесс изучения учащимися геометрии.

Предметом исследования является изучение метода координат в курсе геометрии основной школы.

Цель работы – разработать методику изучения и использования метода координат в школьном курсе геометрии.

Гипотеза: изучение метода координат школе будет более эффективно, если:

— в 5-6 классе проведена пропедевтическая работа по формированию основных умений и навыков;

— в системном курсе планиметрии учащиеся знакомятся со структурой этого метода;

— используется продуманная система задач для формирования отдельных компонентов метода.

Предмет, цель и гипотеза исследования определяют следующие задачи:

1.Анализ вариантов изучения метода координат в некоторых из действующих учебников, а также содержание программы по математике по данной теме.

2.Описание метода координат и способов его применения на примере конкретных математических задач.

3.Выделение умений, необходимых для успешного овладения методом координат и подбор задач, формирующих данные умения.

Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения поставленных выше задач были использованы следующие методы:

·анализ программы по математики, учебных пособий, методических материалов, касающихся метода координат;

·наблюдение за ходом образовательного процесса, за деятельностью учащихся.

Основной опытной базой являлась средняя общеобразовательная школа №51.

Теоретические основы использования метода координат в основной школе

1.1 Основные положения изучения метода координат в школе

Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры — единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат.

Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.

Можно выделить следующие цели изучения метода координат в школьном курсе геометрии:

— дать учащимся эффективный метод решения задач и доказательства ряда теорем;

— показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии;

— способствовать развитию вычислительной и графической культуры учащихся.

В школе изучение координатного метода и обучение его применению для решения различных математических задач происходит в несколько этапов. На первом этапе вводится основной понятийный аппарат, который хорошо отрабатывается в 5-6 классах и систематизируется в курсе геометрии. В 5 классе учащиеся знакомятся с координатным лучом, который в последствии, при изучении отрицательных чисел, дополняется до координатной прямой. И уже после введения рациональных чисел в 6 классе учащиеся изучают координатную плоскость. На втором этапе ученики знакомятся с уравнениями прямой и окружности. Данные понятия изучаются ими как в алгебре, так и в геометрии с разной содержательной целью, поэтому учащиеся часто не видят связи между ними, а, значит, и плохо усваивают суть метода. Так, в курсе алгебры VII класса графики основных функций вводятся путем построения ряда точек, координаты которых вычисляются по аналитическому заданию функции. В курсе геометрии уравнение прямой и окружности вводится на основе геометрических характеристических свойств, как множество точек, обладающих определенным свойством (равноудаленности от 2 точек – для прямой, от одной точки – для окружности). Обучение применению самого метода координат для решения задач происходит в курсе геометрии 9 класса. Для этого сначала раскрываются основные этапы применения метода, а затем на примере ряда задач показывается непосредственное применение метода координат.

Но не следует принимать координатный метод за основной метод решения задач и доказательства теорем. Шарыгин И. Ф. в своей статье [19] говорит о вреде метода координат, как для сильных, так и для слабых учеников. Что касается слабых учеников, то «большей частью в этой группе находятся дети, которые плохо считают, с трудом понимают и запоминают формулы. Для этих детей Геометрия могла бы стать предметом, за счет которого они могли бы компенсировать недостатки общематематического развития. А вместо этого она ложится на них дополнительным грузом… Координатный метод оставляет в стороне геометрическую суть изучаемой геометрической ситуации. Воспитывается исполнитель, решающий заданную конкретную задачу. Не меньше, но и не больше. Не развивается геометрическая, и даже математическая интуиция, столь необходимая математику-исследователю», что в свою очередь составляет опасность для сильных учеников.

1.2 Анализ школьных учебников

Хорошо известно, что, как бы ни строился школьный курс геометрии, в нем обязательно присутствуют различные методы доказательства теорем и решения задач. Среди таких методов важное место занимают такие методы, как метод геометрических преобразований, метод координат, векторный метод. Сами эти методы тесно связаны между собой. В зависимости от концепции,раскрываемой авторами учебников геометрии для среднейшколы, тот или иной метод может занимать доминирующеезначение. Так в учебнике [22] активную роль играет метод координат, который весьма плодотворен.

В школьной программе по математике методу координат уделяется сравнительно мало внимания. В разделе «Цели изучения курса геометрии» говорится: «При доказательстве теорем и решении задач… применяются геометрические преобразования, векторы и координаты». Следовательно, программа не ставит целью изучение метода координат как метода решения задач. В программе говорится, что «в результате изучения курса геометрии учащиеся должны уметь использовать координаты для решения несложных стандартных задач». Ни слова не говориться об овладении учащимися методом координат для доказательства теорем и решении задач. Упор делается на «несложные стандартные задачи», тогда как метод координат лучше проявляет свои достоинства при решении нестандартных и довольно сложных (если не решать их другими способами) задач.

В соответствии с программой по математике для средней общеобразовательной школы координаты впервые появляются в 5 классе. При этом, ребята знакомятся с изображением чисел на прямой и координатами точек. Причем введение этих понятий в учебниках различно. Так в учебнике [3] в пятом параграфе первой главы рассматривается координатный луч, с его помощью в дальнейшем происходит сравнение натуральных и дробных чисел, а так же иллюстрация действий сложения и вычитания над натуральными числами. С понятием координатной прямой авторы учебника [4] знакомят учащихся в 6 классе. В учебнике же [6] нет определения «координатный луч». Авторы в начале 5 класса вводят понятие координатной прямой, хотя, до изучения отрицательных чисел, которое происходит в 6 классе, работа идет только с правой частью координатной прямой, представляющей собой координатный луч. Это не совсем удобно, так как могут возникнуть не нужные пока вопросы о другой части этой координатной прямой. В целом, учебники [3], [4] содержат больше заданий, связанных с определением координатного луча, (координатной прямой, а затем и координатной плоскости) и чаще обращаются к нему для введения других понятий или рассмотрения действий над числами, чем учебники [6], [7].

Согласно программе в геометрии координаты изучаются в следующем объеме: «Координатная плоскость. Формула расстояния между двумя точками плоскости с заданными координатами. Уравнение прямой и окружности».[24]

Так, в учебнике [2] координатам посвящена отдельная глава в 9 классе. Причем этот материал изучается после изучения темы «Векторы», но до изучения скалярного произведения векторов. На рассмотрение темы отводиться 18 часов. В данном учебнике метод координат выделен в отдельную главу, в которой изучаются координаты вектора, уравнение окружности и прямой, решаются простейшие задачи в координатах. В этой главе дается понятие метода координат как метода изучения геометрических фигур с помощью средств алгебры. Школьники учатся решать задачи путем введения системы координат. Автор ставит целью научить школьников владеть методом координат не только в применении к задачам на построение фигур по их уравнению, но и при решении задач на доказательство, а также для вывода геометрических формул.

В отличии от других школьных учебников по геометрии в учебнике [22] координаты заняли одно из центральных мест. Они вводятся начиная с 8 класса после изучения тем «Четырехугольники» и «ТеоремыПифагора». На изучение темы отводится 19 часов. Сразу, после рассмотрения основных понятии, связанных с введением координат на плоскости, уравнений окружности и прямой, с учащимися изучаются такие вопросы, как пересечение двух окружностей, пересечение прямой и окружности, определение синуса, косинуса и тангенсалюбого угла от 0° до 180°. Это и есть первые приложения метода координат, с которыми знакомятся учащиеся.

В курсе алгебры, исходя из уравнения y=f(x), где f(x) заданная функция, строили кривую, определяемую этим уравнением, т. е. строили график функции y=f(x) . Таким образом, шли как бы «от алгебры к геометрии». При изучении метода координат в геометрии мы выбираем обратный путь: исходя из геометрических свойств некоторых кривых, выводим их уравнение, т. е. идем как бы «от геометрии к алгебре». В 8 классе по учебнику [22] и в 9 по учебнику [2] рассматривается уравнение прямой и окружности. При этом обращается внимание на общее понятие «уравнение фигуры»: «Уравнением фигуры на плоскости в декартовых координатах называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие данному уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры»[22]. Уравнение фигуры на плоскости в общем виде можно записывать так: F(х,у)=0, где F(х,у) функция двух переменных х и у.

Учебник [28] реализует авторскую концепцию построения школьного курса геометрии, в нем больше внимания по сравнению с традиционными учебниками уделяется методам решения геометрических задач. Метод координат по данному учебнику является предпоследней темой 9 класса. При его изучении учащиеся знакомятся с декартовыми координатами на плоскости, рассматривают два уравнения «плоских линий: прямой и окружности», которые в дальнейшем будут необходимы при решении задач. В процессе этого отрабатываются некоторые умения, необходимые для решения задач координатным методом. Следует отметить, что в учебнике сравнительно небольшой теоретический материал по данной теме. Так, например, единственной доказанной формулой (причем только для одного случая когда х₁ ≠х₂ и у₁ ≠у₂ ), если не считать уравнений линий, является формула расстояния между точками. В отличие от учебников [22] и [2] формула середины отрезка в теоретическом материале не рассматривается, хотя в практических заданиях присутствует задача «Рассмотрим на координатной прямой точки А(-2,5) и В(4,3). Найти координаты точки М, если М – середина АВ», таким образом учащимся предлагается самим вывести формулу координат середины отрезка, рассматривая данный конкретный случай и используя понятия координат и формулу расстояния между точками.

Автор не предлагает учащимся как такового понятия фигуры, но подробно рассматривает уравнения «плоских линий», которые понадобятся учащимся при решении задач. Это уравнения окружности и прямой.

А после изучения векторов рассматривается параграф «Координатный метод», в котором на примере двух разобранных задач, в одной из которых рассматривается окружность Аполлония, а в другой обращается внимание на выбор системы координат, учащимся предлагается ряд задач, решаемых данным методом. Это довольно сложные задачи, в основном связанные с нахождением геометрического места точек.

Автор данного учебника признает, что «координатный метод является одним их самых универсальных методов», но отмечает, что «метода на все случаи жизни нет».

1.3 Суть метода координат

Немного из истории координатного метода.

В настоящее время уже очень большое числоспециалистов из разных областей науки имеют представление о прямоугольных декартовых координатах на плоскости, так как эти координаты дают возможность наглядно при помощи графика изобразить зависимость одной величины от другой. Название «декартовы координаты» наводит на ложную мысль о том, что эти координаты были открыты Декартом. В действительности прямоугольные координаты использовались в геометрии еще до нашей эры. Древний математик александрийской школы Аполлоний Пергский (живший в III-IIвеке до н. э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами. Он определял и изучал с их помощью хорошо известные в то время кривые: параболу, гиперболу и эллипс.

Аполлоний задавал их уравнениями: у 2 =рх (парабола)

(гипербола)

(эллипс, где р и q положительны)

Он, конечно, не выписывал уравнения в этой геометрической форме, так как в те времена не существовало еще алгебраической символики, а описывал уравнения, пользуясь геометрическими понятиями; у 2 в его терминологии есть площадь квадрата со стороной у; рх — площадь прямоугольника со сторонами р и х и т.д. С этими уравнениями связаны названия кривых. Парабола по-гречески обозначает равенство: квадрат имеет площадь у 2 равную площади рх прямоугольника. Гипербола по-гречески обозначает избыток: площадь квадрата у 2 превосходит площадь рх прямоугольника. Эллипс по-гречески обозначает недостаток: площадь квадрата меньше площади прямоугольника.

Декарт внес в прямоугольные координаты очень важное усовершенствование, введя правила выбора знаков. Но главное, пользуясь прямоугольными координатами, он построил аналитическую геометрию на плоскости, связав этим геометрию и алгебру. Нужно сказать, однако, что одновременно с Декартом построил аналитическую геометрию и другой французский математик, Ферма.

Значение аналитической геометрии состоит, прежде всего, в том, что она установила тесную связь между геометрией и алгеброй. Эти две ветви математики ко времени Декарта достигли уже высокой степени совершенства. Но развитие их в течение тысячелетий шло независимо друг от друга, и ко времени появления аналитической геометрии между ними намечалась лишь довольно слабая связь.

Координаты позволяют определять с помощью чисел положение любой точки пространства или плоскости. Этодает возможность «шифровать» различного рода фигуры,записывая их при помощи чисел. Соотношения между координатами чаще всего определяет не одну точку, а некоторое множество (совокупность) точек. Например, если отметить все точки, у которых абсцисса равна ординате, т. е. точки, координаты которых удовлетворяют уравнению х=у,то получится прямая линия — биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Иногда, вместо «множество точек», говорят «геометрическое место точек». Например, геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют соотношению х=у — это, как было сказано выше, биссектрисы первого и третьего координатного угла. Установление связей между алгеброй, с одной стороны, и геометрией — с другой, было по существу, революцией в математике. Оно восстановило математику как единую науку, в которой нет «китайской стены» между отдельными ее частями.

Суть метода координат

Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.

Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными.

В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат связан, правда, с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. И только достаточный опыт позволяет выбирать систему координат наиболее целесообразно.

Методические основы обучения координатному методу

2.1.Этапы решения задач методом координат

Чтобы решать задачи как алгебраические, так игеометрические методом координат необходимо выполнение3 этапов:

1) перевод задачи на координатный (аналитический) язык;

2)преобразование аналитического выражения;

3)обратный перевод, т. е. перевод с координатного языка на язык, в терминах которого сформулирована задача.

Для примера рассмотрим алгебраическую и геометрическую задачи и проиллюстрируем выполнение данных 3 этапов при их решении координатным методом.

№1. Сколько решений имеет система уравнений.

1 этап: на геометрическом языке в данной задачетребуется найти, сколько точек пересечения имеют фигуры,заданные данными уравнениями. Первое из них являетсяуравнением окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1, а второе — уравнением параболы.

2 этап: построение окружности и параболы; нахождение точек их пересечения.

3 этап: количество точек пересечения окружности и параболы является ответом на поставленный вопрос.

№2. Найдите множество точек, для каждой из которых расстояния от двух данных точек равны.

Обозначим данные точки через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат служила точка А Предположим далее, что АВ=а, тогда в выбранной системе координат А(0,0) и В(а,0). Точка М(х,у) принадлежит искомому множеству тогда и только тогда, когда АМ=МВ, или, что то же самое, АМ 2= МВ 2 . Используя формулу расстояния от одной точки координатной плоскости до другой, получаем АМ 2 = x 2 + y 2 , MB 2 =( x — a ) 2 + y 2 . Тогда х 2 +у 2 =(х-а) 2 + у 2

Равенство х 2 +у 2 =(х-а) 2 +у 2 и является алгебраической моделью ситуации, данной в задаче. На этом заканчивается первый этап ее решения (перевод задачи на координатный язык).

На втором этапе осуществляется преобразование полученного выражения, в результате которого получаемсоотношение .

На третьем этапе осуществляется перевод языка уравнения на геометрический язык. Полученное уравнение является уравнением прямой, параллельнойоси Оу и отстоящей от точки А на расстояние , т.е. серединного перпендикуляра к отрезку АВ.

2.2 Задачи, обучающие координатному методу

Для разработки методики формирования умения применятькоординатный метод важно выявить требования, которые предъявляет логическая структура решения задач мышлению решающего. Координатный метод предусматривает наличие у обучающихся умений и навыков, способствующих применению данного метода на практике. Проанализируем решение нескольких задач. В процессе этого анализа выделим умения, являющиеся компонентами умения использовать координатный метод при решении задач. Знание компонентов этого умения позволит осуществить его поэлементное формирование.

Задача №1 . В треугольнике ABC: AC=b, AB=c, ВС=а, BD -медиана.Докажите, что.

Выберем систему координат так, чтобы точка А служила началом координат, а осью Ох — прямая АС (рис. 2).

(умение оптимально выбирать систему координат, т. е. так, чтобы наиболее просто находить координаты данных точек).

В выбранной системе координат точки А, С и D имеютследующие координаты: А(0,0), D(,0) и С(b,0)

(умение вычислять координаты заданных точек). Обозначим координаты точки В через х и у. Тогда используя формулу для нахождения расстояний между двумя точками, заданными своими координатами, получаем:

(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами)

По той же формуле . (2)

Используя формулы (1) находим х и у.

; .

Далее, подставляя х и у в формулу (2), находим .

(умение выполнять преобразования алгебраических выражений)

Задача №2. Найти множество точек, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная.

Обозначим данные точки через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат служила точка А.

(умение оптимально выбирать систему координат).

Предположим АВ=а, тогда в выбранной системе координат А(0,0), В(а,0).

(умение находить координаты заданных точек)

Точка М(х,у) принадлежит искомому множеству тогда только тогда, когда AM 2 -MB 2 =b 2 где b- постоянная величина

(умение переводить геометрический язык на аналитический, составлять уравнения фигур).

Используя формулу расстояний между двумя точками, получаем:

, ,

(умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами),или .Данное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки А нарасстояние .

(умение видеть за уравнением конкретныйгеометрический образ)

Нетрудно видеть, что и для решения этой задачи необходимо овладение перечисленными выше умениями. Кроме того, для решения приведенной задачи, а также и других задач важно умение «видеть за уравнением» конкретный геометрический образ, котороеявляется обратным к умению составлять уравненияконкретных фигур.

Выделенные умения являются основой при решении иболее сложных задач.

Задача №3. В трапеции меньшая диагональ перпендикулярна основаниям. Найти большую диагональ, если сумма противоположных углов равна , а основания равны а и b.

Направим оси координат по меньшей диагонали и одному из оснований (рис. 3).

(умение оптимально выбирать систему координат).

Тогда точка А имеет координаты (0,0), точка В — (а,0), точка С — (0,c), точка D — (b,c).

(умение находить координаты заданных точек)

Пусть и острые углы в трапеции АВСD, тогда их сумма равна . Для вычисления длины большей диагонали BD надо найти значение с. Его можно вычислить 2 способами. Первый — из прямоугольного треугольника АВС по формуле находим . Второй способ из прямоугольного треугольника ACD: . Отсюда получили, что

(1)

Из равенства (1) находим отношение : оно равно —, так как . Выразим . Он равен , исходя из этого, пользуясь зависимостью (1), получаем .

(умение выразить недостающие координаты через уже известные величины)

Далее воспользовавшись координатной формулой расстояния между двумя точками, найдем длину BD.

(умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами)

Она равна .

Итак, компонентами умения применять координатный метод в конкретных ситуациях являются следующие умения:

1. переводить геометрический язык на аналитический для одного типа задач и с аналитического на геометрический для другого;

2. стоить точку по заданным координатам;

3. находить координаты заданных точек;

4. вычислять расстояние между точками, заданными координатами;

5. оптимально выбирать систему координат;

6. составлять уравнения заданных фигур;

7. видеть за уравнением конкретный геометрический образ;

8. выполнять преобразование алгебраических соотношений.

Данные умения можно отработать на примере следующих задач, формирующих координатный метод:

1) задачи на построение точки по ее координатам;

2) задачи на нахождение координат заданных точек;

3) задачи на вычисление расстояния между точками, заданными координатами;

4) задачи на оптимальный выбор системы координат;

5) задачи на составление уравнения фигуры по ее характеристическому свойству;

6) задачи на определение фигуры по ее уравнению;

7) задачи на преобразование алгебраических равенств;

Приведем примеры таких задач.

I . Построение точек на плоскости.

С координатной прямой, а затем и с координатной плоскостью учащиеся знакомятся в 5-6 классах при изучении математического материала. При этом удобно использовать мультимедийные презентации, которые позволяют в динамике излагать необходимый материал, использовать всевозможные иллюстрации и звуковые эффекты, тем самым, заинтересовывая учащихся и являясь хорошим наглядным средством. Одним из примеров является презентация «Метод координат», опирающаяся на учебник [7]. (см. приложение 1). Приведем несколько примеров задач, которые можно использовать при изучении координатной плоскости. Эти задачи могут быть использованы:

— для оттачивания навыков построения точек по их координатам со всем классом;

— для дополнительных заданий отстающим ученикам;

— для развития интереса к изучаемой теме.

1) На координатной плоскости постройте точки А(7,2), B(-2,1), C(0,2).

2) Отметьте на плоскости несколько точек. Начертите произвольную систему координат и найдите в ней координаты заданных точек.

3) Постройте фигуры по координатам их узловых точек. Указание: узловыми будем называть точки, служащие концами отрезков, образующих фигуры. Точки, координаты которых записаны подряд через запятую, соединяйте последовательно друг с другом. Если же координаты разделяются знаком «;», то соответствующие точки не следует соединять. Они нужны для изображения вспомогательных элементов.

А) Камбала (Рис. 4)

Б)Найдите координаты выделенных на рисунке точек, двигаясь по часовой стрелке от самой жирной точки. (Рис. 5 и 6)

II .Задачи на выбор системы координат

Выбор системы координат имеет очень важное значение при применении метода координат.

Для примера возьмем задачу, которая рассмотрена в учебнике [2] «Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин».

Первым шагом при применении метода координат является такой выбор осей и системы координат, при котором алгебраические выкладки становятся более простыми. Для данной задачи удачный выбор системы координат показан на рисунке 7. Таким образом, начало координат помещаем в точку А, а оси проводим через точки В и С так, чтобы эти точки лежали на положительных лучах осей. Следовательно, В(а,0) и С(0,b). Поэтому по формуле середины отрезкаD(). Теперь , .

Поэтому AD=BD. А так как по определению середины отрезка BC=CD, то теорема доказана.

Можно выбрать систему координат и по-другому (рис.8, рис.9). Если выбрать оси совсем случайно, то легкую задачу можно превратить в очень трудную. Чтобы начать доказательство исходя из рисунка 10, нужно найти способ, позволяющий выразить алгебраически, что треугольник ABC имеет при вершине А прямой угол. Сделать это можно, но будет это не очень просто.

Название: Изучение метода координат в курсе геометрии основной школы
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: дипломная работа Добавлен 06:34:14 11 декабря 2009 Похожие работы
Просмотров: 945 Комментариев: 24 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать

Методика изучения окружности и круга в школьном курсе планиметрии

Поэтому необходимо вырабатывать у учащихся, начиная с 6 класса, представления о возможности произвольного выбора системы координат. Эту работу целесообразно вести в процессе решения задач. В целях пропедевтической работы можно рекомендовать в 6 классе задачи из учебника на нахождение координат точек по рисунку, разнообразя их с помощью изменения направления осей и начала координат. (см. приложение1)

1. Длина отрезка АВ равна 5см. а)Выберитесистему координат, в которой можно было бынаиболее просто определить координаты концовотрезка. б)Выберите систему координат так,чтобы координаты концов отрезка были бы: А (-2.5,0), В(2.5,0).

2. Постройте квадрат ABCD со стороной 2 см; отметьте точку М- центр квадрата. Поместите начало координат последовательно в точки A, B, C, D и выберите направление осей координат так, чтобы точка М в каждой системе координат имела координаты (1;1). За единичный примите отрезок длиной 1 см.

3. Треугольник ABC равносторонний (длина стороныравна 6 см.). Выберите систему координат так,чтобы можно проще было бы определить координаты его вершин.

III . Расстояние между точками

1) Точка М(а,с) находится от начала координат и точкиА(4,0) соответственно на расстояниях 3 и 4 см.Определите координаты точки М.

2) Дан прямоугольник ABCD (АВ=2 см., ВС=4 см.). Каквыбрать систему координат, чтобы его вершины имеликоординаты А(-1,-2), В(-1,2), С(1,2), D(l,-2)?

3) Длины сторон треугольника ABC равны 3, 4 и 5 см. Выберете систему координат и определите в нейкоординаты вершин треугольника ABC.

4) Вершины четырехугольника ABCD имеют следующиекоординаты: А(-3,1), В(3,6), С(2,2) и D(-4,3).Установите вид четырехугольника.

IV. Составление уравнения фигур

Это умение является одним из основных умений, которые необходимы при применении метода координат к решению задач.

1) Изобразите систему координат. Отметьте на оси Охточки А и В. Запишите соотношения, которымудовлетворяют координаты точек, принадлежащих:а)отрезку АВ; б)лучу АВ; в)лучу ВА;

2) Запишите уравнение прямой, содержащей началокоординат и точку А(2,5).

3) Запишите уравнение прямой, содержащей точки А(2,7)и В(1,3).

4) Изобразите на координатной плоскости произвольнуюпрямую и найдите ее уравнение.

5) Запишите соотношения, которым удовлетворяю координаты точек прямоугольника с вершинами А(2,3),В(2,5), С(4,5), D(4,3).

6) Что представляют собой множества точек плоскости,координаты которых удовлетворяют неравенствам: а)х≤3; b)-5≤х≤0; c)x>1; d)x 2 +АР 2 не зависит от переменной b. Найдем АМ 2 и АР 2 используя формулу нахождения расстояния между двумя точками по их координатам: . Они соответственно равны и , а их сумма после приведения подобных равна 2а 2 +2. Это число не зависит от переменной b, что и требовалось доказать.

Пример 2. Доказать, что сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей. (Теорема Эйлера)

Решение: Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке 12.

Пусть точки А, В, С и D имеют координаты (0,0), (d,0), (c,d) и (0,d) соответственно. Следовательно, координаты точек L и P есть () и (). Найдем квадраты длин отрезков, с помощью формулы нахождения расстояния между точками по их координатам.

AD 2 =; BC 2 =; DC 2 =; AB 2 =;

AC 2 =; BD 2 =; LP 2 =.

Запишем выражение, которое необходимо доказать, используя найденные нами значения.

AD 2 +BC 2 +DC 2 +AB 2 =AC 2 +BD 2 +4LP 2

+++=++4

Раскроем скобки, приведем подобные и получим верное равенство 0=0. Значит, сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей.

Пример 3. Диаметры ABи CD окружности перпендикулярны. Хорда ЕА пересекает диаметр СD в точке К, хорда ЕС пересекает диаметр АВ в точке L. Докажите, что если СК:KD так же как 2:1, то AL:LB так же как 3:1.

Решение: Введем прямоугольную систему координат, направив оси по данным диаметрам ABи CD(рис. 13).

Радиус окружности будем считать равным 1. Тогда точки А, В, С, D будут иметь координаты (-1,0 ), (1,0 ), (0,-1 ), (0,1 ) соответственно. Так как СК:KD=2:1, то точка К имеет координаты (0 ,). Найдем координаты точки Е как точки пересечения прямой АК, имеющей уравнение и окружности, заданной уравнением . Получаем, что точка Е имеет координаты (). Точка L – это точка пересечения прямых СЕ и оси абсцисс, значит ординаты точки L равна 0.

Найдем абсциссу точки L. Прямая СЕ задана уравнением . Она пересекает ось Ох в точке (,0 ). Отсюда координаты точки L(,0 ). Найдем отношение AL:LB. Оно равно трем, что и требовалось доказать.

1. Доказать, что если в треугольнике две медианыконгруэнтны, то треугольник равнобедренный.

2. Найти множество таких точек Р, что отношениерасстояний от каждой из них до двух данных точекравно а.

3. Докажите, что уравнение окружности с центром в точкеС (а,с) и радиусом r имеет вид: (х-а) 2 +(у-с) 2 = r 2

4. Найти угол между прямыми Зх-4у+6=0 и 12х+5у+8=0

5. Определите расстояние от точки А(-3,4) до прямой у=х+2.

6. Вычислите площадь треугольника, вершины которого имеют следующие координаты: А (0,-2), В(6,2) и С(2,4) .

7. На прямой с даны три точки А, В, С так, что точка В лежит между точками А и С. В одной полуплоскости с границей а построены равносторонние треугольники АМВ и ВРС. Доказать, что середина отрезка РА, середина отрезка МС и точка В являются вершинами равностороннего треугольника.

8. Доказать, что для любой точки Р лежащей междувершинами В и треугольника ABC, справедливоравенство :

АВ 2 *РС+АС*ВР-АР 2 *ВС=ВС*ВР*РС.

9. Дан прямоугольник. Докажите, что сумма квадратоврасстояний от произвольной точки, принадлежащейплоскости этого прямоугольника до его вершин, в двараза больше суммы квадратов расстояний от этой точкидо сторон прямоугольника.

10.Доказать, что если через некоторую точку М провестипрямую, пересекающую окружность в точках А и В, топроизведение МА*МВ постоянно и не зависит отположения прямой.

11.Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М, длякоторых MA 2 +MC 2 =MB 2 +MD 2 . (ответ: множество точек Месть плоскость)

12.Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М, длякоторых MA+MC=MB+MD. (Ответ: пара прямых)

13.Дан прямоугольный треугольник ABC (ÐC=90°) . Найти множество точек Р, для которых 2РС 2 =РА 2 +РВ 2 . (ответ: множество точек Р есть прямая, содержащая середину М гипотенузы АВ и перпендикулярная к медиане СМ).

2. 4 Опытное преподавание

Опытное преподавание проводилось в 9 классе средней общеобразовательной школы №51. Перед его проведением была изучена математическая и методическая литература и разработана методика проведения факультатива. Было проведено 2 занятия. В данном классе изучение геометрии ведется по учебнику [2], поэтому в качестве основного теоретического и практического источника я выбрала данный методический комплект.

I. Занятия проводились по теме «Простейшие задачи в координатах», до ознакомления с которыми учащиеся изучали тему «Векторы», познакомились с понятием «координаты вектора», а также узнали формулу середины отрезка.

1 занятие : «Простейшие задачи в координатах»

Образовательная цель урока – рассмотреть задачи о вычислении длины вектора по его координатам и по координатам его начала и конца; показать, как они используются при решении других задач.

-Вначале урока был проведен устный счет для проверки усвоения материала, разобранного на прошлом уроке, а также для проведения пропедевтической работы по повторению тех понятий и фактов, которые будут использованы при объяснении нового материала.

1. Координаты точек А(-2, 3) и В(2, -4). Найдите координаты векторов и .

2. Координаты точек М(5,-8) и Р(-3, 4). Найдите координаты точки О (О – середина отрезка МР).

3. СР – диагональ окружности; С(-2, -1), Р(5, 7). Найдите координаты центра окружности – точки Е.

4. ABCD– прямоугольник, АD=7, АВ=5. Найдите АС.

1) Вычисление длины вектора по его координатам.

Вывод формулы опирается на теорему Пифагора и на то, что расстояние между двумя точками оси координат находится по формулам (для точек ; оси х) и (для точек ; оси у). Покажем, что длина вектора равна . Данная формула доказывается только для случая, когда х ≠0 и у ≠0, в достоверности других случаев учащимся предоставляется убедиться самостоятельно. Для доказательства задаем координатную плоскость и рассматриваем вектор с началом в начале координат (по теореме: от любой точки можно отложить вектор, равный данному и притом единственный). Используя формулу для нахождения координат вектора по координатам его начала и конца, можем найти координаты точки А. Далее с помощью теоремы Пифагора находим длину отрезка ОА=. следовательно, их длины раны, т.о. .

Далее показывается применение данной формулы.

2) Расстояние между двумя точками.

Нахождение данной формулы опирается на использование предыдущей. Пусть имеются точки М₁ (х₁ ,у₁ )и М₂ (х₂ ,у₂ ), необходимо найти расстояние между этими точками. Рассмотрим вектор М₁ М₂ . Его координаты равны . Находим длину вектора по его координатам: , а расстояние между М₁ и М₂ это длина вектора . После выведения данной формулы можно записать формулу и показать, что они эквивалентны.

— Закрепление: для закрепления используется ряд задач на применение данных формул.

1. Найдите длины векторов: а) ; b) [2: № 938]

2. Найдите медиану АМ треугольника АВС, вершины которого имеют координаты: А(0,1), В(1, -4), С(5,2). [2: № 942]

3. Вершина А параллелограмма ОАСВ лежит на положительной полуоси Ох, вершина В имеет координаты (b, c), а ОА=а. Найдите а)координаты вершины С; b)сторону АС и диагональ СО. [2: № 944].

— Домашнее задание № 939, 941 [2]

2 занятие: «Простейшие задачи в координатах». (урок – закрепление)

Общеобразовательная цель урока: показать, как «простейшие задачи» используются при решении более сложных и проверить усвоение знаний, полученных на прошлом уроке.

— В начале урока был проведен устный счет для проверки усвоения материала, разобранного на прошлом уроке.

Устный счет : записать координаты

●Середины отрезка ●Координаты вектора

· Длины вектора

· Расстояние между точками М и N.

1. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если А(0,1), В(1,-4), С(5,2).

2. Докажите, что четырехугольник MNPQявляется параллелограммом, и найдите его диагонали, если N(6,1), P(7,4), Q(2,4), М(1,1). [2: № 950(а)]

I. Вариант

1. Найдите координаты и длину вектора

, если

2. Даны координаты вершин треугольника АВС А(-6,1), В(2,4), С(2,-2). Докажите, что треугольник АВС равнобедренный и найдите высоту проведенную из вершины А.

Дополнительно для обоих вариантов: Даны координаты вершин треугольника АВС А(-4,3), В(2,7), С(8,-2). Доказать, что треугольник прямоугольный.

II. Вариант

1. Найдите координаты и длину вектора

, если

2. Дано А(-6,1), В(0,5), С(-6,4), Р(0,-8). Докажите, что АВСР прямоугольник и найдите координату точки пересечения его диагоналей.

-Домашнее задание №945, 948(а)

Для проведения факультатива предлагается ряд более сложных нестандартных задач, при решении которых используется метод координат.

Задача 1 . Два предприятия А и В производят продукцию с одной и той же ценой m за одно изделие. Однако автопарк,обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 р. на 1 км, а для предприятия В 20 р. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть расположен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными.

Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Систему координат выберем так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу через точку А. Пусть Р произвольная точка, s₁ и s₂ расстояния от точки до предприятий А и В (рис.17). Тогда А(0, 0), В(300, 0), Р(х, у).

При доставке груза из пункта А расходы равны m +10 s ₁ . При доставке груза из пункта В расходы равны m +20 s ₂ . Если для пункта Р выгоднее доставлять груз с предприятия А, то m +10 s ₁ 2 s ₂ .

Таким образом, границей области для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и В равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению

Выразим s₁ и 2s₂ через координаты:

, .

Имея в виду (1), получим .

Это и есть уравнение окружности. Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, — из пункта А.

Задача 2. На плоскости даны точки А и В; найти геометрическое место точек М, удаленных от А в двое больше, чем от В.

Выберем систему координат на плоскости так, чтобы начало координат попало в точку А, а положительная полуось абсцисс пошла по АВ. За единицу масштаба возьмем отрезок АВ. Точка А будет иметь координаты (0,0), точка В координаты (1,0). Координаты точки М обозначим через (х,у). Условие записывается в координатах так:

Мы получили уравнение искомого геометрического места точек. Чтобы понять, какое множество описывается этим уравнением, мы преобразуем его так, чтобы оно приняло знакомый нам вид. Возведя обе засти в квадрат, раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем равенство:Зх 2 -8х+4+Зу 2 =0.

Это равенство можно переписать так:

или так: . Это уравнение окружности с центром в точке (,0) и радиусом, равным . Это значит, что наше геометрическое место точек является окружностью.

Задача 3.Дан треугольник ABC; найти центр окружности, описанной около этого треугольника.

Примем точку А за начало координат, ось абсцисс направим от А к В. Тогда точка В будет иметь координаты (с,0), где с — длинна отрезка АВ. Пусть точка С имеет координаты (q,h), а центр искомой окружности — (а,b). Радиус этой окружности обозначим через R. Запишем в координатах принадлежность точек А(0,0), В(с,0) и C(q,h) искомой окружности:

Каждое из этих условий выражает тот факт, что расстояние точек А(0,0), В(с,0), C(q,h) от центра окружности (а,b) равно радиусу. Эти условия легко получить, если записать уравнение искомой окружности (окружности с центром (а,b) и радиусом R), т. е.(x-a) 2 +(y-b) 2 =R 2 ,а затем в это уравнение вместо х и у подставить координаты точек А, В и С, лежащих на этой окружности. Эта система трех уравнений с тремя неизвестными легко решается, и мы получаем:

, ,

Задача решена, так как мы нашли координаты центра и радиус. Причем следует заметить, что мы при решении задачи не прибегали к построению чертежа.

1. Лестница, стоящая на гладком полу у стены соскальзывает вниз. По какой линии движется котенок, сидящий на середине лестницы?

2. В квадрат вписана окружность. Доказать, что суммаквадратов расстояний любой точки окружности до сторонквадрата постоянна.

Краткий анализ проведенных занятий : Учащиеся на уроках активно принимали участие, особенно на первом при выводе формул, так как материал не сложный и использует факты и понятия, которые были изучены не так давно и повторены на устном счете. Также на 1 уроке удалось прорешать все запланированные задачи на закрепление, особую трудность вызвала задача № 3, в которой учащиеся долго не могли сделать чертеж и путались в формулах нахождения длины и координат вектора. Проведенная на следующем уроке самостоятельная работа показала, что практически все ученики усвоили материал (с работой не справились 2 человека из 26 учеников этого класса). Наибольшее количество ошибок было сделано в задаче № 2, при использовании формулы нахождения расстояния между 2 точками. Таким образом, можно предположить, что тема «Простейшие задачи в координатах» была успешно усвоена большинством учеников данного класса.

Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач, что помогает им при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях.

В данной дипломной работе:

o проанализировано несколько действующих школьных учебников относительно темы «Метод координат»;

o описан сам метод координат, виды и этапы решения задач методом координат;

o выделены основные умения, необходимые для овладения данным методом и приведен ряд задач, формирующих их.

Также было проведено опытное преподавание, которое подтвердило гипотезу о том, что изучение метода координат в школьном курсе геометрии необходимо. Оно будет более эффективно, если в 5-6 классе проведена пропедевтическая работа по формированию основных умений и навыков, в системном курсе планиметрии учащиеся знакомятся со структурой данного метода, и используется продуманная система задач для формирования отдельных компонентов метода.

1. Автономова, Т. В. Основные понятия и методы школьного курса геометрии: Книга для учителя [Текст]/ Б. И. Аргунов – М. Просвещение, 1988г. – 127с.

2. Атанасян, Л. С. Геометрия для 7-9 классов средней школы [Текст] / В. Ф. Бутузов, С. Д. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина – М. Просвещение, 1992г.- 335с.

3. Виленкин, Н. Я. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк. [Текст]/ А. С. Чесноков, С. И Шварцбурд.- М. Просвещение, 1989г. – 304с.

4. Виленкин, Н. Я. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И Шварцбурд. – М. Мнемозина, 2001г. – 304с.

5. Гельфанд, И. М. Метод координат [Текст]- М. Наука, 1973г. -87с.

6. Дорофеев, Г. В. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова – М. Просвещение, 2000г. – 368с.

7. Дорофеев, Г. В. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова – М. Дрофа, 1998г. – 416с.

8. Изучение координат в III – IV кл. / Л. Г. Петерсон // Математика в школе — 1983г.- №4

9. Индивидуальные карточки по геометрии для 7-9 кл. / Т. М. Мищенко // Математика в школе – 2001г. — № 8

10. Итоги работы в 7 кл. по учебнику Шарыгина И. Ф. 7-9 / О.В. Бощенко // Математика в школе — 2002г. №5

11. К изучению перемещений на координатной плоскости / Г.Б. Лудина // Математика в школе – 1983г.- №2

12. К началу обучения геометрии 1-7 кл. // Математика в школе 1983г. — №6

13. Лускина М. Г. Факультативные занятия по математике в школе: Методические рекомендации [Текст]/ В. И. Зубарева – Киров ВГПУ, 1995г.

14. Лященко, Е. И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов [Текст] / К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко – М. Просвещение, 1988г. – 233с.

15. Метод координат / А. Савин // Квант -1977г. — №9

16. Мишин, В. И. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. [Текст] / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев – М. Просвещение 1987г. – 416с.

17. Никольская, И. Л. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 кл. ср. шк. [Текст] – М. Просвещение, 1991г. – 383с.

18. Новые компьютерные технологии. Координатная плоскость // Математика — Приложение к газ. «Первое сентября» – 2004г. №29

19. Нужна ли школе XXI века геометрия /И. Шарыгин // Математика — Приложение к газ. «1 сентября» – 2004г. №12

20. О конкретном учебнике геометрии для 7-9 кл. / Л.С. Атанасян // Математика в школе – 1989г. — №1

21. Обсуждение одного учебника / И.Е Феоктистов // Математика в школе -2001г. №5

22. Погорелов, А. В. Геометрия для 7-11 классовсредней школы — М: Просвещение, 1990г. — 384с.

23. Понтрягин, Л. С. Знакомство с высшей математикой. Метод координат [Текст] – М. Наука, 1987г. – 128с.

24. Программа по математике для средней школы — М. Просвещение, 1998г. -205с.

25. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике [Текст] – М. Просвещение, 1995г. – 240с.

26. Сикорский, К. П. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7-8 классов [Текст] – М. Просвещение, 1974г.- 315с.

27. Упражнения по теме «Координатная плоскость» / О.А. Леонова // Математика в школе – 2001г. — №10

28. Шарыгин, И. Ф. Геометрия 7-9 кл.: Учеб для общеоразоват. учеб. заведений [Текст] – М. Дрофа, 2000г. -368с.