Метод крылова собственные значения и собственные векторы

МЕТОД А.Н. КРЫЛОВА

Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Собственные векторы и собственные значения матрицы

Отыскание собственных значений матрицы

Академик А.Н.Крылов в 1931 году одним из первых предложил довольно удобный метод раскрытия определителя (2).

Суть метода А.Н.Крылова состоит в преобразовании определителя D() к виду

Равенство нулю определителя D() есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы однородная система линейных алгебраических уравнений

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

имела решение х1, х2, …, хn, отличное от нулевого.

Преобразуем систему (2) следующим образом. Умножим первое уравнение на и заменим x1, …,xn их выражениями (2) через x1,…, xn.

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

Умножим далее уравнение (3) на и заменим снова x1, …,xn их выражениями через x1,…, xn. Получим

Повторяя этот процесс (n-1) раз, мы перейдем от системы (2) к системе

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

коэффициенты которой будут определятся по рекуррентным формулам

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

Очевидно, что определитель системы (5) будет иметь вид (1).

Система линейных алгебраических уравнений (5) имеет ненулевое решение для всех значений , удовлетворяющих уравнению D()=0. Таким образом, D1()=0 при всех , удовлетворяющих уравнению D()=0.

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

Пусть все корни D() различны. Так как все корни D() являются корнями D1(), то D1() делится на D(). Так как, кроме того, степени D1() и D() одинаковы, то частное должно быть постоянным. Сравнивая коэффициенты при n, получим

В случае, если D() имеет кратные корни, равенство (8) сохраняется.

Рассмотрим теперь коэффициенты bik, определяющие D1(). Введем в рассмотрение векторы Bi с компонентами bi1, bi2, …, bin. Равенства

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

показывают, что Bi=ABi-1, где A — матрица, транспонированная к данной. Из этого следует, что

Bi=A i-1B1, B1=AB0, (9)

Если С0, то уравнения D1()=0 и D()=0 эквивалентны. Если же С=0, то это преобразование ничего не дает. А.Н.Крылов предлагает в этом случае особый прием, рассмотренный ниже. Возьмем в качестве вектора В0 произвольный вектор В0=(bi1,bi2,…,bin) и получим с его помощью по формулам (9) векторы Вi.

Пусть u=b01x1+b02x2+…+b0nxn (10)

где x1,x2,…xn — решения системы (1/). Тогда повторяя прежние рассуждения, получим:

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

Решая эту систему как систему линейных однородных уравнений с n+1 неизвестными u,x1,x2,…xn, получим, что ненулевое решение возможно в том и только в том случае, когда

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

Повторяя прежние рассуждения, найдем, что

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

если С10, то коэффициенты рi характеристического многочлена определяются как отношения где Di — алгебраические дополнения элементов n-i в определителе D().

Но сущность метода Крылова и состоит в том, чтобы находить эти коэффициенты, не подсчитывая миноры.

Воспользуемся теоремой Гамильтона — Кэли о том, что матрица является корнем своего характеристического уравнения, т.е.

где рi — коэффициенты характеристического многочлена.

Умножая равенство (14) на b0, получим:

Это векторное равенство дает систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов характеристического многочлена. Определитель этой системы равен С1. Решать полученную систему можно любым из известных методов, например, методом Гаусса.

Можно было бы применить теорему Гамильтона — Кэли и для самой матрицы А, получили бы тогда систему

здесь ci=Aic0, c0

— произвольный начальный вектор.

Пример. Пусть матрица A имеет вид:

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

в качестве вектора В0 возьмем вектор В0=(1,0,0,0). Тогда получим векторы

В1=АВ0, В2=А2В0= АВ1, В3=А3В0=АВ2, В4=А4В0=АВ3:

Система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов характеристического многочлена имеет вид:

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

Решив эту систему, получим: р1=-11, р2=7, р3=72, р4=-93. Поэтому характеристический многочлен примет вид:

D()= 4 -113 + 72 +72 -93.

В приведенном примере С10.

В случае, если С=0, такая система не даст возможности определить коэффициенты характеристического уравнения. Матрица А и транспонированная к ней матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению D(A)=0. Но может оказаться, что существуют многочлены () степени меньше n, для которых также выполняется равенство (А)=(А)=0. Среди таких многочленов имеется единственный многочлен со старшим коэффициентом 1, имеющим наименьшую степень. Этот многочлен называется минимальным. Если минимальный многочлен матрицы не совпадает с характеристическим, то С=0 при любом выборе начального вектора. В этом случае АС0=0 и векторы С0, АС0, …,Аn-1C0 линейно зависимы.

На практике при использовании метода Крылова такая ситуация может возникнуть лишь при особых обстоятельствах.

Можно подсчитать, что при раскрытии характеристического многочлена матрицы с помощью метода Крылова потребуется 0,5(2п3+п2+п) операций умножения и деления.

Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)

Задания лабораторной работы №3

Лабораторная работа №3

«Нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы»

1. Метод Крылова. Собственные числа матрицы А определяют путём решения характеристического уравнения, приведённого к виду

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

Значение Метод крылова собственные значения и собственные векторыявляются решениями системы, полученной из векторного равенства

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

где Метод крылова собственные значения и собственные векторы– начальный вектор (произвольный), Метод крылова собственные значения и собственные векторы. Решая эту систему, например при помощи метода Гаусса, находят Метод крылова собственные значения и собственные векторы.

Собственные векторы матрицы А определяют из соотношения

Метод крылова собственные значения и собственные векторы(i=1,2,…,n)

где Метод крылова собственные значения и собственные векторы– коэффициенты частного, полученного при делении Метод крылова собственные значения и собственные векторына Метод крылова собственные значения и собственные векторы.

Пример решения задачи методом Крылова

A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

1. Для определения коэффициентов характеристического уравнения

строим последовательность векторов:

Если векторы В0, В1, В2, В3 окажутся линейно независимыми, то коэффициенты p1, p2, p3, p4 определяются из решения системы линейных уравнений, соответствующей равенству

Систему линейных уравнений решаем средствами Excel или MathCAD, можно воспользоваться также программной реализацией метода Гаусса из лабораторной работы №1.

АВ0В1В2В3В4
2,20,52,210,0952,373291,0006
1,36,541,84239,605
0,50,51,60,56,5537,64220,7825
1,610,2057,56321,930

Таким образом, характеристическое уравнение матрицы имеет вид

Метод крылова собственные значения и собственные векторы. (*)

2. Определение собственных чисел матрицы состоит в решении полученного характеристического уравнения (*), например, средствами Excel или MathCAD, можно использовать программную реализацию одного из методов лабораторной работы №2.

Собственные числа матрицы А таковы:

3. Собственный вектор Xi, соответствующий собственному числу li , определяется по формуле

где коэффициенты при ранее найденных векторах В0, В1, В2, В3 находятся из равенства

Метод крылова собственные значения и собственные векторы= bi0l 3 + bi1l 2 + bi2 + bi3.

Окончательные значения собственных векторов должны иметь кубическую норму, равную единице. Для того, чтобы собственный вектор имел кубическую норму, равную единице, нужно разделить все компоненты вектора на максимальную по модулю компоненту.

Все вычисления приведены в таблице 2.

libi3B0bi2B1bi1B2bi0B3Xi Метод крылова собственные значения и собственные векторы
5,6520,4877–4,7672 –2,1669 –1,0334 –4,3338–3,5113 –2,2620 –2,2794 –3,549652,373 41,84 37,64 57,5644,5822 37,4111 34,2772 49,67660,879 0,753 0,690 1,0
1,5451,7918–15,5826 –7,08298 –3,5415 –14,1660–44,9510 –28,9575 –29,1802 –45,441052,373 41,84 37,64 57,56–6,3688 5,7995 4,9183 –2,0470–0,911 –0,772 0,321
–1,420–1,942722,7400 10,3364 5,1682 20,6728–74,8678 –48,2300 –48,6010 –75,684052,373 41,84 37,64 57,56–1,6975 3,9464 –5,7928 2,54880,293 –0,681 –0,440
0,222612,4042–5,2692 –1,4860 –0,7430 –2,9720–58,2940 –37,5531 –37,8420 –58,929552,373 41,84 37,64 57,563,2140 2,8009 –0,9450 –4,3415–0,740 –0,645 –0,218

2. Метод Данилевского. Для определения коэффициентов характеристического уравнения матрицу A с помощью n-1 преобразований подобия заменяют подобной ей матрицей Фробениуса

P= Метод крылова собственные значения и собственные векторы

На первом этапе находят:

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

где Метод крылова собственные значения и собственные векторыМетод крылова собственные значения и собственные векторы

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

где Метод крылова собственные значения и собственные векторыМетод крылова собственные значения и собственные векторы

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

Метод крылова собственные значения и собственные векторы(матрица С подобна матрице А);

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

где Метод крылова собственные значения и собственные векторы

Пример решения задачи методом Данилевского

A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

1. Коэффициенты характеристического уравнения матрицы А определяются как элементы первой строки матрицы Фробениуса Р, подобной данной матрице А. Матрицу Р найдем в результате трех преобразований подобия:

Округляя значения коэффициентов до четырех десятичных знаков, получим характеристическое уравнение

l 4 – 6l 3 – 0,2l 2 + 12,735l – 2,7616 = 0.

Это уравнение решаем средствами Excel или MathCAD, можно использовать программную реализацию одного из методов лабораторной работы №2. Корни уравнения таковы:

2. Собственный вектор Xi , соответствующий собственному числу li , определяется равенством

Xi = М3 ×М2× М1×Yi, где Yi = Метод крылова собственные значения и собственные векторы.

Результаты вычисления собственных векторов приведены в таблице 3.

liM1M2M3YiXi Метод крылова собственные значения и собственные векторы
5,652–0,231125 1,078582 1,651001 1,158706–0,351515 0,242424 –1,060606 –0,681212–1,25 –0,625 0,625 –1,25180,5537 31,9451 5,6520,8977 0,7529 0,68980,898 0,753 0,690
1,545–0,231125 1,078582 1,651001 –1,158706–0,351515 0,242424 –1,060606 –0,681212–1,25 –0,625 0,625 –1,253,6880 2,3870 1,5453,1143 –2,8359 –2,4048–0,911 –0,772 –0,440
0,2226–0,231125 1,078582 1,651001 –1,158706–0,351515 0,242424 –1,060606 –0,681212–1,25 –0,625 0,625 –1,250,01103 0,4955 0,2226–0,7403 –0,6451 0,2177–0,740 –0,645 0,218
–1,420–0,231125 1,078582 1,651001 –1,158706–0,351515 0,242424 –1,060606 –0,681212–1,25 –0,625 0,625 –1,25–2,8633 2,0164 –1,420–0,6665 1,5480 –2,27190,293 –0,681 –0,440

3. Метод итераций для определения первого собственного значения и соответствующего ему собственного вектора матрицы А. Строят последовательность векторов: Метод крылова собственные значения и собственные векторы– произвольный вектор, Метод крылова собственные значения и собственные векторы. Тогда

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

где Метод крылова собственные значения и собственные векторыи Метод крылова собственные значения и собственные векторы– одноименные координаты двух последовательных векторов;

При этом собственный вектор Метод крылова собственные значения и собственные векторы.

Пример решения задачи методом итераций

1. Строим последовательность векторов Метод крылова собственные значения и собственные векторы, где Метод крылова собственные значения и собственные векторы— произвольный вектор; тогда Метод крылова собственные значения и собственные векторы, где Метод крылова собственные значения и собственные векторыи Метод крылова собственные значения и собственные векторы– одноименные координаты двух последовательных векторов.

Все вычисления приведены в таблице 4.

Таблица 4

1,62,31,2
A2,30,61,5 Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы
1,21,53,8
Метод крылова собственные значения и собственные векторы
Метод крылова собственные значения и собственные векторы5,14,46,55,115,485,76
Метод крылова собственные значения и собственные векторы26,0824,1237,425,455,415,60
Метод крылова собственные значения и собственные векторы142,108130,586209,6725,4845,5115,548
Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы5,51515,51485,5321
Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы5,52055,52255,5267
Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы5,52335,52355,5251
Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы5,52405,52415,5246
Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы5,52425,52435,5244
Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы5,52435,52435,5244
Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы5,52435,52435,5243
Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы Метод крылова собственные значения и собственные векторы

Итак, Метод крылова собственные значения и собственные векторы.

2. Собственный вектор Метод крылова собственные значения и собственные векторыопределяется из равенства Метод крылова собственные значения и собственные векторы. Следовательно, Метод крылова собственные значения и собственные векторы. Для того, чтобы собственный вектор Метод крылова собственные значения и собственные векторыимел кубическую норму, равную единице, разделим все компоненты вектора на максимальную по модулю компоненту. Получим Метод крылова собственные значения и собственные векторы. Такую нормировку рекомендуется выполнять на каждой итерации для ограничения роста компонент вектора Метод крылова собственные значения и собственные векторы.

Задания лабораторной работы №3

«Нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы»

Задание для нечетных вариантов:

1. Используя метод Крылова найти собственные числа и собственные вектора матрицы А. Разрешается реализовывать метод Крылова средствами MathCAD или Mathematica (корни характеристического уравнения найти с помощью встроенных функций). Метод Крылова можно реализовать также на VBA (корни характеристического уравнения найти с помощью команды «Поиск решения» или «Подбор параметра» пункта меню Сервис в Excel).

2. Используя метод итераций, определить первое собственное число матрицы (наибольшее по модулю). Найти соответствующий ему собственный вектор, имеющий кубическую норму, равную 1. Метод итераций реализовать на языке программирования.

3. Сравнить результаты, полученные методом Крылова и методом итераций.

Задание для четных вариантов:

1. Используя метод Данилевского найти собственные числа и собственные вектора матрицы А. Разрешается реализовывать метод Данилевского средствами MathCAD или Mathematica (корни характеристического уравнения найти с помощью встроенных функций). Метод Данилевского можно реализовать также на VBA (корни характеристического уравнения найти с помощью команды «Поиск решения» или «Подбор параметра» пункта меню Сервис в Excel).

2. Используя метод итераций, определить первое собственное число матрицы (наибольшее по модулю). Найти соответствующий ему собственный вектор, имеющий кубическую норму, равную 1. Метод итераций реализовать на языке программирования.

3. Сравнить результаты, полученные методом Данилевского и методом итераций.

Варианты заданий

№1. A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы№2. А = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

№3. A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы№4. А = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

№5. A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы№6. А = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

№7. A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы№8. А = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

№9. A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы№10. А = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

№11. A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы№12. А = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

№13. A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы№14. А = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

№15. A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы№16. А = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

№17. A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы№18.А = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

№19. A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы№20.А = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

№21. A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы№22. А = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

№23. A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы№24. А = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

№25. A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы№26. А = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

№27. A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы№28. А = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

№29. A = Метод крылова собственные значения и собственные векторы№30. А = Метод крылова собственные значения и собственные векторы

Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Курсовая — Нахождение собственных значений и собственных векторов по схеме Крылова (решение в Паскале)

Информация о файлах в архиве:

вар 5.doc — оформление курсовой работы + в оформлении есть исходники 2-ух программ на паскале

Краткое описание курсового проекта

В данной курсовой работе рассмотрен алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов методом А.Н.Крылова
Метод Крылова позволяет определить коэффициенты Pi путем решения системы линейных уравнений, просто найти собственные значения и соответствующие им собственные векторы.
Также приводится алгоритм развертывания векового определителя в характеристический полином для матрицы 3-го порядка (n=3).
Кроме того, для нахождения промежуточных результатов методов, используются точные методы решения СЛАУ (метод обратной матрицы) и численные методы решения нелинейных уравнений (метод половинного деления).
Для каждого метода приведены алгоритм и блок-схема.

Задание к курсовой работе
Нахождение собственных значений и собственных векторов по схеме Крылова
1. Собственные значения и векторы. Теоретические положения.
2. Для матрицы
A = 2 -1 2
-1 4 3
2 3 -1
составить алгоритм, блок-схему для определения собственных значений λ1, λ2, λ3 путем составления характеристического уравнения λ3+P1λ2+P2 λ+P3=0.
Корни уравнения найти методом половинного деления.
3. Для данной же матрицы составить алгоритм, блок-схему и выполнить расчеты на ЭВМ для нахождения собственных векторов по схеме Крылова.

Задачи нахождения собственных значений и соответствующих им собственных векторов возникают в самых различных научных задачах. Например, при анализе динамических систем собственные значения определяют частоты колебаний, а собственные векторы характеризуют их форму. В электро-радиотехнических устройствах собственные значения матриц определяют характеристические постоянные времени и режимы работы этих устройств.

Заключение
В данной курсовой работе были рассмотрены методы решения полной задачи нахождения собственных значений и векторов
Для них были составлены алгоритмы, блок-схемы, рабочие программы, а также проведены расчеты вручную.
Выполнение работы показало, что от выбора правильного метода решения задачи зависит многое, как то простота реализации на том или ином языке программирования, затраты машинного времени, величина погрешности при вычислениях.
В ходе работы были закреплены теоретичес¬кие знания по данной дисциплине, способствовало приобрете¬нию навыков формализации и составления алгоритмов решения математических задач, а также дало опыт практическо¬го решения технических задач, что являлось ее целью.

Аннотация 3
Задание к курсовой работе 4
Введение 5
Теоретические положения 6
Метод А.Н.Крылова для определения собственных значений матрицы 9
Метод А.Н.Крылова для определения собственных векторов матрицы 10
Задание 1 12
Алгоритм развертывания векового определителя (det(A- λE)) в характеристическое уравнение для матрицы 3-го порядка (n=3)
Блок-схема алгоритма 12
Ручной счет 13
Листинг программы на алгоритмическом языке 15
Результаты работы программы 16
Задание 2 17
Алгоритм нахождения собственных векторов по схеме Крылова 17
Блок-схема алгоритма 18
Ручной счет 19
Листинг программы на алгоритмическом языке 21
Результаты работы программы 24
Заключение 25
Список литературы 26

Результаты выполнения программы Нахождение собственных значений и собственных векторов по схеме Крылова сделано в паскале

Метод крылова собственные значения и собственные векторы

Знаете ли вы что?

Прошел чемпионат европы 2012, однако футбольные страсти всё ещё расскалены. Итальянская Серия А тут является лидером по количеству скандальных ситуаций. Ведь даже если взять в пример футбольный клуб Сампдория, то уже станет всё ясно насколько итальянский футбол может погрязнуть в интригах, сплетнях, слухах.

📺 Видео

Собственные значения и собственные векторыСкачать

Собственные значения и собственные векторы

7 4 Собственные векторы и собственные значенияСкачать

7 4  Собственные векторы и собственные значения

А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицыСкачать

А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицы

Собственные значения и собственные векторы. ПримерСкачать

Собственные значения и собственные векторы. Пример

Собственные значения и собственные векторы. ТемаСкачать

Собственные значения и собственные векторы. Тема

Собственные значения матрицыСкачать

Собственные значения матрицы

Собственные векторы и собственные значенияСкачать

Собственные векторы и собственные значения

Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Квантовая механика 8 - Операторы. Собственные векторы и собственные значения.Скачать

Квантовая механика 8 - Операторы. Собственные векторы и собственные значения.

Диагональный вид матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. Собственные векторыСкачать

Диагональный вид матрицы.  Приведение матрицы к диагональному виду.  Собственные векторы

Овчинников А. В. - Линейная алгебра - Собственные значения и собственные векторы линейного оператораСкачать

Овчинников А. В. - Линейная алгебра - Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Айгенвектора и айгензначения | Сущность Линейной Алгебры, глава 10Скачать

Айгенвектора и айгензначения | Сущность Линейной Алгебры, глава 10

А.7.40 Метод Якоби поиска собственных векторов и значений симметричных матрицСкачать

А.7.40 Метод Якоби поиска собственных векторов и значений симметричных матриц

Вычислительные методы алгебры - Степенной метод, метод вращенийСкачать

Вычислительные методы алгебры - Степенной метод, метод вращений

Практика 1. Часть 1. Собственные вектора и значения линейного оператора. Канонический вид.Скачать

Практика 1. Часть 1. Собственные вектора и значения линейного оператора. Канонический вид.

Курс по численным методам: Нахождение собственных значений матриц | Занятие 7Скачать

Курс по численным методам: Нахождение собственных значений матриц | Занятие 7

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис
Поделиться или сохранить к себе: