Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Свойства медианы треугольника. Итоговое повторение курса геометрии 7 – 9 класса

Свойства медианы треугольника

Итоговое повторение курса геометрии 7 – 9 класса

При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме. Предлагаю рассмотреть задачи, которые позволят увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала в ходе подготовки учащихся к экзамену.

Для сдачи экзамена не лишними будут дополнительные сведения о некоторых элементах треугольника. Рассмотрим свойства медианы треугольника и задачи, при решении которых этими свойствами можно воспользоваться. В предложенных задачах реализуется принцип уровневой дифференциации. Все задачи условно поделены на уровни (уровень указан в скобках после каждого задания).

Вспомним некоторые свойства медианы треугольника

Свойство 1. Докажите, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, меньше полусуммы сторон AB и AC.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnОтложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MK, равный AM. Тогда в четырёхугольнике ABKC диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, ABKC — параллелограмм. Применяя неравенство треугольника к треугольнику ABK, получим, что

то, сложив почленно эти три неравенства, получим, что

2Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnМедианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnAM + Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnBN + Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnCK Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn> AB + BC + AC.

Отсюда следует, что AM + BN + CK > Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn(AB + BC + AC).

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnОтложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MA1, равный AM. Тогда ABA1C — параллелограмм. Поэтому

BA1 = AC, 2AM = AA1 SDEF’ , то SAED+SBFD>SDEF , следовательно, указанным образом расположить точки невозможно.

так расположить точки нельзя.

Источник: Окружная олимпиада (Москва) , 2008 г, 11 класс

№32 Темы: Удвоение медианы. Ортоцентр и ортотреугольник Сложность:5 + Три точки, лежащие на одной прямой Подобные треугольники Классы: 9,10

В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A , B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM , BM , CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведенными прямыми, лежит на прямой MH .

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnРешение

Пусть A’B’C’ – треугольник, образованный

проведенными прямыми и G – точка пересечения его

медиан. Мы докажем, что M является серединой отрезка GH . Достроим треугольник BMC до параллелограмма BMCA1 . Отрезок MA1 делит сторону BC пополам, поэтому A1 лежит на прямой AM , причем AM = A1M (поскольку точка M делит медиану в отношении 2:1 ). Кроме того, BA1|| MC Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnA’B’ и CA1|| MB Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnA’C’ , поэтому BA1 и CA1 – высоты треугольника BA’C , значит A1 является ортоцентром треугольника BA’C , и

A’A1 Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnBC . Стороны треугольника BA1M перпендикулярны

сторонам треугольника A’B’C’ соответственно, поэтому эти треугольники подобны, причем соответствующие прямые BC и

AG , содержащие медианы этих треугольников,

перпендикулярны. Значит, прямая A’G совпадает с прямой A’A1 . Пусть G’ – точка, симметричная точке H относительно M . Треугольники AHM и A1G’M симметричны относительно M , поэтому A1G’|| AH Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnBC . Отсюда следует, что G’ лежит на прямой A’G . Аналогично, получаем, что G’ лежит на прямой B’G , то есть G’ совпадает с G .

Источник: Всероссийская олимпиада по математике, 2008 г, 9 класс

Отрабатываем умение: самостоятельно решать задачи.

Свойства медианы. Площадь треугольника

1. В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане BN. Найдите площадь треугольника АВС, если длина АМ равна 3, а длина BN равна 4.

2. Основание равнобедренного треугольника равно 2. Медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.

3. Две медианы равнобедренного треугольника взаимно перпендикулярны. Боковая сторона равна Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn. Найдите площадь треугольника.

4. В треугольнике АВС медианы АD и ВE перпендикулярны, Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn, Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn. Чему равен квадрат третьей стороны?

5. Сторона треугольника равна 20, а медианы, проведенные к двум другим сторонам – 24 и 18. Найдите площадь треугольника.

6. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найти площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами.

7. Площадь треугольника АВС равна 12. Из вершины тупого угла В проведена медиана BD, длина которой равна 3. Найдите длину стороны АС, если угол ABD – прямой.

8. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn, а медиана третьей стороны равна 2. (Указание – достроить до параллелограмма).

О т в е т: Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn.

1. Одна сторона треугольника равна а, другая – b. Найдите третью сторону, если известно, что она равна медиане, проведенной к ней.

О т в е т: Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn.

2. Основание равнобедренного треугольника Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn, медиана боковой стороны 5. Найдите длины боковых сторон.

3. В равнобедренном треугольнике основание равно Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn, а угол при основании равен 300. Найдите длину медианы, проведенной к боковой стороне.

4. Медианы треугольника равны 5, Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnи Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn. Докажите, что треугольник прямоугольный.

5. Числа Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn, Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnи Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnвыражают длины медиан некоторого треугольника. Докажите, что если выполняется равенство Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn, то треугольник является прямоугольным.

Медиана, проведенная к гипотенузе

1. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 3 см и делит прямой угол в отношении 2:1. Найдите меньший катет.

2. АА1, ВВ1, СС1 – медианы треугольника АВС. Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn. Найдите Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn.

3. Медианы треугольника АВС АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn.Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnсм. Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnсм. Найдите ВО.

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника в 4 раза больше проведенной к ней высоты. Найдите острые углы треугольника.

О т в е т: 150; 750.

5. В трапеции ABCD углы при основании AD равны 200 и 700, длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 3. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

· , , Ленинградские математические кружки

· , Задачи по планиметрии, Издательство МЦНМО, 2001г

· интернет сайт http://zadachi. ***** Задачи по геометрии

· Всероссийская олимпиада по математике, 2008 год,

· Турнир им. Ломоносова, 2001 год

· Московская математическая регата, 2012/13 г, 8 класс

Видео:№366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точкаСкачать

№366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точка

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

  • Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

§2. Площадь треугольника. Метод площадей

В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.

Пусть `A`, `B` и `C` — углы треугольника`ABC`; `a`, `b` и `c` — противолежащие этим углам стороны; `h_a`, `h_b` и `h_c` — высоты к этим сторонам; `r` — радиус вписанной окружности;`R` — радиус описанной окружности; `2p=(a+b+c)` — периметр треугольника; `S` — площадь треугольника

`S=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c`,(1)
`S=1/2 ab sinC=1/2acsinB=1/2bcsinA`,(2)
`S=pr`,(3)
``S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))` — формула Герона,(4)
`S=(abc)/(4R)`.(5)

При вычислении площади из этих формул следует выбрать ту, которая в условиях конкретной задачи приводит к более простому решению.

Для примера, рассмотрим два треугольника:

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

`DeltaABC:` `AB=13`, `BC=14`, `AC=15`;

`DeltaKML:` `KL=sqrt(13)`, `LM=sqrt(14)`, `KM=sqrt(15)`;

Надо найти площадь и радиус описанной окружности.

Для треугольника `ABC` удобен ход решения такой:

`p=1/2(AB+BC+AC)=21`, по формуле Герона

`S_(ABC)=sqrt(21*6*7*8)= ul(84)` и по формуле (5)

Для треугольника `KLM` вычисленная по формуле Герона затруднительны, более простой путь — найти косинус, например, угла `M`. По теореме косинусов

тогда `sinM=sqrt(1-64/(210))=(sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))` и по формуле (2):

тогда `R=(KL)/(2sinM)=ul((sqrt(13)*sqrt(14)*sqrt(15))/(2*sqrt(146)))=(sqrt(13)*sqrt7*sqrt(15))/(2*sqrt(73))` (точно также по формуле 5).

Сравнение площадей треугольников обычно опирается на одно из следующих утверждений:

$$ 2.^$$. Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как длины соответствующих оснований. В частности, если точка `D` лежит на основании `AC` (рис. 6а), то

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnМедианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

$$ 2.^$$. Площади треугольников с общим углом относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (см. рис. 6б):

$$ 2.^$$. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их

сходственных сторон, т. е. если `Delta ABC

DeltaA_1B_1C_1`, то `(S_(A_1B_1C_1))/(S_(ABC))=((A_1B_1)/(AB))^2`.

Все эти утверждения легко доказываются с использованием соответственно формул площади (1) и (2).

Обратим внимание на важное свойство медиан треугольника.

Три медианы треугольника разбивают его на `6` треугольников с общей вершиной и равными площадями.

Известно, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении `2:1`, считая от вершины. Пусть `O` — точка пересечения медиан треугольника `DeltaABC` площади `S` (рис. 7а). Надо доказать, что площади всех шести треугольников с верш иной в точке `O`, составляющих треугольник `ABC`, равны между собой, т. е. равны `1/6S`.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Докажем, например, для треугольника `BOM`, что `S_(BOM)=1/6S_(ABC)`.

Точка `M` — середина стороны `BC` (рис. 7б), по утверждению $$ 2.^$$ о сравнении площадей `S_(ABM)=1/2S`. Медиана `BN`, пересекая медиану `AM` в точке `O` (рис. 7в), делит её в отношении `AO:OM=2:1`, т. е. `OM=1/3AM`. По тому же утверждению $$ 2.^$$ площадь треугольника `BOM` составляет `1//3` площади треугольника `ABM`, т. е.

Дан треугольник `ABC`. Точка `D` лежит на стороне `AB`, `AD:DB=1:2`, точка `K` лежит на стороне `BC`, `BK:KC=3:2` (рис. 8а). Отрезки `AK` и `CD` пересекаются в точке `O`. Найти отношение площади четырёхугольника `DBKO` к площади треугольника `ABC`.

1. Обозначим `S_(ABC)=S`, `S_(DBKO)=sigma` и `S_(ADO)=a`. По утверждению $$ 2.^$$ имеем `S_(ABK)=a+sigma=3/5S` (так как `BK:BC=3:5`). Площадь `a` треугольника `ADO` найдём как часть площади треугольника `ADC`, зная, что `S_(ADC)=1/3S` (так как `AD:AB=1:3`).

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

2. Через точку `D` проведём прямую `DL«||«AK`. По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми (`/_ABC`, `DL«||«AK`) имеем `(BL)/(LK)=(BD)/(AD)`, откуда `LK=y`.

По той же теореме (`/_DCB`, `OK«||«DL`) получим `(DO)/(DC)=(LK)/(LC)`, `DO=1/3DC`.

3. Теперь находим `S_(ADO):S_(ADC)=DO:DC`, `a=1/3(1/3S)=1/9S`.

(Можно по теореме Менелая для треугольника `BCD` и секущей `CD:`

`(BK)/(KC)*(CO)/(OD)*(DA)/(AB)=1 iff 3/2*(CO)/(OD)*1/3=1 iff CO=2OD=>OD=1/3DC`).

Находим площадь: `sigma=3/5S-a=(3/5-1/9)S=22/45S`.

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны `3` и `7`, а медиана к третьей стороне равна `4` (рис. 9).

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Пусть `AB=3`, `BC=7`, `AM=MC` и `BM=4`. Достроим треугольник `ABC` до параллелограмма, для этого на прямой `BM` отложим отрезок `MD=BM` и соединим точки: `A` с `D` и `C` с `D`. Противоположные стороны параллелограмма равны: `(DC=AB)` и равны площади треугольников `ABC` и `DBC` (общее основание `BC` и равные высоты из вершин `A` и `D`).

В треугольнике `DBC` известны все три стороны: `BC=7`, `DC=3`, `BD=2BM=8`.

Находим его площадь по формуле Герона: `p=9`, `S_(BCD)=6sqrt3`.

Значит и `S_(ABC)=6sqrt3`.

В решении этой задачи дополнительным построением получен треугольник, площадь которого равна площади заданного и легко вычисляется по данным задачи. Приведём ещё одну задачу, где сначала вычисляется площадь дополнительно построенной фигуры, а затем легко находится искомая площадь.

Найти площадь треугольника, если его медианы равны `3`, `4` и `5`.

Пусть `O` — точка пересечения медиан треугольника `ABC` (рис. 10) и пусть `m_a=AM=3`, `m_b=BN=4` и `m_c=CP=5`.

По свойству медиан `AO=2/3m_a`, `CO=2/3m_c` и `ON=1/3m_b`. В треугольнике `AOC` известны две стороны `AO` и `CO` и медиана третьей стороны `ON`. Площадь этого треугольника найдём как в предыдущей задаче.

Достроим треугольник `AOC` до параллелограмма `AOCD`, `S_(AOC)=S_(DOC)`, в треугольнике `DOC` известны три стороны:

`DO=2ON=2/3m_b`, `OC=2/3m_c`, `DC=AO=2/3m_a`.

Площадь треугольника `DOC` вычисляем по формуле Герона `S_1=S_(AOC)=S_(DOC)=8/3`. Сравним теперь площадь треугольника `ABC` (обозначим её `S`) с площадью треугольника `AOC`. Из теоремы 2 о медианах и площадях следует `S_(AOC)=S_(AON)+S_(NOC)=2*1/6S=1/3S`.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

В следующей задаче докажем лемму об отношении площади треугольника к площади другого треугольника, построенного из медиан первого.

Найти отношение площади `S` треугольника к площади `S_0` треугольника, составленного из медиан первого.

Рассмотрим рис. 10. В построенном треугольнике `OCD` стороны таковы: `OC=2/3m_c`, `OD=2/3m_b`, `CD=2/3m_a`. Очевидно, что треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c` подобен (по третьему признаку) треугольнику со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`.

Из решения предыдущей задачи следует, что `S_(OCD)=S_1=1/3S` (здесь `S` — площадь треугольника `ABC`). Кроме того, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон, поэтому `(S_1)/(S_0)=(2/3)^2`. Таким образом, имеем `S_0=9/4S_1=3/4S`, т. е.

`S_(m_am_bm_c)=3/4S_(abc)`.

Из рассуждений в решении Примера 9 следует, что всегда существует треугольник со сторонами, равными медианам данного треугольника, поскольку всегда существует подобный ему треугольник со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`. Кроме того, становится ясным план построения треугольника по трём отрезкам, равным его медианам: сначала строится треугольник `OCD` (см. рис. 10) со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`, затем точка `N` — середина отрезка `OD`, потом точка `A` (из `AN=NC`) и точка `B` (из `OB=OD`). Это построение осуществимо, если существует треугольник `OCD`, т. е. если существует треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c`. Итак, вывод: три отрезка могут быть медианами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда из них можно составить треугольник.

Около окружности радиуса `sqrt3` описан треугольник. Найти его площадь, если одна из его сторон точкой касания делится на отрезки `9` и `5`.

Пусть `AP=9`, `PC=5` (рис. 11) и пусть `BM=x`. По свойству касательных `AM=AP`, `CN=CP` и `BN=BM`, поэтому стороны треугольника таковы: `AC=14`, `AB=9+x`, `BC=5+x`, тогда `p=14+x`. (Заметим, что `p=AC+BM`!). По формулам площади (3) и (4) имеем: `S=pr=(14+x)sqrt3` и `S=sqrt((14+x)x*5*9)`. Приравниваем правые части, возводим в квадрат, приводим подобные члены, получаем `x=1`. Вычисляем площадь треугольника:

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Приём, применённый в решении этой задачи, когда площадь фигуры выражается двумя различными способами, часто используется в задачах на доказательство.

Проведём два примера, в каждом выведем полезную формулу.

В треугольнике `ABC` угол `C` равен `varphi`, `AC=b`, `BC=a` (рис. 12). Доказать, что биссектриса `CD` равна `(2ab)/(a+b) cos varphi/2`.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Обозначим `CD=x`. Очевидно, что `S_(ABC)=S_(ACD)+S_(DCB)`. По формуле (2) `S_(ABC)=1/2 ab sin varphi`, `S_(ACD)=1/2 bx sin varphi/2`, `S_(BDC)=1/2 ax sin varphi/2`. Таким образом, имеем: `1/2 ab sin varphi=1/2(a+b)x sin varphi/2`. Используем формулу синуса двойного угла `sin varphi=2sin varphi/2 cos varphi/2`, получим:

`x=(2ab)/(a+b)cos varphi/2`.

называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Таких окружностей, очевидно, три (рис. 13). Их радиусы обычно обозначаются `r_a`, `r_b`, `r_c` в зависимости от того, какой стороны окружность касается.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Вневписанная окружность касается стороны `a=BC` треугольника `ABC` (рис. 14). Доказать, что `S_(ABC)=r_a(p-a)`, где `2p=a+b+c`.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Центр окружности `I_a` лежит на пересечении биссектрисы угла `A` и биссектрис внешних углов при вершинах `B` и `C`. Легко видеть, что если `D`, `F` и `E` — точки касания, то `I_aD=I_aF=I_aE=r_a`.

Считаем площадь `S_0` четырёхугольника `ABI_aC`:

`S_0=S_(ABC)+S_(BCI_a)` и `S_0=S_(ABI_a)+S_(ACI_a)`, откуда

Видео:№118. На основании ВС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки М и N так, что BM=CN. ДокажитеСкачать

№118. На основании ВС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки М и N так, что BM=CN. Докажите

Применение теорем Менелая и Чевы для решения задач

В пункте 1.5 данной курсовой работы мы рассмотрели теоремы Чевы и Менелая, теперь рассмотри практическое использование данных теорем на примерах.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найти отношение Решение:

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. Пусть MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnМедианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Пусть AM1, BM2, СM3 — медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM1, BM2 и СM3 пересекаются в одной точке.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне PR — точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m:n, считая от точки Q. Найдите

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

По условию NQ = LR, Пусть NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

По теореме Менелая

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnМедианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Тогда по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2, CL3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnМедианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Перемножая почленно полученные равенства, получаем

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке.

В треугольнике АВС AD — медиана, точка O — середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Пусть BD = DC = a, AO = OD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.

По теореме Менелая

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnМедианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Пусть A1, B1и C1 — точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки AA1, BB1и CC1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C1B = BA1 = x, AC1 = CB1 = y, BA1 = AC1 = z.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Равенство Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Рассмотрим два способа решения одной задачи. Первый способ довольно длинный, но данный прием, который в нем используется, применяется довольно часто при решении задач, в которых дано отношение отрезков. Второй способ позволяет решить задачу в одно действие, но в нем используется Теорема Менелая.

Итак задача: На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найти отношение CO:OM.

Вот наш треугольник:

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Проведем через точку В прямую параллельно отрезку AB, затем продолжим отрезок AN до пересечения с этой прямой и поставим там точку К:

Рассмотрим треугольники ANC и BNK. Эти треугольники подобны, так как AC||BK. Стороны треугольника BNK относятся к сторонам треугольника ANC как 2:1.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnМедианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Пусть AC = x, BK = 2x.

Теперь продолжим отрезок MC до пересечения с прямой BK. Поставим там точку L.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Мы получили подобные треугольники LMB и AMC, сходственные стороны которых относятся как 3:2. Так как AC = x, то LB = 1,5x.

Пусть LM = 3n, MC = 2n. Тогда LC = 5n.

Теперь рассмотрим подобные треугольники LOK и AOC.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

следовательно, . Пусть LO = 3,5z, OC = z. Тогда LO+OC=LC=4,5z. Получили, что 5n = 4,5z. Тогда MC = 2n = z.

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnМедианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Отсюда MO = MC-CO = z-z = z

Отсюда CO:OM = z:z = 5:4 = 1,25.

Теперь используем при решении данной задачи теорему Минелая. Рассмотрим треугольник MBC и прямую AN:

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Запишем теорему Менелая для этого треугольника:

Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn Медианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcnМедианы bm и cn треугольника abc пересекаются в точке k докажите что четырехугольник amcn

Рассмотрев применение теорем Чевы и Менелая при решении задач можно сделать следующий вывод: знание данных теорем весьма упрощает решение задачи, однако зачастую задачу все таки можно решить и не применяя данных теорем, но, как правило, решение будет весьма объёмным.

🔍 Видео

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shorts

Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая пересекающая сторону ВС вСкачать

Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая пересекающая сторону ВС в

№115. Медиана AM треугольника ABC равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника ABCСкачать

№115. Медиана AM треугольника ABC равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника ABC

№161. В треугольниках ABC и А1B1С1 медианы AM и А1М1 равны, BC=B1С1 и ∠AMB=∠A1M1B1. Докажите, чтоСкачать

№161. В треугольниках ABC и А1B1С1 медианы AM и А1М1 равны, BC=B1С1 и ∠AMB=∠A1M1B1. Докажите, что

№786. Отрезки AA1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA1, BB1, СС1Скачать

№786. Отрезки AA1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA1, BB1, СС1

В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK = 1/3 AB. РЕШЕНИЕ!Скачать

В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK =  1/3 AB. РЕШЕНИЕ!

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

ОГЭ. Медианы треугольника и доп. построения! Где я оговорился?Скачать

ОГЭ. Медианы треугольника и доп. построения! Где я оговорился?

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭ

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

№114. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведенные к равным сторонам, равны.Скачать

№114. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведенные к равным сторонам, равны.

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

№140. В треугольниках ABC и А1B1С1 медианы ВМ и B1М1 равны, АВ =А1B1, АС=А1С1. Докажите, что ΔABCСкачать

№140. В треугольниках ABC и А1B1С1 медианы ВМ и B1М1 равны, АВ =А1B1, АС=А1С1. Докажите, что ΔABC

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

№106. Медиана AD треугольника ABC продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный ADСкачать

№106. Медиана AD треугольника ABC продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный AD

№109. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AMСкачать

№109. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AM

Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузыСкачать

Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы
Поделиться или сохранить к себе: